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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:48 Fr 13.10.2006 | | Autor: | Franzie |
| Aufgabe | | Was sind die kleinsten Werte, die [mm] \Phi [/mm] (x) für x [mm] \in I_{19} [/mm] annehmen kann? Finden Sie alle Werte unter 10. Geben Sie (mit Beweis der Vollständigkeit) alle Werte x,y [mm] \in I_{19} [/mm] an, sodass x [mm] \cdot [/mm] y = z für alle z [mm] \in \{2,3,\alpha ,1+\alpha , -1+\alpha \} [/mm] . |
Hallo Leute!
Das neue Semester hat angefangen und ich weiß mit der obigen Aufgabe überhaupt nichts anzufangen. Das Dumme daran ist, dass das Thema erst richtig in der Übung besprochen wird, ich aber vorher diese Aufgabe schon abgeben muss. Ich hab mir die oberen Aufgaben schon mal angesehen und da taucht unter anderem noch Folgendes auf:
[mm] I_{19}:=\{a+b \cdot \alpha \ \mit \
a,b \in \IZ \}\subset \IC [/mm] mit [mm] \alpha [/mm] := [mm] \bruch{1}{2}(1+\wurzel{-19})
[/mm]
und dann noch was mit ner Abbildung [mm] \Phi :I_{19} \to \IN [/mm] mit [mm] \Phi [/mm] (a+b [mm] \cdot \\alpha [/mm] ):= [mm] a^2+ab+5b^2.
[/mm]
Aber im Moment ergibt das alles für mich noch keinen Sinn. Was wollen die denn bei obiger Aufgabe überhaupt von mir? Wie muss ich da rangehen?
liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:39 So 15.10.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Franzie!
> Was sind die kleinsten Werte, die [mm]\Phi[/mm] (x) für x [mm]\in I_{19}[/mm]
> annehmen kann? Finden Sie alle Werte unter 10. Geben Sie
> (mit Beweis der Vollständigkeit) alle Werte x,y [mm]\in I_{19}[/mm]
> an, sodass x [mm]\cdot[/mm] y = z für alle z [mm]\in \{2,3,\alpha ,1+\alpha , -1+\alpha \}[/mm]
> .
> Hallo Leute!
>
> Das neue Semester hat angefangen und ich weiß mit der
> obigen Aufgabe überhaupt nichts anzufangen. Das Dumme daran
> ist, dass das Thema erst richtig in der Übung besprochen
> wird, ich aber vorher diese Aufgabe schon abgeben muss. Ich
> hab mir die oberen Aufgaben schon mal angesehen und da
> taucht unter anderem noch Folgendes auf:
> [mm]I_{19}:=\{a+b \cdot \alpha \ \mit \
a,b \in \IZ \}\subset \IC[/mm]
> mit [mm]\alpha[/mm] := [mm]\bruch{1}{2}(1+\wurzel{-19})[/mm]
> und dann noch was mit ner Abbildung [mm]\Phi :I_{19} \to \IN[/mm]
> mit [mm]\Phi[/mm] (a+b [mm]\cdot \alpha[/mm] ):= [mm]a^2+ab+5b^2.[/mm]
Ok, damit hast du doch schon alles was du brauchst.
> Aber im Moment ergibt das alles für mich noch keinen Sinn.
> Was wollen die denn bei obiger Aufgabe überhaupt von mir?
Zuerst sollst du ja die kleinsten Werte bestimmen, die [mm] $\Phi$ [/mm] auf [mm] $I_{19}$ [/mm] annehmen kann. Also nimm dir doch mal ein beliebiges Element aus [mm] $I_{19}$ [/mm] und setze das in [mm] $\Phi$ [/mm] ein. Wie musst du $a, b [mm] \in \IZ$ [/mm] waehlen, dass [mm] $\Phi(a [/mm] + b [mm] \cdot \alpha)$ [/mm] moeglichst klein wird?
> Wie muss ich da rangehen?
Einsetzen und rumrechnen.
Es ist ja [mm] $\Phi(a [/mm] + b [mm] \cdot \alpha) [/mm] = [mm] a^2 [/mm] + a b + 5 [mm] b^2$. [/mm] Kann der Ausdruck negativ werden? Wenn nein, was ist der kleinste Wert den er annimmt? Welche ganze Zahlen [mm] $\le [/mm] 10$ werden von [mm] $\Phi$ [/mm] angenommen?
Ist etwa $1 = [mm] a^2 [/mm] + a b + 5 [mm] b^2$ [/mm] fuer irgendwelche $a, b [mm] \in \IZ$? [/mm] Wenn $a = 0$ ist geht das nicht, also muss $a [mm] \neq [/mm] 0$ sein; ist $b = 0$, so geht es ebenfalls nicht, also muss auch $b [mm] \neq [/mm] 0$ sein. Aber nun ist schon [mm] $a^2 [/mm] + a b + [mm] b^2 \ge [/mm] 0$ (warum?), womit der ganze Ausdruck [mm] $\ge [/mm] 4$ ist, insbesondere also nicht den Wert 2 annehmen kann.
Mit aehnlicher Methode kannst du alle Werte [mm] $\le [/mm] 10$ abklappern.
So, zum zweiten Aufgabenteil. Wenn $x [mm] \cdot [/mm] y = z$ sein soll, dann muss insbesondere [mm] $|x|^2 \cdot |y|^2 [/mm] = [mm] |z|^2$ [/mm] sein. Und fuer jedes $x [mm] \in I_{19}$ [/mm] ist [mm] $|x|^2$ [/mm] eine nicht-negative ganze Zahl. Also gibt es fuer $|y|$ schonmal nicht allzu viele Moeglichkeiten.
Wenn etwa $x [mm] \cdot [/mm] y = 2$ sein soll, dann muss also [mm] $|x|^2 \cdot |y|^2 [/mm] = 4$ sein. Also muss insbesondere [mm] $|x|^2, |y|^2 \le [/mm] 4$ sein und beide muessen 4 teilen. Gibt es ein Element $x$ in [mm] $I_{19}$ [/mm] mit [mm] $|x|^2 [/mm] = 2$? Nein. Also bleiben nicht viele Moeglichkeiten...
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 Do 19.10.2006 | | Autor: | Franzie |
Hallöchen! Vielen Dank erstmal für die schnelle Antwort. Zu meinem Bedauern muss ich aber zugeben, dass ich das noch nicht ganz verstanden habe.
Es ist ja [mm] $\Phi(a [/mm] + b [mm] \cdot \alpha) [/mm] = [mm] a^2 [/mm] + a b + 5 [mm] b^2$. [/mm] Also der Ausdruck kann schon mal nicht negativ werden, so viel ist klar.
Also muss ich jetzt alle ganzen Zahlen, die kleiner als 10 und größer als 0 sind untersuchen?
"Ist etwa $1 = [mm] a^2 [/mm] + a b + 5 [mm] b^2$ [/mm] fuer irgendwelche $a, b [mm] \in \IZ$? [/mm] Wenn $a = 0$ ist geht das nicht, also muss $a [mm] \neq [/mm] 0$ sein; ist $b = 0$, so geht es ebenfalls nicht, also muss auch $b [mm] \neq [/mm] 0$ sein. Aber nun ist schon [mm] $a^2 [/mm] + a b + [mm] b^2 \ge [/mm] 0$ (warum?), womit der ganze Ausdruck [mm] $\ge [/mm] 4$ ist, insbesondere also nicht den Wert 2 annehmen kann."
Der Ausdruck kann doch aber den Wert 0 annehmen, nämlich wenn a und b=0 sind. Und der Wert 1 kann doch auch angenommen werden, wenn a=1 oder a=-1 und b=0. Versteh ich jetzt die ganze Vorgehensweise falsch?
Ich würde jetzt durch Probieren versuchen, ob der Term die natürlichen Zahlen von 0 bis 9 annehmen kann mit irgendeiner Kombination von a und b und komme dann darauf, dass die Werte 0 (für a=0 und b=0), 1 (für a=1 und b=0),4 (für a=2 und b=0), 7 (für a=1 und b=1) und 5 (für a=0 und b=1) angenommen werden.
Ich denke aber nicht, dass das so richtig ist. Woher krieg ich denn mein a und b?
liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:40 Do 19.10.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Hallöchen! Vielen Dank erstmal für die schnelle Antwort. Zu
> meinem Bedauern muss ich aber zugeben, dass ich das noch
> nicht ganz verstanden habe.
>
> Es ist ja [mm]\Phi(a + b \cdot \alpha) = a^2 + a b + 5 b^2[/mm].
> Also der Ausdruck kann schon mal nicht negativ werden, so
> viel ist klar.
> Also muss ich jetzt alle ganzen Zahlen, die kleiner als 10
> und größer als 0 sind untersuchen?
>
> "Ist etwa [mm]1 = a^2 + a b + 5 b^2[/mm] fuer irgendwelche [mm]a, b \in \IZ[/mm]?
> Wenn [mm]a = 0[/mm] ist geht das nicht, also muss [mm]a \neq 0[/mm] sein; ist
> [mm]b = 0[/mm], so geht es ebenfalls nicht, also muss auch [mm]b \neq 0[/mm]
> sein. Aber nun ist schon [mm]a^2 + a b + b^2 \ge 0[/mm] (warum?),
> womit der ganze Ausdruck [mm]\ge 4[/mm] ist, insbesondere also nicht
> den Wert 2 annehmen kann."
Ui, sieht ein wenig durcheinander aus. Also einmal soll die letzte 2 wohl 1 sein  Und dann gibts noch ein weiteres Problem, wie du schon bemerkt hast:
> Der Ausdruck kann doch aber den Wert 0 annehmen, nämlich
> wenn a und b=0 sind.
Genau (und auch nur dann). Aber das hab ich auch nicht behauptet, dass er den Wert 0 nicht annehmen kann.
> Und der Wert 1 kann doch auch
> angenommen werden, wenn a=1 oder a=-1 und b=0. Versteh ich
> jetzt die ganze Vorgehensweise falsch?
Stimmt, den Fall hatte ich uebersehen. Wenn $b = 0$ ist, dann muss [mm] $a^2 [/mm] = 1$ sein, also $a = [mm] \pm [/mm] 1$. Aber wenn $b [mm] \neq [/mm] 0$ ist, dann kann [mm] $\Phi(a, [/mm] b)$ nicht gleich 1 sein.
> Ich würde jetzt durch Probieren versuchen, ob der Term die
> natürlichen Zahlen von 0 bis 9 annehmen kann mit
> irgendeiner Kombination von a und b und komme dann darauf,
> dass die Werte 0 (für a=0 und b=0), 1 (für a=1 und b=0),4
> (für a=2 und b=0), 7 (für a=1 und b=1) und 5 (für a=0 und
> b=1) angenommen werden.
Das ist schonmal ein Anfang. Bei den restlichen musst du jetzt aber zeigen, dass diese nicht angenommen werden koennen. Und zwar aehnlich wie bei der Argumentation oben: Etwa erstmal schauen ob $a = 0$ oder $b = 0$ sein kann und was dann passiert, und dann gucken was ist wenn $a [mm] \neq [/mm] 0 [mm] \neq [/mm] b$ ist. Und versuchen irgendwie einen Widerspruch herzustellen.
> Ich denke aber nicht, dass das so richtig ist. Woher krieg
> ich denn mein a und b?
Ich versteh grad nicht was du mit deiner letzten Frage meinst?
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:38 Fr 27.10.2006 | | Autor: | Franzie |
Hallöchen nochmal!
Hab jetzt endlich den ersten Teil der Aufgabe rausgekriegt und nun noch eine Frage zum zweiten Teil, ob ich auf dem richtigen Weg bin:
Geben Sie
> (mit Beweis der Vollständigkeit) alle Werte x,y [mm]\in I_{19}[/mm]
> an, sodass x [mm]\cdot[/mm] y = z für alle z [mm]\in \{2,3,\alpha ,1+\alpha , -1+\alpha \}[/mm]
> .
Ich hab mir dazu jetzt Folgendes mit einigen Tipps gedacht:
Wenn x*y=z, dann muss auch gelten [mm] \left| x \right| [/mm] ^2 [mm] *\left| y \right| [/mm] ^2 = [mm] \left| z \right| [/mm] ^2
und da x, y aus I_19 sind, kann ich dafür auch schreiben:
[mm] \left| a+b*\alpha \right| [/mm] ^2 * [mm] \left| c+d*\alpha \right| [/mm] ^2 = [mm] \left| z \right| [/mm] ^2
In der Übung haben wir gezeigt, dass [mm] \left| a+b*\alpha \right| [/mm] ^2= [mm] \Phi (a+b*\alpha [/mm] )
so, und im ersten Teil der Aufgabe hab ich ja schon gezeigt, dass [mm] \Phi (a+b*\alpha [/mm] ) auf die Menge der natürlichen Zahlen abgebildet wird. Also gibt es doch gar kein x,y, sodass z den Wert [mm] \alpha, [/mm] 1+ [mm] \alpha [/mm] oder [mm] -1-\alpha [/mm] annehmen, weil das doch komplexe Zahlen sind, oder?
Und bezüglich der 2 und der 3 hab ich mir das so gedacht:
[mm] \left| a+b*\alpha \right| [/mm] ^2 * [mm] \left| c+d*\alpha \right| [/mm] ^2 = [mm] \left| z \right| [/mm] ^2, also
[mm] \Phi (a+b*\alpha )*\Phi (c+d*\alpha [/mm] )=4. Jetzt hab ich mir überlegt, dass 4 gebildet werden kan aus dem Produkt aus 2*2 und 4*1. Da ich aber oben bereits gezeigt hab, dass [mm] \Phi (a+b*\alpha [/mm] )nie den Wert 2 annimmt, entfällt daher diese Möglichkeit. Jedoch die Werte [mm] \Phi (a+b*\alpha [/mm] )= 1 und [mm] \Phi (a+b*\alpha [/mm] )= 4 werden angenommen und jetzt hab ich einfach die Werte für a,b,c,d angegeben, für die dies erfüllt ist. Analog für z=3. Stimmt das so?
Ich hab noch ein Problem damit, dass ich ja mit dem Quadrat des Betrages gerechnet hab. Muss ich da jetzt noch ne Wurzel ziehen?
Und wie wird das gemeint mit dem Nachweis der Vollständigkeit?
liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Di 31.10.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo,
da ich selber zwei der Übungsgruppen leite, kann ich dich beruhigen: die Hausaufgaben müssen stets erst in der Woche nach der Besprechung abgegeben werden. Es ist also immer möglich, die Übungsleiter in der Übung nach Tipps zu fragen - außerdem kannst du auch von der Möglichkeit Gebrauch machen, den Ü-Leitern eine Mail zu schicken. Wir sind sehr freundlich und hilfsbereit
Ich hoffe, deine Fragen haben sich in der Zwischenzeit weitgehen erledigt - sonst melde dich einfach nochmal.
Viel Erfolg auch weiterhin noch!
Anja
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