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| Aufgabe | "...und ohne Beweis gilt für endliche Mengen X; Y
|Abb(Y;X)| = [mm] |X|^{|Y|}" [/mm] |
Hallo Leute,
ich habe folgenden Satz, den ich mir zur Aufgabe gemacht habe ^^ in einem alten Algebra-Buch in der Bibliothek gefunden.
Der Autor verzichtet hier auf den Beweis der oben genannten Behauptung. Und ich wollte den Beweis alleine durchführen und habe ihn auch geführt:
Seien |X|:= n und |Y|:= m und Abb(Y;X):={f| f Abbildung von Y in X}, so kann ich doch die Elemente von Y so bezeichnen Y:= [mm] {y_1, ... , y_m}. [/mm] Dann würde sich ergeben, dass es für [mm] f(y_1) [/mm] n Möglichkeiten gibt usw. für [mm] f(y_m) [/mm] auch wieder n Möglichkeiten. Also muss gelten [mm] X^Y. [/mm]
Meine eigentliche Frage ist, wie schreibe ich das formell richtig auf?
Lieben Dank
Zero-Zero
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moin Zero,
Zu aller erst nimmst du in deinem Beweis an, dass $X$ und $Y$ endliche Mengen sind.
Das ist überhaupt kein Problem, denn für unendliche ist der Beweis langweilig, aber wenn du es vollständig haben willst, solltest du den Fall vielleicht auch noch betrachten.
Zum formellen:
Seien $X$, $Y$ zwei nicht leere, endliche Mengen, etwa $|X| = n$ und $|Y|=m$ mit $m,n [mm] \in \IN$.
[/mm]
Sei weiterhin $f: Y [mm] \to [/mm] X$ eine Abbildung.
Dann gibt es für jedes Element aus $Y$ genau $n$ Elemente, auf die es abgebildet werden kann, also $n$ Möglichkeiten.
Insgesamt gibt es also [mm] $n^m$ [/mm] Abbildungen von $Y$ nach $X$.
So würde ich persönlich das jetzt aufschreiben (die Fälle, die ich am Anfang rausgezogen habe, kannst du natürlich noch von Hand verarzten).
Also was du geschrieben hast war schon vollkommen in Ordnung, es fehlten an sich nur noch ein paar kleine Feinheiten (etwa $X,Y$ endlich und nicht leer oder $n,m [mm] \in \IN$).
[/mm]
Du kannst auch gern mal deinen vollständigen Beweis posten, falls da noch kleine Details fehlen lässt sich das sicher ausbügeln. ;)
lg
Schadow
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:21 Sa 14.01.2012 | | Autor: | Zero-Zero |
Hallo Shadow,
danke für Deine schnelle Hilfe und Deine Korrektur! Ich habe beim ersten Teil vergessen zu sagen, dass es in dem Abschnitt des Buches um endlich Mengen ging.
Ich versuche den Beweis, mit Deinen Anmerkungen, nochmal vollständig aufzuschreiben:
Seien [mm] X\not=\emptyset [/mm] und [mm] Y\not=\emptyset [/mm] endliche Megen mit |X|:=n, |Y|:=m, m,n [mm] \in \IN [/mm] und sei weiter f: [mm] Y\to [/mm] X| f Abbildung
[mm] \forall y\in [/mm] Y gilt: [mm] y\mapsto x_1,...,x_n \Rightarrow n^{m} \Rightarrow X^Y \Box
[/mm]
Ist die Schreibweise so richtig oder hab ich total daneben gegriffen?
Lieben Dank,
Zero-Zero
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Hmm, das ist etwas sehr kurz.
Was genau willst du mit
$ [mm] \forall y\in [/mm] $ Y gilt: $ [mm] y\mapsto x_1,...,x_n \Rightarrow n^{m} \Rightarrow X^Y$
[/mm]
Du darfst nicht Beweise mit Zeichen/Quantoren verwechseln.
Zu einem ordentlichen Beweis gehört auch immer ein Text.
Dieser sollte natürlich kurz und präzise formuliert sein, aber nur Symbole ohne Erläuterung sind meist schwer verständlich und deshalb kein schöner Beweis.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:25 Sa 14.01.2012 | | Autor: | Zero-Zero |
Nun, ich war bisher der Meinung "schöne" Beweise bedürfen keiner oder weniger Worte... Aber ich bin ja auch hier um was zu lernen!
Mit y [mm] \mapsto x_1,...,x_y [/mm] wollte ich eben zeigen, dass man ein Element aus Y auf n Arten nach X abbilden kann.
Ich versuche es also nochmal :)
Seien [mm] X\not=\emptyset [/mm] und [mm] Y\not=\emptyset [/mm] endliche Mengen und |X|:=n, |Y|:=m mit m,n [mm] \in \IN, [/mm] sei weiter f: [mm] Y\to [/mm] X| f Abbildung.
So gibt es für jedes [mm] y\in [/mm] Y genau n Elemente von X (n Möglichkeiten), auf die y abgebildet werden kann. Demnach gibt es [mm] m^n [/mm] mögliche Abbildungen von Y nach X und so gilt [mm] |X|^{|Y|} \Box
[/mm]
Wäre das so besser?
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