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| Aufgabe | [mm] \IF^{\IN}_{2} [/mm] sei dir Menge der Funktionen von [mm] \IN [/mm] nach [mm] \IF_{2}
[/mm]
Zu [mm] x\in \IF^{\IN}_{2} [/mm] definieren wir [mm] supp(x):=\{i\in \IN | x(i)=1 \}, [/mm] genannt Support von x.
[mm] \IF^{<\IN}_{2} [/mm] sei die Menge der Elemente von [mm] \IF^{\IN}_{2} [/mm] mit endlichem Support.
Zeigen Sie:
a) [mm] \IF^{\IN}_{2} [/mm] bildet zusammen mit der komponentenweisen Addition und skalaren Multiplikation einen Vektorraum über [mm] \IF_{2}. [/mm] Ferner ist [mm] \IF^{<\IN}_{2} [/mm] Unterraum von [mm] \IF^{\IN}_{2}.
[/mm]
b) [mm] \IF^{<\IN}_{2}besitzt [/mm] keine endliche Basis als [mm] \IF_{2}-Vektorraum
[/mm]
c) Für [mm] i\in\IN [/mm] sei [mm] f_{i}(j):=\delta_{ij}. [/mm] Dann ist [mm] \{f_{i} | i \in \IN \} [/mm] eine Basis von [mm] \IF^{<\IN}_{2} [/mm] |
Also ich bin gerade bei der i)
Zuerst muss ich ja die abgeschlossenheit bezüglich Skalarmultiplikation und komponentenweiser Addition nachweisen:
Das habe ich mir so gedacht:
Seien [mm] x,y\in\IF^{\IN}_{2} [/mm] , [mm] \lambda\in\IF_{2} [/mm] , [mm] i,j\in\IN [/mm] , [mm] a,b,c,d\in\IN [/mm] mit:
[mm] $x(i):=a\equiv [/mm] b mod 2$
[mm] $y(j):=b\equiv [/mm] c mod 2$
Somit:
$(x+y)(i) = x(i)+y(i) = a + b [mm] \equiv [/mm] (b+c) mod 2 [mm] \in \IF_{2}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] x+y [mm] \in \IF^{\IN}_{2}$
[/mm]
Somit ist [mm] \IF^{\IN}_{2} [/mm] unter komponentenweiser Addition abgeschlossen.
[mm] $(\lambda \* x)(i)=\lambda \* [/mm] x(i) = [mm] \lambda \* [/mm] a [mm] \equiv (\lambda \* [/mm] b)mod 2 [mm] \in \IF_{2}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \lambda\* [/mm] x [mm] \in \IF^{\IN}_{2}$
[/mm]
Stimmt das bis jetzt ungefähr so? Und wie mache ich weiter??
Ich muss nun ja noch nachweisen:
[mm] $\lambda_{1} \* (\lambda_{2} \* [/mm] x) = ( [mm] \lambda_{1} \* \lambda_{2})\*x$
[/mm]
[mm] $\lambda \* [/mm] (x+y) = [mm] \lambda \* [/mm] x + [mm] \lambda \* [/mm] y$
[mm] $(\lambda_{1}+\labmda_2) \* [/mm] x = [mm] \lambda_1 \* [/mm] x + [mm] \lambda_2 \* [/mm] x$
Also kann ich das so machen, wie ich die Abgeschlossenheit auch gemacht habe?
Vielen Dank!
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> [mm]\IF^{\IN}_{2}[/mm] sei dir Menge der Funktionen von [mm]\IN[/mm] nach
> [mm]\IF_{2}[/mm]
> Zu [mm]x\in \IF^{\IN}_{2}[/mm] definieren wir [mm]supp(x):=\{i\in \IN | x(i)=1 \},[/mm]
> genannt Support von x.
> [mm]\IF^{<\IN}_{2}[/mm] sei die Menge der Elemente von
> [mm]\IF^{\IN}_{2}[/mm] mit endlichem Support.
> Zeigen Sie:
> a) [mm]\IF^{\IN}_{2}[/mm] bildet zusammen mit der komponentenweisen
> Addition und skalaren Multiplikation einen Vektorraum über
> [mm]\IF_{2}.[/mm] Ferner ist [mm]\IF^{<\IN}_{2}[/mm] Unterraum von
> [mm]\IF^{\IN}_{2}.[/mm]
> b) [mm]\IF^{<\IN}_{2}besitzt[/mm] keine endliche Basis als
> [mm]\IF_{2}-Vektorraum[/mm]
> c) Für [mm]i\in\IN[/mm] sei [mm]f_{i}(j):=\delta_{ij}.[/mm] Dann ist
> [mm]\{f_{i} | i \in \IN \}[/mm] eine Basis von [mm]\IF^{<\IN}_{2}[/mm]
> Also ich bin gerade bei der i)
Hallo,
bei der a) meinst Du wohl.
> Zuerst muss ich ja die abgeschlossenheit bezüglich
> Skalarmultiplikation und komponentenweiser Addition
> nachweisen:
> Das habe ich mir so gedacht:
>
> Seien [mm]x,y\in\IF^{\IN}_{2}[/mm] , [mm]\lambda\in\IF_{2}[/mm] , [mm]i,j\in\IN[/mm] ,
> [mm]a,b,c,d\in\IN[/mm] mit:
> [mm]x(i):=a\equiv b mod 2[/mm]
> [mm]y(j):=b\equiv c mod 2[/mm]
> Somit:
> $(x+y)(i) = x(i)+y(i) = a + b [mm] \equiv [/mm] (b+c) mod 2 [mm] \in \IF_{2}$
[/mm]
Das ist zu umständlich. Es reicht das Wissen, daß für alle [mm] i,j\in \IN [/mm] die Funktionswerte x(i) und y(i) [mm] \in \IF_2 [/mm] sind. Auf die Körpereigenschaften von [mm] \IF_2 [/mm] kannst Du Dich berufen.
Wenn Du das tust, umgehst du auch eine Unschönheit: Du setzt hier ja [mm] \IF_2 [/mm] gleich mit [mm] \IZ_2 [/mm] - was ja auch irgendwie stimmt: jeder Körper mit 2 Elementen ist isomorph zu [mm] \IZ_2.
[/mm]
Ich würde das so machen: seien [mm] x,y\in \IF_2^{\IN}.
[/mm]
z.z.: [mm] x+y\in \IF_2^{\IN}
[/mm]
Bew: es sei [mm] i\in \IN.
[/mm]
Es ist [mm] (x+y)(i)=x(i)+y(i)\in \IF_2, [/mm] denn [mm] \IF_2 [/mm] ist ein Körper.
Also ist [mm] x+y\in \IF_2^{\IN}
[/mm]
In diesem Stile kannst du die anderen auch machen.
>
> [mm]\Rightarrow x+y \in \IF^{\IN}_{2}[/mm]
> Somit ist [mm]\IF^{\IN}_{2}[/mm]
> unter komponentenweiser Addition abgeschlossen.
> [mm](\lambda \* x)(i)=\lambda \* x(i) = \lambda \* a \equiv (\lambda \* b)mod 2 \in \IF_{2}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \lambda\* x \in \IF^{\IN}_{2}[/mm]
> Stimmt das bis
> jetzt ungefähr so? Und wie mache ich weiter??
> Ich muss nun ja noch nachweisen:
> [mm]\lambda_{1} \* (\lambda_{2} \* x) = ( \lambda_{1} \* \lambda_{2})\*x[/mm]
>
> [mm]\lambda \* (x+y) = \lambda \* x + \lambda \* y[/mm]
>
> [mm](\lambda_{1}+\labmda_2) \* x = \lambda_1 \* x + \lambda_2 \* x[/mm]
Du bist im Begriff zu vergessen, daß Du zeigen mußt, daß [mm] 8\IF_2^{\IN}, [/mm] +) eine abelsche Gruppe ist.
Gruß v. Angela
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> Also kann ich das so machen, wie ich die Abgeschlossenheit
> auch gemacht habe?
>
> Vielen Dank!
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Okay, das hab ich jetzt soweit :)
Ja, das mit der abelschen Gruppe hab ich nur vergessen hinzuschreiben.
Jedoch versteh ich nicht ganz, was ich mir unter der Menge [mm] \IF^{<\IN}_{2} [/mm] vorstellen soll? Die Menge der Funktionen mit endlichem Support? Also die, die nicht unendlich viele x auf 0 Abbilden?
Aber wie arbeite ich damit?
Vielen Dank für die Antwort :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:27 Mo 19.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Okay, das hab ich jetzt soweit :)
> Ja, das mit der abelschen Gruppe hab ich nur vergessen
> hinzuschreiben.
> Jedoch versteh ich nicht ganz, was ich mir unter der Menge
> [mm]\IF^{<\IN}_{2}[/mm] vorstellen soll? Die Menge der Funktionen
> mit endlichem Support? Also die, die nicht unendlich viele
> x auf 0 Abbilden?
> Aber wie arbeite ich damit?
Es ist [mm]x \in \IF^{<\IN}_{2}[/mm] [mm] \gdw [/mm] es gibt ein j=j(x) [mm] \in \IN [/mm] mit x(i)=0 für alle i >j.
FRED
>
> Vielen Dank für die Antwort :)
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> > Okay, das hab ich jetzt soweit :)
> > Ja, das mit der abelschen Gruppe hab ich nur vergessen
> > hinzuschreiben.
> > Jedoch versteh ich nicht ganz, was ich mir unter der
> Menge
> > [mm]\IF^{<\IN}_{2}[/mm] vorstellen soll? Die Menge der Funktionen
> > mit endlichem Support? Also die, die nicht unendlich viele
> > x auf 0 Abbilden?
> > Aber wie arbeite ich damit?
>
> Es ist [mm]x \in \IF^{<\IN}_{2}[/mm] [mm]\gdw[/mm] es gibt ein j=j(x) [mm]\in \IN[/mm]
Das verstehe ich nicht ganz. wir haben hier ein x aus [mm] \IF^{<\IN}_{2}, [/mm] also ist x ja auch [mm] \in \IN, [/mm] da [mm] \IF^{<\IN}_{2}:={x \in \IN | f(x)=1 für f \in \IF^{\IN}_{2}} [/mm] und somit ist das gewählte x eine natürl. Zahl. Also ist dein j dann wohl aus [mm] \IF^{\IN}_{2}
[/mm]
> mit x(i)=0 für alle i >j.
aber warum ist x nun hiern auf einmal Funktion?
>
> FRED
> >
> > Vielen Dank für die Antwort :)
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> > > Jedoch versteh ich nicht ganz, was ich mir unter der
> > Menge
> > > [mm]\IF^{<\IN}_{2}[/mm] vorstellen soll? Die Menge der Funktionen
> > > mit endlichem Support?
Hallo,
richtig.
Wir halten nochmal fest: in der Menge sind Funktionen.
> Also die, die nicht unendlich viele
> > > x auf 0 Abbilden?
Es sind die Funktionen drin, die nur endlich viele natürliche Zahlen auf die 1 abbilden und die anderen auf die 0.
> > > Aber wie arbeite ich damit?
Ich weiß nicht recht, was Du meinst.
Du mußt jetzt die unterraumkriterien bemühen und nachweisen.
> >
> > Es ist [mm]x \in \IF^{<\IN}_{2}[/mm] [mm]\gdw[/mm] es gibt ein j=j(x) [mm]\in \IN[/mm]
> Das verstehe ich nicht ganz. wir haben hier ein x aus
> [mm]\IF^{<\IN}_{2},[/mm] also ist x ja auch [mm]\in \IN,[/mm]
Grober Unfug!!! Du sagst doch oben selbst, daß x eine Funktion ist, nämlich eine Funktion, die aus den nat. Zahlen in den [mm] F_2 [/mm] abbildet.
Du darfst, egal ob die Funktion sich x oder f nennt, nie die Funktion und den Funktionswert an einer Stelle verwechseln, wobei hier auch x(i) für alle [mm] i\in \IN [/mm] nicht eine natürliche Zahl ist, sondern ein Element aus [mm] F_2.
[/mm]
> da
> [mm]\IF^{<\IN}_{2}:=\{x \in \IN | f(x)=1\quad fuer \quad f \in \IF^{\IN}_{2}\}[/mm]
Diese Definition hast Du Dir ausgedacht.
Es gibt keinen Zusammenhang zur Aufgabenstellung.
Es ist [mm] \IF^{<\IN}_{2}:=\{x \in \IF_2^{\IN} | x(i)=1\quad fuer \quad endlich \quad viele \quad i\in \IN\}
[/mm]
Gruß v. Angela
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