Menge der Häufungspunkte < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:13 Di 28.01.2014 | | Autor: | yannikk |
Guten Abend,
Ich habe eine Frage zu den Häufungspunkten. Mir ist klar wie diese Definiert sind, dennoch verstehe ich nicht so ganz wie ich die Häufungspunkte einer Menge bestimmen kann.
In der Theorie schaue ich mir die Menge an betrachte die Ränder des Intervalls und das offene Intervall und schaue ob es dort Teilfolgen gibt die einen Grenzwert aus der Menge haben.
Alle Grenzwerte der Folgen bilden dann die Häufungspunkte der Menge.
Wie würde ich vorgehen: Für die Ränder bilde ich mir Folgen die genau dagegen konvergieren. Für das offene Intervall muss ich dann mit der [mm] \varepsilon [/mm] - Umgebung arbeiten.
So habe ich das zumindest in der Theorie verstanden. Dennoch sind meine Resultate in der Korrektur meist falsch.
Könnte mir das jemand vielleicht erklären. Eventuell sogar an einem Beispiel?
Viele Grüße.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:25 Di 28.01.2014 | | Autor: | abakus |
> Guten Abend,
>
> Ich habe eine Frage zu den Häufungspunkten. Mir ist klar
> wie diese Definiert sind, dennoch verstehe ich nicht so
> ganz wie ich die Häufungspunkte einer Menge bestimmen
> kann.
>
> In der Theorie schaue ich mir die Menge an betrachte die
> Ränder des Intervalls und das offene Intervall und schaue
> ob es dort Teilfolgen gibt die einen Grenzwert aus der
> Menge haben.
>
> Alle Grenzwerte der Folgen bilden dann die Häufungspunkte
> der Menge.
>
> Wie würde ich vorgehen: Für die Ränder bilde ich mir
> Folgen die genau dagegen konvergieren. Für das offene
> Intervall muss ich dann mit der [mm]\varepsilon[/mm] - Umgebung
> arbeiten.
>
> So habe ich das zumindest in der Theorie verstanden.
> Dennoch sind meine Resultate in der Korrektur meist falsch.
>
> Könnte mir das jemand vielleicht erklären. Eventuell
> sogar an einem Beispiel?
>
> Viele Grüße.
Hallo,
mach es doch mal andersrum: Bei welchen Beispielaufgaben lagst du mit deinen Resultaten falsch?
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:58 Di 28.01.2014 | | Autor: | yannikk |
Also da gäbe es 2 Aufgabentypen die wir bisher hatten. Beispiel:
Zum einen [mm] M_{1} [/mm] := [mm] \{\bruch{1}{n} + \bruch{1}{m} | n,m \in \IN\}.
[/mm]
Hier würde ich nun sagen die Menge der Häufungspunkte ist [mm] \{0\} \cup \{\bruch{1}{n}\}. [/mm] Eine Teilfolge wäre ja mit m = n mit [mm] \bruch{1}{n} [/mm] + [mm] \bruch{1}{n} [/mm] = [mm] \bruch{2}{n}. [/mm] Diese konvergiert gegen 0.
Es gibt Aufgaben da kann man diese nicht so einfach wählen, wo dann ein n fest ist und m läuft und anderums, was dann wieder ziemlich verwirrend ist.
Nun gut, weiter gehts:
Fehlt noch zu zeigen, dass die anderen Häufp. durch [mm] \bruch{1}{n} [/mm] festgelegt sind.
Ich würde jetzt zeigen dass ein a [mm] \in \bruch{1}{n} [/mm] existiert mit einem k [mm] \in \IN [/mm] so dass eine Umgebung von a mit (a- k, a + k) für n [mm] \ge [/mm] k gilt.
Jetzt müsste ich noch irgendwie damit weiterarbeiten um daraus eine Folge zu bekommen die jeden Wert für a annehmen kann.
Da stehe ich nun.
Den Anderen Typus lasse ich mal aus, da der Text schon lange genug ist, und ich schon dankbar wäre wenn ihr mir mit diesem Gewirr weiterhelfen könnt.
Danke.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:27 Di 28.01.2014 | | Autor: | abakus |
> Also da gäbe es 2 Aufgabentypen die wir bisher hatten.
> Beispiel:
>
> Zum einen [mm]M_{1}[/mm] := [mm]\{\bruch{1}{n} + \bruch{1}{m} | n,m \in \IN\}.[/mm]
>
> Hier würde ich nun sagen die Menge der Häufungspunkte ist
> [mm]\{0\} \cup \{\bruch{1}{n}\}.[/mm] Eine Teilfolge wäre ja mit m
> = n mit [mm]\bruch{1}{n}[/mm] + [mm]\bruch{1}{n}[/mm] = [mm]\bruch{2}{n}.[/mm] Diese
> konvergiert gegen 0.
>
> Es gibt Aufgaben da kann man diese nicht so einfach
> wählen, wo dann ein n fest ist und m läuft und anderums,
> was dann wieder ziemlich verwirrend ist.
> Nun gut, weiter gehts:
>
> Fehlt noch zu zeigen, dass die anderen Häufp. durch
> [mm]\bruch{1}{n}[/mm] festgelegt sind.
>
> Ich würde jetzt zeigen dass ein a [mm]\in \bruch{1}{n}[/mm]
> existiert mit einem k [mm]\in \IN[/mm] so dass eine Umgebung von a
> mit (a- k, a + k) für n [mm]\ge[/mm] k gilt.
>
> Jetzt müsste ich noch irgendwie damit weiterarbeiten um
> daraus eine Folge zu bekommen die jeden Wert für a
> annehmen kann.
>
> Da stehe ich nun.
Hallo,
hier kann man ganz einfach argumentieren:
Man wählt für die Summe [mm]\bruch{1}{n} + \bruch{1}{m} [/mm] einen dieser beiden Summanden (z.B. [mm]\bruch{1}{n}[/mm] ) fest aus. Den anderen Summanden lässt man alle möglichen Werte annehmen.
Somit hast du eine Teilmenge [mm] $\{\bruch{1}{n}+\bruch{1}{1}$, $\bruch{1}{n}+\bruch{1}{2}$, $\bruch{1}{n}+\bruch{1}{3}$ , $\bruch{1}{n}+\bruch{1}{4},...\}$
[/mm]
die gegen [mm] $\bruch{1}{n}$ konvergiert.
[/mm]
Das kannst du für jedes beliebige feste n machen.
Gruß Abakus
>
> Den Anderen Typus lasse ich mal aus, da der Text schon
> lange genug ist, und ich schon dankbar wäre wenn ihr mir
> mit diesem Gewirr weiterhelfen könnt.
>
> Danke.
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:45 Di 28.01.2014 | | Autor: | yannikk |
Ja natürlich das ist deutlich einfacher so zu argumentieren. Na dann werde ich die anderen Aufgaben auch nochmal bedenken, vielleicht muss es nicht immer so kompliziert sein.
Danke Abakus!
|
|
|
|
