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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:34 Mi 02.11.2011 | | Autor: | thadod |
Hallo zusammen...
ich habe leider ein kleines Problem mit folgender Aufgabe:
Sind [mm] (B_n)_{n \in \IN} [/mm] abgeschlossene Teilmengen von [mm] \IR^2 [/mm] mit [mm] \cup_{n \in \IN} B_n \notin \{\emptyset,\IR^2\}, [/mm] so ist [mm] \cup_{n \in \IN} B_n [/mm] abgeschlossen.
Überprüft werden soll, ob die Aussage wahr oder falsch ist...
Leider habe ich ein Verständnisproblem mit [mm] \cup_{n \in \IN} B_n \notin \{\emptyset,\IR^2\}...
[/mm]
Wie genau kann ich da jetzt rangehen?
Ich würde zunächst versuchen die Aussage auf Falschheit zu überprüfen und ein Gegenbeispiel zu finden.
Ist es richtig wenn ich eine abgeschlossene Menge finde, wie z.B.
[mm] B=\{(x,y) \in \IR^2 |x=1,y=2\}
[/mm]
die nun vereinigt mit einer anderen Menge eine offene Menge ergibt?
Hoffe ihr versteht mein Problem... danke für eure Hilfe. mfg thadod
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:46 Mi 02.11.2011 | | Autor: | wauwau |
> Hallo zusammen...
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> ich habe leider ein kleines Problem mit folgender Aufgabe:
>
> Sind [mm](B_n)_{n \in \IN}[/mm] abgeschlossene Teilmengen von [mm]\IR^2[/mm]
> mit [mm]\cup_{n \in \IN} B_n \notin \{\emptyset,\IR^2\},[/mm] so ist
> [mm]\cup_{n \in \IN} B_n[/mm] abgeschlossen.
>
> Überprüft werden soll, ob die Aussage wahr oder falsch
> ist...
>
> Leider habe ich ein Verständnisproblem mit [mm]\cup_{n \in \IN} B_n \notin \{\emptyset,\IR^2\}...[/mm]
>
> Wie genau kann ich da jetzt rangehen?
> Ich würde zunächst versuchen die Aussage auf Falschheit
> zu überprüfen und ein Gegenbeispiel zu finden.
> Ist es richtig wenn ich eine abgeschlossene Menge finde,
> wie z.B.
>
> [mm]B=\{(x,y) \in \IR^2 |x=1,y=2\}[/mm]
>
> die nun vereinigt mit einer anderen Menge eine offene Menge
> ergibt?
NEIN! DU musst eine abzählbare Menge von abgeschlossenen Mengen finden, deren Vereinigung nicht abgeschlossen ist.
Tipp: betrachte die einpunktigen Mengen [mm] $B_n=\{(\frac{1}{n},\frac{1}{n})\}$
[/mm]
endl Mengen sind immer abgeschlossen und betrachte nunmal die Vereinigung dieser Mengen über alle [mm] $n\in \IN$
[/mm]
> Hoffe ihr versteht mein Problem... danke für eure Hilfe.
> mfg thadod
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 Mi 02.11.2011 | | Autor: | thadod |
Hallo und danke für die Hilfe...
Wenn ich mir die Vereinigung dieser Mengen [mm] B_n=\{(\frac{1}{n},\frac{1}{n})\} [/mm] für [mm] n=1,2,3,...,\infty [/mm] anschaue, dann erhalte ich doch ebenfalls eine abgeschlossene Menge mit dem Rand 1 oder nicht?
Somit wäre die Aussage ja dann wahr für n [mm] \in \IN...
[/mm]
mfg thadod
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:07 Mi 02.11.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
auf die Gefahr hin, wie ein Idiot auszusehen, würde ich sagen, die Menge hat kein Inneres, also auch keinen Rand.
Desweiteren sieht für mich [mm] $\{\frac 1n;\ n\in\IN\}$ [/mm] ziemlich abgeschlossen aus,
EDIT: Wenn man blind ist... Man kann in der Menge eine Menge von Punkten finden, die gegen 0 konvergiert (ach nee)... -_- Sry.
aber vielleicht versteh ich auch einfach nur die Schreibweise [mm] $(\frac 1n,\frac [/mm] 1n)$ nicht (?).
EDIT: Das stimmt natürlich immer noch.
Mein Vorschlag:
[mm] $B_n:=[\frac [/mm] 1n, [mm] 1-\frac [/mm] 1n]$
[mm] $\bigcup_{n\in\IN} B_n [/mm] = (0,1)$ (wieso?),
also offen in [mm] \IR. [/mm] Das mußt Du jetzt noch zu einer nicht abgeschlossenen Teilmenge des [mm] $\IR^2$ [/mm] erweitern.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 Mi 02.11.2011 | | Autor: | thadod |
Hallo... neues Beispiel, die selben Verständnisprobleme...
du sagst, dass die Menge keine innere Menge und keinen Rand besitzt, dass die Menge aber abgeschlossen ist. Geht das überhaupt???
Wie kann eine Menge ohne Rand abgeschlossen sein?
mfg...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:40 Mi 02.11.2011 | | Autor: | Blech |
> du sagst, dass die Menge keine innere Menge und keinen Rand besitzt, dass die Menge aber abgeschlossen ist. Geht das überhaupt???
hmm, andere Definition von Rand. Was Du mit "Rand 1" meintest, ist mir aber immer noch nicht klar.
Meine andere Antwort war aber eh Quatsch,
[mm] $\bigcup_{n\in\IN} \{\frac 1n\}= \{\frac 1n;\ n\in\IN\} [/mm] $
ist offensichtlich nicht abgeschlossen, weil 0 im Abschluß liegt, aber nicht Teil der Menge ist. Keine Ahnung, welchen spastischen ich da hatte.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:54 Mi 02.11.2011 | | Autor: | thadod |
Hallo...
Also ich habe nun noch folgende möglichkeit zu diskutieren:
zur Aufgabe:
Sind [mm] (B_n)_{n \in \IN} [/mm] abgeschlossene Teilmengen von [mm] \IR^2 [/mm] mit [mm] \cup_{n \in \IN} B_n \notin \{\emptyset,\IR^2\}, [/mm] so ist [mm] \cup_{n \in \IN} B_n [/mm] abgeschlossen.
Zur Lösung:
Es sei [mm] B_n=\{(x,y) \in \IR^2| x+y<1-\bruch{1}{n} \}. [/mm] Dann ist [mm] B=\cup_{n \in \IN} B_n=\{(x,y) \in \IR^2| x+y<1 \}.
[/mm]
Die Menge an sich wäre dann abgeschlossen, aber die Vereingung offen oder???
mfg und vielen Dank für deine Mühe und Hilfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:00 Mi 02.11.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> $ [mm] B_n=\{(x,y) \in \IR^2| x+y<1-\bruch{1}{n} \}. [/mm] $
Das muß
$ [mm] B_n=\{(x,y) \in \IR^2| x+y\leq 1-\bruch{1}{n} \}$
[/mm]
sein, sonst ist sie nicht offen, aber Du hast absolut recht, das ist ein schönes 2-dim Bsp.
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:46 Mi 02.11.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo Stefan,
> Hi,
>
> > [mm]B_n=\{(x,y) \in \IR^2| x+y<1-\bruch{1}{n} \}.[/mm]
>
> Das muß
>
> [mm]B_n=\{(x,y) \in \IR^2| x+y\leq 1-\bruch{1}{n} \}[/mm]
>
> sein, sonst ist sie nicht offen,
Du meinst sicher, sonst ist sie nicht abgeschlossen. 
> aber Du hast absolut
> recht, das ist ein schönes 2-dim Bsp.
...das ich bezweifeln möchte.
Für [mm] n\to\infty [/mm] ist immerhin noch ein Grenzprozess zu bedenken.
Ansonsten siehe meine Antwort weiter unten.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:08 Do 03.11.2011 | | Autor: | Blech |
> Du meinst sicher, sonst ist sie nicht abgeschlossen.
In der Tat. Ich hätte gestern nicht aufstehen sollen. =)
> ...das ich bezweifeln möchte.
> Für [mm] $n\to\infty$ [/mm] ist immerhin noch ein Grenzprozess zu bedenken.
?
Das liegt bei abzählbaren Vereinigungen doch irgendwie in der Natur der Sache. Und seine Lösung ist auf jeden Fall hübscher als eine 1-dim zu nehmen und dann in den [mm] $\IR^2$ [/mm] einzubetten.
ciao
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:39 Mi 02.11.2011 | | Autor: | wauwau |
also die Vereinigung der Mengen enthält nicht den Häufungspunkt{(0,0)} und ist daher nicht abgeschlossen...
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Hallo thadod,
falls Du die Äquivalenz der beiden folgenden Aussagen nicht voraussetzen darfst, musst Du sie beweisen - was nicht so schwer ist. Es genügt hier natürlich der Nachweis im [mm] \IR^2, [/mm] auch wenn die Gültigkeit darüber hinaus reicht.
1) Das Komplement einer abgeschlossenen Menge ist eine offene Menge.
2) Das Komplement einer offenen Menge ist eine abgeschlossene Menge.
Zeige dann, dass auch das Komplement der Vereinigung zweier abgeschlossener Mengen wieder eine offene Menge ist.
Und damit hast Du dann induktiv gleich die ganze Aufgabe erschlagen.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:18 Mi 02.11.2011 | | Autor: | thadod |
Hallo... Ich kann mit der Antwort leider nicht wirklich etwas anfangen... Wie soll ich denn noch das Komplement untersuchen???
Inwiefern ist denn mein Beispiel nun ein schlechtes Beispiel oder nicht nutzbar als Gegenbeispiel???
MfG thadod
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:14 Do 03.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo... Ich kann mit der Antwort leider nicht wirklich
> etwas anfangen... Wie soll ich denn noch das Komplement
> untersuchen???
>
> Inwiefern ist denn mein Beispiel nun ein schlechtes
> Beispiel oder nicht nutzbar als Gegenbeispiel???
Stellen wirs klar:
Du hattest: $ [mm] B_n=\{(x,y) \in \IR^2| x+y\leq 1-\bruch{1}{n} \} [/mm] $. Jedes [mm] B_n [/mm] ist abgeschlossen.
Setzen wir [mm] $B:=\bigcup_{n=1}^{\infty}B_n$, [/mm] so ist $ [mm] B=\{(x,y) \in \IR^2| x+y<1 \} [/mm] $.
B ist offen, B ist nicht abgeschlossen
Dein Beispiel also nutzbar als Gegenbeispiel
FRED
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> MfG thadod
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:32 Do 03.11.2011 | | Autor: | thadod |
Hallo...
Ich danke vielmals für deine Antwort. Das mit dem Komplement war mir dann doch ein wenig zu heftig...
mfg thadod
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