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Forum "Maßtheorie" - Menge in 2-dim Borel-Sigma-Alg
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Menge in 2-dim Borel-Sigma-Alg: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:50 Do 17.05.2012
Autor: steppenhahn

Aufgabe
Zeige: [mm] $A:=\{(x,x) \in \IR\}$ [/mm] ist in [mm] $B_{\IR^2}$ [/mm] enthalten!



Hallo,

ich möchte zeigen, dass für zwei messbare Funktion $X,Y: [mm] (\Omega, \mathcal{A}) \to (\IR, B_{\IR})$ [/mm] die Menge [mm] $\{X = Y\} \in \mathcal{A}$ [/mm] ist.

Dafür habe ich benutzt, dass die Funktion $(X,Y): [mm] (\Omega, \mathcal{A}) \to (\IR^2, B_{\IR^2})$ [/mm] messbar ist und

[mm] $\{X = Y\} [/mm] = [mm] (X,Y)^{-1}(A)$ [/mm] gilt.

Es muss also nur noch $A [mm] \in B_{\IR^2}$ [/mm] gezeigt werden.
Dafür würde ich wie folgt vorgehen:

Betrachte [mm] A_n [/mm] := [mm] \bigcup_{k\in \IZ}\left[k*\frac{1}{n} ,(k+1)*\frac{1}{n}\right)^2 \in B_{\IR^2}$, [/mm] dann gilt $A = [mm] \bigcap_{n\in\IN} A_n \in B_{\IR^2}$. [/mm]

Ist es wirklich so "kompliziert", zu zeigen, dass [mm] $\{X = Y\} \in \mathcal{A}$ [/mm] ist? Gibt es da keine leichtere Möglichkeit (z.B. mit einem Satz)?


Danke für Eure Hilfe und viele Grüße,
Stefan

        
Bezug
Menge in 2-dim Borel-Sigma-Alg: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:25 Do 17.05.2012
Autor: SEcki


> Ist es wirklich so "kompliziert", zu zeigen, dass [mm]\{X = Y\} \in \mathcal{A}[/mm]
> ist? Gibt es da keine leichtere Möglichkeit (z.B. mit
> einem Satz)?

Soweit ich bisher Definitionen gesehen habe, gehören zur Borel-Sigma-Algebra auch immer alle abgeschlossenen Mengen.

SEcki


Bezug
        
Bezug
Menge in 2-dim Borel-Sigma-Alg: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:52 Fr 18.05.2012
Autor: fred97

Ergänzend zu Secki:

Die Borelsche [mm] \sigma [/mm] - Algebra wird von den abgeschlossenen Mengen erzeugt !

FRED

Bezug
                
Bezug
Menge in 2-dim Borel-Sigma-Alg: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:10 Di 22.05.2012
Autor: steppenhahn

Vielen Dank für Eure Antworten!

Stefan

Bezug
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