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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:00 Di 24.06.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | | Für welche Mengen A gibt es Folgen [mm] $(A_n:n\in\mathbb{N})$ [/mm] so, dass für jedes [mm] $n\in\mathbb{N}\quad A_{n+1}\subsetneq A_n\subset [/mm] A$ |
Hi,
ich würde gerne diese Aufgabe bearbeiten. Dazu habe ich erst einmal eine Frage zu der Aufgabenstellung. Und zwar meint man hier eine Folge von Mengen, oder eine Menge die eine Folge enthält, mit [mm] $(A_n:n\in\mathbb{N})$.
[/mm]
Ansonsten sollte dies für Mengen gelten, die eben streng monoton fallen und kein kleinstes Element haben, oder nur ein Infimum besitzen an das sich die Folge annähert.
Nur irgendwie habe ich auch ein Problem damit, dass es sich um eine echte Teilmenge handeln muss.
Wie kann man sich das vorstellen?
Wenn ich mir zum Beispiel die Menge A als eine Gerade vorstelle, dann würde ich mir nun [mm] A_n [/mm] so vorstellen, dass ich auf dieser Gerade immer ein Anfangsstück abschneide und nur das verbliebene betrachte. Das dies für Mengen geht die kein Minimum haben sollte klar sein. Es müsste aber auch für Mengen gehen die kein Minimum, aber ein Infimum haben.
Zum Beispiel die Menge:
[mm] $B=\{\frac{1}{n}|n\in\mathbb{N}, n>0\}$
[/mm]
Für diese Menge sollte man auch eine solche Folge finden können, obwohl sie beschränkt ist.
Mein Problem ist nun:
Was verlangt die Aufgabe von mir? Soll ich nun beweisen, dass dies die einzigen Mengen sind für die das gilt? Sind es die einzigen Mengen mit dieser Eigenschaft?
Wie genau ist das mit der Folge [mm] $(A_n:n\in\mathbb{N})$ [/mm] gemeint?
Vielen Dank im voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:28 Di 24.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Für welche Mengen A gibt es Folgen [mm](A_n:n\in\mathbb{N})[/mm]
> so, dass für jedes [mm]n\in\mathbb{N}\quad A_{n+1}\subsetneq A_n\subset A[/mm]
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> Hi,
>
> ich würde gerne diese Aufgabe bearbeiten. Dazu habe ich
> erst einmal eine Frage zu der Aufgabenstellung. Und zwar
> meint man hier eine Folge von Mengen, oder eine Menge die
> eine Folge enthält, mit [mm](A_n:n\in\mathbb{N})[/mm].
>
> Ansonsten sollte dies für Mengen gelten, die eben streng
> monoton fallen und kein kleinstes Element haben, oder nur
> ein Infimum besitzen an das sich die Folge annähert.
> Nur irgendwie habe ich auch ein Problem damit, dass es sich
> um eine echte Teilmenge handeln muss.
>
> Wie kann man sich das vorstellen?
> Wenn ich mir zum Beispiel die Menge A als eine Gerade
> vorstelle, dann würde ich mir nun [mm]A_n[/mm] so vorstellen, dass
> ich auf dieser Gerade immer ein Anfangsstück abschneide
> und nur das verbliebene betrachte. Das dies für Mengen
> geht die kein Minimum haben sollte klar sein. Es müsste
> aber auch für Mengen gehen die kein Minimum, aber ein
> Infimum haben.
>
> Zum Beispiel die Menge:
>
> [mm]B=\{\frac{1}{n}|n\in\mathbb{N}, n>0\}[/mm]
>
> Für diese Menge sollte man auch eine solche Folge finden
> können, obwohl sie beschränkt ist.
>
> Mein Problem ist nun:
>
> Was verlangt die Aufgabe von mir? Soll ich nun beweisen,
> dass dies die einzigen Mengen sind für die das gilt? Sind
> es die einzigen Mengen mit dieser Eigenschaft?
> Wie genau ist das mit der Folge [mm](A_n:n\in\mathbb{N})[/mm]
> gemeint?
Damit ist eine Abbildung f: [mm] \IN \to [/mm] P(A) gemeint (P(A)= Potenzmenge von A).
Also [mm] A_n:=f(n) [/mm] für n [mm] \in \IN.
[/mm]
Gesucht sind also alle Mengen A mit der Eigenschaft: es gibt eine Folge [mm] (A_n) [/mm] in P(A) mit:
[mm] A_{n+1} [/mm] ist echte Teilmenge von [mm] A_n [/mm] für jedes n [mm] \in \IN.
[/mm]
Überlege Dir:
1. Ist A endlich, so kann es eine solche Folge nicht geben.
2. Ist A unendlich, so gibt es eine solche Folge.
FRED
>
>
> Vielen Dank im voraus.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 Mi 25.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Vielen Dank für deine Antwort. Leider konnte ich bei den Server Problemen nicht eher antworten.
Woher genau weiß man, dass eine Abbildung
$f: [mm] \mathbb{N}\to \mathcal{P}(A)$ [/mm]
gesucht ist, also gerade in die Potenzmenge einer Menge A?
Das es eine solche Folge nur geben kann, wenn A unendlich ist, ist anschaulich ja klar.
Zeigen würde ich es vielleicht so.
Angenommen [mm] $A:=\{a_1,a_2,...,a_k\}$ [/mm] wäre endlich und es existiert eine Folge in A so, dass gilt [mm] $x_{n+1}
Betrachte die Teilmenge [mm] $B\subset [/mm] A$ mit [mm] B:=$\{a\in A|\,\,a\quad\text{ist Element der Folge}\,\, (x_n)\}$.
[/mm]
Es gilt [mm] $a_m\leq x_n$ [/mm] für alle [mm] $n\in \mathbb{N}$. [/mm] Dann müsste es jedoch auch ein [mm] $x_{n+1}$ [/mm] geben, für das
[mm] $x_{n+1}
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:34 Do 26.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank für deine Antwort. Leider konnte ich bei den
> Server Problemen nicht eher antworten.
>
> Woher genau weiß man, dass eine Abbildung
>
> [mm]f: \mathbb{N}\to \mathcal{P}(A)[/mm]
>
> gesucht ist, also gerade in die Potenzmenge einer Menge A?
>
> Das es eine solche Folge nur geben kann, wenn A unendlich
> ist, ist anschaulich ja klar.
> Zeigen würde ich es vielleicht so.
>
> Angenommen [mm]A:=\{a_1,a_2,...,a_k\}[/mm] wäre endlich und es
> existiert eine Folge in A so, dass gilt [mm]x_{n+1}
> hat A nach dem Wohlordnungsprinzip ein kleinstes Element
> [mm]a_m[/mm].
> Betrachte die Teilmenge [mm]B\subset A[/mm] mit B:=[mm]\{a\in A|\,\,a\quad\text{ist Element der Folge}\,\, (x_n)\}[/mm].
>
> Es gilt [mm]a_m\leq x_n[/mm] für alle [mm]n\in \mathbb{N}[/mm]. Dann müsste
> es jedoch auch ein [mm]x_{n+1}[/mm] geben, für das
>
> [mm]x_{n+1}
> von [mm]a_m[/mm], da [mm]x_{n+1}\in A[/mm].
Was treibst Du da ???
Nimm an: [mm]A:=\{a_1,a_2,...,a_k\}[/mm] und [mm] (A_n) [/mm] sei eine Folge von Teilmengen von A mit
[mm] A_{n+1} [/mm] ist echte Teilmenge von [mm] A_n [/mm] (für jedes n [mm] \in \IN).
[/mm]
Dann: [mm] A_1 [/mm] hat höchstens k Elemente
[mm] A_2 [/mm] hat höchsten k-1 Elemente
.
.
.
[mm] A_k [/mm] hat höchstens ein Element
[mm] A_{k+1}= \emptyset
[/mm]
Leerer als die leere Menge kann [mm] A_{k+2} [/mm] nicht sein.
Na , und dann ist Schluss mit lustig !
FRED
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Hallo,
Es wurde ja bereits festgestellt, dass solche Mengen genau die unendlichen sind. Zunächst können wir bemerken, dass eine Menge genau dann unendlich ist, wenn die Potenzmenge es ist.
Nehmen wir zunächst an, dass wir eine Folge von Teilmengen wie in der Aufgabenstellung haben, so sind alle Folgenglieder verschieden (denn es handelt sich um eine streng fallende Folge in der geordneten Menge [mm] $(\mathfrak{P}A,\subseteq), [/mm] das heißt wir haben eine Injektion [mm] $\mathbb {N}\longrightarrow\mathfrak{P}A [/mm] $. Somit ist [mm] $\mathfrak{P}A [/mm] $ unendlich und damit auch $ A $.
Ist umgekehrt $ A $ unendlich, so gibt es eine Injektion [mm] $\mathbb {N}\xrightarrow [/mm] {f} A $. Definiere nun $ [mm] A_n=A\setminus\{f(k)\in A\mid k\in\IN, k\le n\} [/mm] $.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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