Mengen Skizzieren < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:37 Do 27.03.2008 | | Autor: | Toni908 |
| Aufgabe | [mm] a){z\in\IC:|z-i|=2} [/mm]
[mm] b){z\in\IC:|z+i-1|>1}
[/mm]
[mm] c){z\in\IC: 1\le|z-1|<2} [/mm] |
Hallo,
hier soll ich die Mengen skizzieren.
Der Betrag einer komplexen Zahl ist ja die Länge.
der Betrag ist definiert durch [mm] \wurzel{x²+y²}
[/mm]
a) |z|-|i|=|z-i|
so richtig weis ich nicht was ich hier machen soll.
LG Toni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:50 Do 27.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> [mm]a){z\in\IC:|z-i|=2}[/mm]
> [mm]b){z\in\IC:|z+i-1|>1}[/mm]
> [mm]c){z\in\IC: 1\le|z-1|<2}[/mm]
> Hallo,
>
> hier soll ich die Mengen skizzieren.
>
> Der Betrag einer komplexen Zahl ist ja die Länge.
> der Betrag ist definiert durch [mm]\wurzel{x²+y²}[/mm]
>
> a) |z|-|i|=|z-i|
das ist falsch! vergleiche mit deiner Def.
2 Wege: entweder du siehst, das ist die Menge aller pkte, die von i den Abstand 1 haben, oder Du benutzt den Betrag wirklich mit z=x+iy :z-i=x+i*(y-1) jetzt Betrag bilden, und =2 setzen, dann hast du die gesuchte Menge im x,y KOOsystem.
entsprechend die anderen Aufgaben!
Gruss leduart
> so richtig weis ich nicht was ich hier machen soll.
>
> LG Toni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 Do 27.03.2008 | | Autor: | Toni908 |
Hallo,
ich bekomme bei a eine Gleichung mit 2 unbekannten:
x²+2y²-2y+1=4
wie ergibt sich daraus die Menge?
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Hallo Toni,
> Hallo,
>
> ich bekomme bei a eine Gleichung mit 2 unbekannten:
> [mm] x²+\red{2}y²-2y+1=4
[/mm]
>
> wie ergibt sich daraus die Menge?
Ist da nicht die [mm] $\red{2}$ [/mm] zuviel?
Wenn du $z=x+iy$ mal einsetz, kommst du doch auf:
[mm] $|z-i|=|(x+iy)-i|=|x+i(y-1)|=\sqrt{x^2+(y-1)^2}=2$
[/mm]
und schließlich quadriert: [mm] $x^2+(y-1)^2=2^2$
[/mm]
Und diese Gleichung sollte dir doch bekannt vorkommen.
Denke an Kreise....
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 Do 27.03.2008 | | Autor: | Toni908 |
ja da ist die zwei zuviel, sehe ich auch gerade auf meinem papier. da hab ichs nicht so.
Kreisgleichung ist ja x²+y²=r
leduart sagte, bei a) wären es die Punkte um i, die den Abstand 1 haben.
wie kann ich aus der gegebenen Gleichung meinen kreis einzeichenen?
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Hallo nochmal,
> ja da ist die zwei zuviel, sehe ich auch gerade auf meinem
> papier. da hab ichs nicht so.
>
> Kreisgleichung ist ja x²+y²=r
Das wäre die Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt $(0,0)$ und Radius [mm] $\sqrt{r}$
[/mm]
Wie sieht eine allg. Kreisgleichung aus?
Welchen Kreis hast du also hier in (a)?
>
> leduart sagte, bei a) wären es die Punkte um i, die den
> Abstand 1 haben.
Da hat er sich verschrieben und meinte 2 !
>
> wie kann ich aus der gegebenen Gleichung meinen kreis
> einzeichenen?
wie gesagt, allg. Kreisgleichung mit Mittlepunkt [mm] $M=(x_m/y_m)$
[/mm]
Dann siehst du's
Einfacher bzw. schneller ist leduarts Tipp:
Was bedeutet denn $|z-w|=a$?
Das sind alle die Punkte [mm] $z\in\IC$, [/mm] die von $w$ genau den Abstand $a$ haben.
Und analog $|z-w|< (>) a$
Die Punkte [mm] $z\in\IC$, [/mm] die näher (weiter) an (weg von) $w$ liegen als $a$
Damit kannst du die ganze Aufgabe direkt ohne zu rechnen lösen 
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:46 Do 27.03.2008 | | Autor: | Toni908 |
achso,
hatte kreis in der schule nicht, war GK. also hier die allg. kreisgleichung (x-xM)²+(y-yM)²=r²
xM=0
yM=1
r=2
alles klar, nun weis ich wie ich den kreis einzeichnen kann.
LG und Danke, Toni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:34 Do 27.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Toni,
nur zum Verständnis:
Eine komplexe Zahl $z=x+i*y$ hat in "Koordinatendarstellung" die Koordinaten $(x,y)$. In diesem Sinne "identifiziert" man auch [mm] $\IC$ [/mm] mit dem [mm] $\IR^2$, [/mm] und daher schreibt man dann einfach:
$z=x+i*y=(x,y) [mm] \in \IC$, [/mm] weil [mm] $\IC$ [/mm] isomorph zu [mm] $\IR^2$.
[/mm]
Du hast oben gesagt:
$|z-i|=2 [mm] \gdw (x-x_M)^2+(y-y_M)^2=r^2$ [/mm] mit [mm] $x_M=0$, $y_M=1$ [/mm] und $r=2$.
Ich nehme an, dass Dir der Weg (mit $z=x+i*y$)
$|z-i|=2$ [mm] $\gdw \sqrt{x^2+(y-1)^2}=2 \gdw (x-0)^2+(y-1)^2=2^2$ [/mm] klar ist (falls ihr Kreise in der Schule nicht behandelt habt:
Zeichne mal einen Kreis mit Mittelpunkt [mm] $(x_M,y_M)$ [/mm] und Radius $r$ in den [mm] $\IR^2$, [/mm] dann die Gerade gegeben durch die Gleichung [mm] $y=y_M$ [/mm] und schau', was das ganze mit Pythagoras zu tun haben könnte, siehe auch Anhang!).
Der andere vorgeschlagene Weg ergibt sich einfach:
[mm] $\{z \in \IC:|z-i|=2\}$ [/mm] ist die Menge aller komplexen Zahlen, die den Abstand $2$ von der komplexen Zahl $i$ haben. Die komplexe Zahl $i$ läßt sich schreiben als $i=0+i*1$, hat also "im [mm] $\IR^2$" [/mm] die Koordinaten $(0,1)$. Damit ist dann klar, dass man quasi in der komplexen Ebene einen Kreis mit Radius $2$ um die Zahl $i$, welche die Koordinatendarstellung $(0,1)$ hat, einzeichnet.
Noch eine Anmerkung zu dem Bild unten:
Der Mittelpunkt des Kreises hat die Koordinatendarstellung [mm] $(x_M,y_M)$, [/mm] d.h. in der Gaußebene ist der Mittelpunkt einfach die komplexe Zahl [mm] $z_M=x_M+i*y_M$.
[/mm]
Damit erkennst Du hoffentlich:
Genau dann liegt $z [mm] \in \IC$ [/mm] auf dem (rotgezeichneten) Kreis, wenn gilt:
[mm] $|z-z_M|=r$
[/mm]
Und geometrisch:
Genau dann liegt $z=x+i*y [mm] \in \IC$ [/mm] auf dem rotgezeichneten Kreis, wenn gilt:
[mm] $(x-x_M)^2+(y-y_M)^2=r^2$ [/mm] (Pythagoras)
Übrigens bitte aufpassen, dass sich diese Gleichung nicht "einfach" nach $y$ auflösen läßt (denn bei einer Funktionsgleichung darf ein $x$-Wert ja auch nur einen $y$-Wert haben, zumindest, wenn $y=y(x)$).
Was man aber machen kann:
[mm] $(x-x_M)^2+(y-y_M)^2=r^2$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $y=\sqrt{r^2-(x-x_M)^2}+y_M$ [/mm] oder [mm] $y=-\sqrt{r^2-(x-x_M)^2}+y_M$
[/mm]
In diesem Sinne läßt sich ein Kreis als Bild der Graphen zweier Funktionen interpretieren, nämlich als Bild von [mm] $f_{1,2}: [x_M-r,x_M+r] \to \IR$ [/mm] definiert durch
[mm] $f_1(x):=y_M+\sqrt{r^2-(x-x_M)^2}$ [/mm] und [mm] $f_2(x):=y_M-\sqrt{r^2-(x-x_M)^2}$
[/mm]
P.S.:
Der rotgezeichnet Kreis des folgenden Bildes beschreibt alle Punkte des [mm] $\IR^2$, [/mm] die den Abstand $r=2$ vom Punkt [mm] $(x_M,y_M)=(3,2)$ [/mm] haben, mit anderen Worten:
In der komplexen Zahlenebene wäre das [mm] $\{z \in \IC: |z-z_M|=|z-(3+i*2)|=2\}$
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß,
Marcel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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