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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:04 Di 21.10.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Abend!
Ich bin gerade dabei den Begriff des Restsymbols zu studieren und nach längerer Suche in anderen Literaturquellen haben sich, meine zu Anfang sehr vielen Fragen nun auf ein paarr wenige reduziert ...
Satz :
p sei eine ungerade Primzahl.
[mm] ( \mathbb Z / p \mathbb Z )^{ \* } [/mm] ist zyklisch und hat p -1 Elemente, d.h. gerade viele Elemente.
[mm] Q_ p := \{ x \in ( \mathbb Z / p \mathbb Z )^{ \* } \ | \ [/mm] es gibt ein y mit [mm] y^2 = x \}[/mm].
[mm] Q_p [/mm] ist eine Untergruppe von [mm] ( \mathbb Z / p \mathbb Z )^{ \* } [/mm]
[mm] | Q_p | = \bruch{ p -1 }{2} [/mm]
Weiter gilt:
[mm] Q_p = \{ x \in ( \mathbb Z / p \mathbb Z )^{ \* } \ | \ x^{\bruch{ p -1 }{2} } = 1 \} = U_p [/mm]
Beweis :
1. [mm] U_p [/mm] ist eine Untergruppe von [mm] ( \mathbb Z / p \mathbb Z )^{ \* } [/mm]
( 4. Frage: ich sehe ein ,dass die 1 drinnen ist, dass das Assoziativität gilt kann ich mir vostellen, aber ich sehe nicht dass das inverse Element da ist.. Was ist das inverse ? )
2. [mm] Q_p \subsetin U_p [/mm] , denn
[mm] ( x^{\bruch{ p -1 }{2} })^2 = x^{p-1} = 1 [/mm] in [mm] ( \mathbb Z / p \mathbb Z )^{ \* } [/mm]
( 5. Frage. Warum ist [mm] x^{p-1} = 1 [/mm] )
3. [mm]U_p \ne ( \mathbb Z / p \mathbb Z )^{ \* } [/mm] ,weil
[mm] ( \mathbb Z / p \mathbb Z )^{ \* } [/mm] zyklisch ist
[mm] \Rightarrow U_p = Q_p [/mm]
Den Teil 3 kann ich leider nicht nachvollziehen..
Vielen Dank für die Mühe!
Viele Grüße
Irmchen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:24 Mi 29.10.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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