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Mengen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:03 Fr 16.04.2010
Autor: melisa1

Aufgabe
(a) Beweisen Sie, dass zwei Mengen gleich sind, wenn jede in der jeweils Anderen enthalten ist.
(b) Beweisen Sie, dass die Enthaltenseinsbeziehung von Mengen transitiv ist, d.h.  (A [mm] \subseteq [/mm] B und B [mm] \subseteq [/mm] C) [mm] \Rightarrow [/mm] A [mm] \subseteq [/mm] C

Hallo,

ich mache gerade eine Übung und würde mich freuen, wenn jemand mir weiterhelfen kann.

a) Bemerkung aus dem Script: Man beachte, dass damit zwei Mengen gleich sind, wenn sowohl M [mm] \Rightarrow [/mm] N, als auch N [mm] \Rightarrow [/mm] M gilt.

Reicht das schon aus?

b) Muss ich das so ähnlich machen wie zum Beispiel wenn ich das Kommutativgesetz bei Mengen beweise.

Also

x [mm] \in [/mm] A [mm] \subseteq [/mm] B dann ist x [mm] \in [/mm] A od. x [mm] \in [/mm] B

x [mm] \in B\subseteq [/mm] C dann ist x [mm] \in [/mm] B od. x [mm] \in [/mm] C

[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \subseteq [/mm] C


ich denke mal ich liege falsch :S



Lg Melisa

        
Bezug
Mengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:44 Fr 16.04.2010
Autor: ChopSuey

Hi Melisa,



> (a) Beweisen Sie, dass zwei Mengen gleich sind, wenn jede
> in der jeweils Anderen enthalten ist.
>  (b) Beweisen Sie, dass die Enthaltenseinsbeziehung von
> Mengen transitiv ist, d.h.  (A [mm]\subseteq[/mm] B und B [mm]\subseteq[/mm]
> C) [mm]\Rightarrow[/mm] A [mm]\subseteq[/mm] C
>  Hallo,
>  
> ich mache gerade eine Übung und würde mich freuen, wenn
> jemand mir weiterhelfen kann.
>  
> a) Bemerkung aus dem Script: Man beachte, dass damit zwei
> Mengen gleich sind, wenn sowohl M [mm]\Rightarrow[/mm] N, als auch N
> [mm]\Rightarrow[/mm] M gilt.
>
> Reicht das schon aus?

Hier ist vermutlich $\ x [mm] \in [/mm] M [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] N $ oder aber $\ M [mm] \subset [/mm] N $ gemeint.

du sollst folgende Aussage beweisen: $\ A = B [mm] \gdw [/mm] A [mm] \subseteq [/mm] B [mm] \wedge [/mm] B [mm] \subseteq [/mm] A $

Fange an mit:

Sei $\ A [mm] \subseteq [/mm] B $.

Dann gilt für alle $\ x [mm] \in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] B $

Sei $\ B [mm] \subseteq [/mm] A $.

Dann gilt für alle $\ x [mm] \in [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A $

Da für jedes Element aus $\ A $ und $\ B $ gilt, dass sie in beiden Mengen enthalten sind, gilt $\ A = B $

Fertig.

>  
> b) Muss ich das so ähnlich machen wie zum Beispiel wenn
> ich das Kommutativgesetz bei Mengen beweise.
>
> Also
>  
> x [mm]\in[/mm] A [mm]\subseteq[/mm] B dann ist x [mm]\in[/mm] A od. x [mm]\in[/mm] B
>  
> x [mm]\in B\subseteq[/mm] C dann ist x [mm]\in[/mm] B od. x [mm]\in[/mm] C
>  
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] A [mm]\subseteq[/mm] C
>
>

Nicht ganz.

$\  A [mm] \subseteq [/mm] B $ bedeutet, dass $\ A $ Teilmenge von  $\ B $ ist.

Ich würde es ähnlich machen, wie bei der Transitivität von Relationen.
Also:

Sei $\ A [mm] \subseteq [/mm] B $ und $\ B [mm] \subseteq [/mm] C $.

Zu zeigen gilt: $\ A [mm] \subseteq [/mm] C $

(Das kannst du genauso machen wie bei Aufgabe a )

Hilfe für dich: $\ M [mm] \subseteq [/mm] N [mm] :\gdw \forall [/mm] \ x [mm] \in [/mm] A : x [mm] \in [/mm] B $ (In Worten: für alle $\ x [mm] \in [/mm] A $ gilt $\ x [mm] \in [/mm] B $.

Bsp: $\ M = [mm] \{1,2\} [/mm] $, $\ N = [mm] \{1,2,3\} [/mm] $ also $\ M [mm] \subseteq [/mm] N $
Aber $\ M = [mm] \{1,2,3\} [/mm] $, $\ N' = [mm] \{2,3,4\} [/mm] $ also $\ M [mm] \not\subseteq [/mm] N $ weil $\ 1 [mm] \in [/mm] M_ $ aber $\ 1 [mm] \not\in [/mm] N'$


Viel Erfolg!


>  
>
>
> Lg Melisa

Grüße
ChopSuey


Bezug
                
Bezug
Mengen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:04 Fr 16.04.2010
Autor: melisa1

Hallo Chopsuey,

danke für deine Hilfe!

Nochmal zu b)

Meins du das so:
  
Sei  A [mm] \subseteq [/mm] B
  
Dann gilt für alle  x [mm] \in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] B
  
Sei  B [mm] \subseteq [/mm] C
  
Dann gilt für alle  x [mm] \in [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] C
  
Da x  Element aus  A und  C ist, folgt A [mm] \subseteq [/mm] C


Lg Melisa


Bezug
                        
Bezug
Mengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:17 Fr 16.04.2010
Autor: ChopSuey

Hi Melisa,

> Hallo Chopsuey,
>  
> danke für deine Hilfe!
>  
> Nochmal zu b)
>  
> Meins du das so:
>    
> Sei  A [mm]\subseteq[/mm] B
>    
> Dann gilt für alle  x [mm]\in[/mm] A [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] B
>    
> Sei  B [mm]\subseteq[/mm] C
>
> Dann gilt für alle  x [mm]\in[/mm] B [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] C
>    
> Da x  Element aus  A und  C ist, folgt A [mm]\subseteq[/mm] C
>  

Ja, im Grunde schon.

Am besten pickst du dir einfach die zwei Konklusionen und fügst sie zusammen.

Du hast $\ [mm] \underbrace{ x \in A \Rightarrow \green{ x \in B}}_{A \subseteq B} [/mm] $ und $\ [mm] \underbrace{ \green{ x \in B} \Rightarrow x \in C}_{B \subseteq C} [/mm]  $ also folglich $\ [mm] \underbrace{ x \in A \Rightarrow x \in C}_{A \subseteq C} [/mm] $

Was zu beweisen war ;-)



>
> Lg Melisa
>  

Grüße
ChopSuey


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