Menge der (0,1) Folgen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Die Menge der (0,1) Folgen ist nicht abzählbar, sondern überabzählbar. |
Hallo,
also, ich weiß bereits, dass die (0,1) Folgen überabzählbar sind, insbesondere auch R, da R Obermenge ist (Beweis mit 2. Cantorschem Diagonalverfahren, indem ich behaupte, dass die Menge reellen Zahlen im Intervall (0,1) abzählbar sind und das zu einem Widerspruch führe.)
Soweit ist das klar.
Nun meine Frage: wenn ich zeigen will, dass die Menge (!) aller (0,1) Folgen überabzählbar ist, kann ich das dann wie gerade beschrieben analog mit dem 2. Cantorschen Diagonalverfahren zeigen. Ich weiß, dass die Menge aller (0,1) Folgen die gleiche Mächtigkeit hat wie R.
Müsste doch so gehen, oder?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo und guten Tag,
ich denek, in Deinem Fall reicht es zu betonen, dass
'' die (0,1)-Folgen sind überabzählbar''
einfach eine andere sprachliche Formulierung für ''die Menge der (0,1)-Folgen ist überabzáhlbar'' ist.
Insofern sollte das von Dir bereits zum Einsatz vorgesehene Diagonalverfahren helfen.
Gruss,
Mathias
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Vielen Dank für die Antwort.
Hm, also reicht es zu zeigen, dass die (0,1) Folgen überabzählbar sind, um die Überabzählbarkeit der Menge der (0,1) Folgen zu zeigen. Ich muss das also nicht extra für die Menge der (0,1) Folgen zeigen.
Habe ich das so richtig verstanden?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo nochmal,
es reicht nicht nur, sondern das ist die Aufgabe, d.h. es kann nur gemeint sein: zu zeigen, dass die Menge der (0,1)-Folgen überabzählbar ist.
Eine einzelne (0,1)-Folge ist ja nichts anderes als eine Abbildung [mm] a\colon \IN\to [/mm] (0,1), und diese Folge a ist mengentheoretisch gesehen nichts anderes als eine (abzählbare) Menge von Paaren
[mm] a=\{(1,a(1)), (2,a(2)),\ldots\}.
[/mm]
Du sollst zeigen, dass die Menge
[mm] \{ a\:\: |\:\: a\colon \IN\to(0,1)\:\}
[/mm]
überabzáhlbar ist, d.h. dass es keine Bijektion von [mm] \IN [/mm] auf diese Menge gibt (denn mindestens abzählbar unendlich, also
nicht nur endlich ist sie ja.
Gruss,
Mathias
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Ok,
und das zeige ich mit dem 2. Cantorschen Diagonalverfahren. Wie ich bereits schon erwähnte.
Nur würde ich gerne wissen, ob der Beweis dann anders verläuft als der Beweis, dass (0,1) Folgen nicht abzählbar sind???
Irgendwie bin ich jetzt irritiert - zwar kenn ich den Beweis zur Überabzählbarkeit von [mm] \IR [/mm] bzw. der (0,1) folgen, aber nun...
Sorry!
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Hallo nochmal,
> Ok,
>
> und das zeige ich mit dem 2. Cantorschen
> Diagonalverfahren. Wie ich bereits schon erwähnte.
>
> Nur würde ich gerne wissen, ob der Beweis dann anders
> verläuft als der Beweis, dass (0,1) Folgen nicht abzählbar
> sind???
Hier liegt eine sprachliche Ungenauigkeit, oder was meinst Du genau mit ''(0,1)-Folgen sind nicht abzählbar'' ?
Ich bin ja nach wie vor der Meinung, Du meinst genau das gleiche wie ich.
Das bei mir geschriebene Statement kann man ja so zeigen: Angenommen,
es ist [mm] F\colon\IN\to\{a\: |\: a\colon\IN\to (0,1)\} [/mm] surjektiv, dann ist aber
H(n):= F(n)(n) [mm] \cdot [/mm] 0.9
eine Folge [mm] H\colon \IN\to [/mm] (0,1),
von der man leicht nachweist, dass sie mit keiner Folge [mm] F(n),n\in\IN [/mm] übereinstimmt,
und das ist dann aber auch schon alles.
Wenn das das 2. Cantor'sche Diagonalverfahren ist: fein, in Mathematikgeschichte bin ich nicht wirklich firm.
Hoffentlich trägt's zur Klärung bei.
Gruss,
Mathias
> Irgendwie bin ich jetzt irritiert - zwar kenn ich den
> Beweis zur Überabzählbarkeit von [mm]\IR[/mm] bzw. der (0,1) folgen,
> aber nun...
>
> Sorry!
>
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