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| Aufgabe | Finden Sie alle Häufungspunkte folgender Mengen in R bzw. R2 und entscheiden Sie, ob die Mengen jeweils
offen, abgeschlossen oder weder offen noch abgeschlossen sind.
C:= [mm] \bigcap_{N=0}^{\infty}C_N, [/mm] wobei [mm] C_0:=[0,1] \times [/mm] [0,1], [mm] C_N=C_{N-1} [/mm] \ [mm] \bigcup_{j,k=1 mod3, 0
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Also mein Problem bei dieser Aufgabe ist, dass mir das ganze nicht vorstellen kann. Ich erläutere mal, was ich verstehe:
Also C scheint der Durchschnitt aller [mm] C_N [/mm] zu seine von N=0 bis unendlich.
[mm] C_0 [/mm] ist scheinbar eine Verknüpfung aus zwei Zahlen aus dem Intervall [0,1].
Die restlichen [mm] C_N [/mm] sind so definiert, dass sie gleich ihrem Vorgänger sind, ausgeschlossen der Vereinigung der Brüche, deren Nenner 0 ist (da ja da was von mod3 steht).
Wie kann ich mir die Menge C vorstellen und sind meine Erläuterungen soweit richtig? Bin für jede Hilfe dankbar!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:37 So 17.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Finden Sie alle Häufungspunkte folgender Mengen in R bzw.
> R2 und entscheiden Sie, ob die Mengen jeweils
> offen, abgeschlossen oder weder offen noch abgeschlossen
> sind.
>
> C:= [mm]\bigcap_{N=0}^{\infty}C_N,[/mm] wobei [mm]C_0:=[0,1] \times[/mm]
> [0,1], [mm]C_N=C_{N-1}[/mm] \ [mm]\bigcup_{j,k=1 mod3, 0
>
> Also mein Problem bei dieser Aufgabe ist, dass mir das
> ganze nicht vorstellen kann. Ich erläutere mal, was ich
> verstehe:
>
> Also C scheint der Durchschnitt aller [mm]C_N[/mm] zu seine von N=0
> bis unendlich.
Ja.
> [mm]C_0[/mm] ist scheinbar eine Verknüpfung aus zwei Zahlen aus dem
> Intervall [0,1].
Nein, das kartesische Produkt des Intervalls $[0,1]$ mit sich selbst, also ein Quadrat im [mm] $\IR^2$ [/mm] mit Seitenlänge 1, dessen linke untere Ecke im Ursprung liegt.
> Die restlichen [mm]C_N[/mm] sind so definiert, dass sie gleich
> ihrem Vorgänger sind, ausgeschlossen der Vereinigung der
> Brüche, deren Nenner 0 ist (da ja da was von mod3 steht).
Nenner 0 ist offensichtlich Unsinn. Es geht um eine endliche Vereinigung von Mengen. Die beiden Laufindizes $j$ und $k$ laufen jeweils von (einschließlich) 1 bis (einschließlich) [mm] $3^N-1$, [/mm] wobei zuätzlich die Bedingungen [mm] $j\equiv [/mm] 1 [mm] \pmod [/mm] 3$ und [mm] $j\equiv 1\pmod{3}$ [/mm] gelten, das heisst also, dass j und k bei Division durch 3 den Rest 1 ergeben. Es sind also nur die Zahlen [mm] $1,4,7,\dots$ [/mm] möglich. Entsprechend durchlaufen $j+1$ und $k+1$ die Werte [mm] $2,5,8,\dots$.
[/mm]
Damit wird ein Quadrat in neun Quadrate mit einem Drittel der Seitenlänge unterteilt, und durch die Mengendifferenz jeweils die Quadrate in der Mitte herausgenommen.
> Wie kann ich mir die Menge C vorstellen und sind meine
> Erläuterungen soweit richtig? Bin für jede Hilfe
> dankbar!
[mm] $C_1$ [/mm] besteht, wie ich eben erklärt haben, aus dem (abgeschlossenen) Quadrat der Seitenlänge 1, aus dem das mittlere (abgeschlossene) Quadrat der Seitenlänge $1/3$ harausgenommen wurde.
Für [mm] $C_2$ [/mm] werden aus jedem der acht verbleibenden Quadrate der Seitenlänge $1/3$ die mittleren Quadrate der Seitenlänge $1/9$ herausgenommen, usw.
Viele Grüße
Rainer
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Erstmal vielen Dank für deine ausführliche Antwort! Puh, das klingt ja doch recht kompliziert...
Aber wenn ich das richtig verstanden habe, dann müsste doch die gesamte Menge C NICHT offen sein, da sich nicht um jedes Element eine [mm] \varepsilon [/mm] - Umgebung legen lässt, die ganz in C enthalten ist (z.B. der Ursprung).
Und abgeschlossen müsste C ja sein, da die Häufungspunkte von C gleich der Menge C selbst sind (inkl. der Randpunkte), oder?
(Nur nochmal zur Sicherheit: C sieht ja dann theoretisch aus wie ein Fischernetz mit den Maßen 1 [mm] \times [/mm] 1, oder?)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:00 So 17.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Erstmal vielen Dank für deine ausführliche Antwort! Puh,
> das klingt ja doch recht kompliziert...
>
> Aber wenn ich das richtig verstanden habe, dann müsste
> doch die gesamte Menge C NICHT offen sein, da sich nicht um
> jedes Element eine [mm]\varepsilon[/mm] - Umgebung legen lässt, die
> ganz in C enthalten ist (z.B. der Ursprung).
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Und abgeschlossen müsste C ja sein, da die Häufungspunkte
> von C gleich der Menge C selbst sind (inkl. der
> Randpunkte), oder?
Ist das wirklich so? Zum Beispiel ist [mm] $C_1$ [/mm] nicht abgeschlossen, da du ein abgeschlossenes Quadrat abziehst, die Randpunkte innen als nicht zu [mm] $C_1$ [/mm] gehören.
> (Nur nochmal zur Sicherheit: C sieht ja dann theoretisch
> aus wie ein Fischernetz mit den Maßen 1 [mm]\times[/mm] 1, oder?)
Nicht ganz. Die Größe der Löcher nimmt ja ab. In der Mitte ist ein Loch der Größe [mm] $1/3\times [/mm] 1/3$, in jedem der acht Quadrate der Größe [mm] $1/3\times [/mm] 1/3$ ist in der Mitte ein Loch der Größe [mm] $1/9\times [/mm] 1/9$, um das wieder acht Quadrate der Größe [mm] $1/9\times [/mm] 1/9$ angeordnet sind, jeweils in der Mitte mit einem Loch der Größe [mm] $1/27\times [/mm] 1/27$, usw.
Viele Grüße
Rainer
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Super, jetzt hab ichs verstanden, vielen vielen Dank!
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