Menge der Äquivalenzklassen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:46 Mo 19.11.2007 | | Autor: | SpoOny |
| Aufgabe | Es sei V ein K-Vektorraum und U [mm] \subset [/mm] V ein Untervektorraum.
Wir definieren die folgende Relation auf V: [mm] v_{1}, v_{2} \in [/mm] V
[mm] v_{1} \sim v_{2} \gdw v_{1}-v_{2} \in [/mm] U
a) zeige, [mm] \sim [/mm] ist Äquivalenzrelation
b) zeige, [mm] V/\sim [/mm] = V/U :={v+U: v [mm] \in [/mm] V}, wobei v+U:={v+u: u [mm] \in [/mm] U} |
zu a) hab ich folgendes
refl. [mm] v_{1} [/mm] - [mm] v_{1} [/mm] = 0 [mm] \in [/mm] U
symm. [mm] v_{1} [/mm] - [mm] v_{2} \in [/mm] U
[mm] \Rightarrow [/mm] - ( [mm] v_{1} [/mm] - [mm] v_{2}) \in [/mm] U
[mm] \Rightarrow [/mm] ...
(kann ich das annehmen??)
trans. [mm] v_{1} \sim v_{2} [/mm] ^ [mm] v_{2} \sim v_{3} [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] ...
[mm] \Rightarrow (v_{1} [/mm] - [mm] v_{2} [/mm] + [mm] v_{2} [/mm] - [mm] v_{3}) \in [/mm] U
[mm] \Rightarrow v_{1} [/mm] - [mm] v_{2} \in [/mm] U
.......
zu b)
Ich soll ja nu zeigen, das v+u eine Äquivalenzklasse ist, oder?
Wie gehe ich da denn ran?
ich weiß, das gelten muss
[mm] \overline{v_{1}+u_{1}} [/mm] = [mm] \overline{v_{2}+u_{2}}
[/mm]
oder
[mm] \overline{v_{1}+u_{1}} \cap \overline{v_{2}+u_{2}} =\emptyset
[/mm]
oder? wenn ja wie fange ich an?
LG
SpoOny
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Hallo SpoOny,
> Es sei V ein K-Vektorraum und U [mm]\subset[/mm] V ein
> Untervektorraum.
> Wir definieren die folgende Relation auf V: [mm]v_{1}, v_{2} \in[/mm]
> V
>
> [mm]v_{1} \sim v_{2} \gdw v_{1}-v_{2} \in U[/mm]
>
>
>
> a) zeige, [mm]\sim[/mm] ist Äquivalenzrelation
> b) zeige, [mm]V/\sim = V/U :=\{v+U: v \in V\}[/mm], wobei
> [mm]v+U:=\{v+u: u \in U\}[/mm]
> zu b)
>
> Ich soll ja nu zeigen, das v+u eine Äquivalenzklasse ist,
> oder?
> Wie gehe ich da denn ran?
Überleg Dir einfach: Wenn Du einen festen Vektor $v [mm] \in [/mm] V$ wählst - was ergibt sich dann aus [mm] v -w \in U[/mm]? Genau die Vektoren, die diese Bedingung erfüllen, liegen ja in [mm]\overline{v}[/mm].
Mfg
zahlenspieler
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