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| Aufgabe | Konstruktion von Mehrschrittverfahren mit Hilfe der numerischen Differntiation:
ES seien bereits Näherungen [mm] $y_{n-k+1},\ldots,y_n$ [/mm] der AWA $y' = f(x,y),y(a) = b$ an den Knoten
[mm] $x_{n-k+1},\ldots,x_n$ [/mm] bekannt. um [mm] $y_{n+1} \approx y(x_{n+1})$ [/mm] zu bestimmen, betrachten wir das Interpolationspoynom q zu den Daten [mm] $(x_{n-k+1},y_{n-k+1}),\ldots,(x_{n+1},y_{n+1})$. [/mm] Dann kann man q nach der Newtonschen Darstellung des Interpolationspolynoms mit den rückwärtsgenommenen Differenzen:
[mm] $\nabla ^0y_n [/mm] := [mm] y_n, \nabla [/mm] ^{j+1} [mm] y_n [/mm] := [mm] \nabla [/mm] ^j [mm] y_n [/mm] - [mm] \nabla [/mm] ^j [mm] y_{n-1}$ [/mm]
schreiben als:
$q(s) = [mm] y(x_n+sh) [/mm] = [mm] \sum_{j=0}^k(-1)^j \vektor{-s+1 \\ j} \nabla^jy_{n+1}$
[/mm]
Der Unbekannte Wert [mm] $y_{n+1}$ [/mm] wird nun so bestimmt, dass das Polynom q die Differentialgleichung an einem Gitterpunkt erfüllt:
[mm] $y'(n_{n+l}) [/mm] = [mm] f(x_{n+l},y_{n+l}) l\in{0,1,\ldots}$
[/mm]
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Hallo,
ich kenne die Newtonsche Darstellung eines Interpolationspolynoms in der Form:
$p(x) = [mm] \sum_{j=0}^n[x_0,\ldots,x_j] \produkt_{k=0}^{j-1}(x-x_k)$ [/mm] und den dividierten Differenzen:
[mm] $[x_j] [/mm] := [mm] y_j$
[/mm]
[mm] $[x_k,\ldots,x_j] [/mm] := [mm] \frac{[x_{k+1},\ldots,x_j]-[x_k,\ldots,x_{j-1}]}{x_j - x_k}$
[/mm]
ABer ich kann das auf die obige Darstellung nicht übertragen.
Gruß
Alice
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Mi 26.04.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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