Menge ist Bild einer Fkt. < Operations Research < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 Mi 21.04.2010 | | Autor: | Katrin89 |
| Aufgabe | Es sei A=(1,0,1;1,1,0;0,1,0) und S ist eine Menge mit [mm] y^T(A^T*A)*y<=9
[/mm]
Zeige: S ist das Bild einer Fkt. f:x nach A^(-1)*x von einer Kugel [mm] B_r(0) [/mm] um den Ursprung mit einem geeigneten Radius r.
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allg ist eine Kugel so def.: [mm] B_r(0) [/mm] mit x als Norm, dann gilt: [mm] x_1^2+x_2^2+x_3^2<=r^2
[/mm]
Ich finde die Aufgabe schwer verständlich und weiß nicht genau, wohin mich der Weg hier führt. Was genau soll ich zeigen?
Ich habe zunächst [mm] y^T(A^T*A)*y<=9 [/mm] ausgerechnet und A^(-1)*x
Ergebnis:
1) [mm] 2^y_1^2+y_1y_2+y_3y_1<=9
[/mm]
[mm] y_1y_2+2y_2^2<=9
[/mm]
[mm] y_1y_3+yy_3^2<=9
[/mm]
dann habe ich die beiden letzten Gleichungen zur 1. substrahiert:
[mm] 2y_1^2-2y_2^2-y_3^3<=9, [/mm] daraus vermute ich, dass r=3 sein könnte.
Was genau muss ich zeigen:
Muss ich zeigen, dass Bild, wie ich es errechnet habe, der oben definierten Kugel entspricht? Kann ich da meine Gleichung noch weiter umformen?
2)ergibt: [mm] ((x_2-x_3);x_3;(x_1-x_2-x_3), [/mm] damit kann ich gar nichts anfangen.
Hilfe 
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:30 Mi 21.04.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Zeige: S ist das Bild einer Fkt. f:x nach A^(-1)*x von
> einer Kugel [mm]B_r(0)[/mm] um den Ursprung mit einem geeigneten
> Radius r.
> Was genau muss ich zeigen:
1. Jeder Bildpunkt von f liegt in S
2. Jeder Punkt von S ist ein Bildpunkt von f
Das ergibt sich zu:
1. Daß f eine Funktion
$$f:\ [mm] B_r(0)\to [/mm] S,\ [mm] x\mapsto A^{-1}x$$
[/mm]
ist. Für welche r liegt denn [mm] $A^{-1}x$ [/mm] in S?
2. Sowie daß S auch das Bild ist, d.h. [mm] $f(B_r(0))=S$, [/mm] bzw.
[mm] $$\forall y\in [/mm] S:\ [mm] \exists\, x\in B_r(0)\text{ so, daß }f(x)=y$$
[/mm]
ciao
Stefan
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:17 Mi 21.04.2010 | | Autor: | Katrin89 |
Hi Stefan,
danke. Werde mir deine Antwort gleich mal angucken und versuchen, zu verstehen.
Was hälst du denn von meiner Idee? Führt mich das in die Irre?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 23:48 Mi 21.04.2010 | | Autor: | Katrin89 |
Danke Stefan.
zu 1)
Was ich zeigen muss, kann ich - so denke ich jedenfalls - über meine beiden Matrizen zeigen, leider weiß ich nicht wie...
der Radius schätze ich auf 3, da [mm] r^2=9 [/mm] ist. Aber ich schätze es nur aus der Menge, die ja keine Kugel ist.
zu 2)
ich weiß leider nicht, was ich damit anfangen soll
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:35 Mi 28.04.2010 | | Autor: | Katrin89 |
Hi,
ich habe die Aufgabe selbst gelöst. Danke.
Viele Grüße
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