Mengen - Unterrräume? < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:20 Mo 08.02.2010 | | Autor: | konrad20 |
| Aufgabe | Welche der folgenden Mengen sind Untervektorräume des [mm] \IR^n\ [/mm] (n>=2)?
a, {x; x1 = a}, [mm] a\in\IR\sub
[/mm]
b, {x; x1 = 0} U {x, x2=0}
c, {x; x1 >=0}
d, {x; x1*x2=0}
e, {x; x1= 0}geschnitten mit {x;x2=0}
Skizzieren Sie die Mengen für den Fall n=2 und kartesischen Koordinaten x1, x2.
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Bisher bin ich leider noch nicht sehr weit gekommen, ich kenne die Bedingungen, die für die Unterräume gelten:
1. der Nullvektor muss Teil der Untermenge sein
2. die summe zweier vektoren in U muss wieder in U liegen
3.das produkt einer reellen zahl mit einem vektor muss wieder in U liegen
Zeigen darf man das auch durch ein Gegenbeispiel.
Allerdings komme ich bei den Aufgaben nicht wirklich weiter.
a; es existiert ein Nullvektor, und ich kann die vektoren auch mit jeder beliebigen zahl multiplizieren (und sie liegen noch in U), und die summe zweier vektoren liegt auch in u
b, auch hier komme ich auf alle 3 kriterien
c, hier würde ich sagen, ist es kein unterraum, da ich wenn ich mit einer negativen zahl multipliziere nicht mehr in U bin..
d, bei d komme ich leider gar nicht weiter außer, dass x1 oder/und x2 Null ergeben (Fallunterscheidung???)
e; hier weis ich leider gar nicht weiter....
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt
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Hallo konrad20,
> Welche der folgenden Mengen sind Untervektorräume des
> [mm]\IR^n\[/mm] (n>=2)?
>
> a, {x; x1 = a}, [mm]a\in\IR\sub[/mm]
> b, {x; x1 = 0} U {x, x2=0}
> c, {x; x1 >=0}
> d, {x; x1*x2=0}
> e, {x; x1= 0}geschnitten mit {x;x2=0}
>
> Skizzieren Sie die Mengen für den Fall n=2 und
> kartesischen Koordinaten x1, x2.
>
>
> Bisher bin ich leider noch nicht sehr weit gekommen, ich
> kenne die Bedingungen, die für die Unterräume gelten:
>
> 1. der Nullvektor muss Teil der Untermenge sein
> 2. die summe zweier vektoren in U muss wieder in U liegen
> 3.das produkt einer reellen zahl mit einem vektor muss
> wieder in U liegen
>
> Zeigen darf man das auch durch ein Gegenbeispiel.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") widerlegen kannst du es durch ein Gegenbsp. bzw. zeigen, dass es kein UVR ist!
>
> Allerdings komme ich bei den Aufgaben nicht wirklich
> weiter.
>
> a; es existiert ein Nullvektor
Das ist unglücklich formuliert, was genau meinst du?
Wenn [mm] $a\neq [/mm] 0$ ist, so ist der Nullvektor nicht in der o.a. Menge drin!
> , und ich kann die vektoren
> auch mit jeder beliebigen zahl multiplizieren (und sie
> liegen noch in U), und die summe zweier vektoren liegt auch
> in u
Auch nur für $a=0$
Nehmen wir o.E. den [mm] $\IR^2$ [/mm] her und [mm] $a\in\IR, a\neq [/mm] 0$
Dann sind [mm] $\vektor{a\\1}, \vektor{a\\0}$ [/mm] in der Menge drin, aber [mm] $\vektor{a\\1}+\vektor{a\\0}$ =\vektor{2a\\1}$
[/mm]
Und der hat in der ersten Komponente doch nicht a, sondern 2a stehen.
>
> b, auch hier komme ich auf alle 3 kriterien
Ich nicht.
Nimm wieder den [mm] $\IR^2$ [/mm] her, dann ist die oben beschriebene Menge das Achsenkreuz.
Da sind [mm] $\vektor{1\\0}$ [/mm] und [mm] $\vektor{0\\1}$ [/mm] drin, aber deren Summe ist [mm] $\vektor{1\\1}$ [/mm] und das Ding ist offenbar nicht drin ...
>
> c, hier würde ich sagen, ist es kein unterraum, da ich
> wenn ich mit einer negativen zahl multipliziere nicht mehr
> in U bin.. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> d, bei d komme ich leider gar nicht weiter außer, dass x1
> oder/und x2 Null ergeben (Fallunterscheidung???)
Nimm dir nochmal den [mm] $\IR^2$ [/mm] her und bedenke, dass [mm] $x_1\cdot{}x_2=0\gdw x_1=0 [/mm] \ [mm] \vee [/mm] \ [mm] x_2=0$ [/mm] ist.
Damit kriegst du doch leicht ein Gegenbsp. gebastelt, wo die Summe nachher nicht mehr drin ist
>
> e; hier weis ich leider gar nicht weiter....
Schreibe dir mal einen allg. Vektor mit n Komponenten auf, der in der Schnittmenge liegt, also [mm] $\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\\vdots{}\\x_n}$
[/mm]
Wie sind [mm] $x_1, x_2$ [/mm] beschaffen?
Wenn du das hast, probier's nochmal ...
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 Mo 08.02.2010 | | Autor: | konrad20 |
vielen dank, sich dass im /IR/ vor zu stellen, ist ja echt super - machts echt einfacher!
also bei d;
hab ich jetzt da ja nur x1 oder x2 gleich null ist:
[mm] {1\choose 0} +{0\choose 4}={1\choose 4}
[/mm]
bin ich da richtig vorgegangen?
meine idee für e;
es würde ja heißen, dass für alle Vektoren gelten müsste [mm] {0\choose 0}? [/mm]
also wär es eine Untermenge, da ich immer für x1 und x2 null bekomme...für die multiplikation, addition und den nullvektor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:39 Mo 08.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> vielen dank, sich dass im /IR/ vor zu stellen, ist ja echt
> super - machts echt einfacher!
>
> also bei d;
> hab ich jetzt da ja nur x1 oder x2 gleich null ist:
>
> [mm]{1\choose 0} +{0\choose 4}={1\choose 4}[/mm]
>
> bin ich da richtig vorgegangen?
Ja
>
> meine idee für e;
> es würde ja heißen, dass für alle Vektoren gelten
> müsste [mm]{0\choose 0}?[/mm]
????? Die Menge in e) besteht aus allen Vektoren der Gestalt $ [mm] \vektor{0\\0\\x_3\\\vdots{}\\x_n} [/mm] $ !!!
FRED
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> also wär es eine Untermenge, da ich immer für x1 und x2
> null bekomme...für die multiplikation, addition und den
> nullvektor
>
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Mo 08.02.2010 | | Autor: | konrad20 |
aber es ist doch richtig, dass e, alle drei kriterien erfüllt?
da ich die vektoren mit einer beliebig reellen zahl multiplizieren kann und x1,x2 = 0, und ich auch die summe bilden kann und der Nullvektor existiert, während x1 und x2 gleich null sind..
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Hallo nochmal,
> aber es ist doch richtig, dass e, alle drei kriterien
> erfüllt?
> da ich die vektoren mit einer beliebig reellen zahl
> multiplizieren kann und x1,x2 = 0, und ich auch die summe
> bilden kann und der Nullvektor existiert, während x1 und
> x2 gleich null sind..
Das stimmt, du solltest es aber unbedingt auch mal formal durchrechnen!
Das ist ja nicht so wild, rechne es doch mal hier vor, das ist ne gute Übung, und es findet sich sicher jemand, der das nachguckt ...
Gruß
schachuzipus
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