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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Mehrfachintegrale (Volumen)
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Mehrfachintegrale (Volumen): Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:56 Sa 14.01.2006
Autor: Ursus

Aufgabe
Bestimmen Sie das Volumen des Körpers, der von oben durch die Ebene z=y und von unten vom Paraboloid z=  [mm] x^{2} +y^{2} [/mm] eingeschlossen wird.

Hi Mathematikgenies!

Mein Ansatz:

Integriere über Normalbereich bezügl. z-Achse:

P={(x,y,z) [mm] \in \IR^{3} [/mm] |  [mm] (x,y)\in [/mm] D, [mm] x^{2} +y^{2} \le [/mm] z  [mm] \le [/mm] y}


Schneide z=y und z=  [mm] x^{2} +y^{2} [/mm]

y = [mm] x^{2} +y^{2} [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x =  [mm] \pm \wurzel{y-y^{2}} [/mm]


Normalbereich bezügl. x-Achse:
D={(x,y) [mm] \in \IR^{2} [/mm] | 0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 1, [mm] -\wurzel{y-y^{2}} \le [/mm] x [mm] \le \wurzel{y-y^{2}} [/mm] }

[mm] \integral_{P}^{ } [/mm] {1  d(x,y,z)}

= [mm] \integral_{D}^{ } \integral_{x^2+y^2}^{y} [/mm] {1 dz} {f(x) d(x,y)}

=  [mm] \integral_{D}^{ } {y-x^{2}-y^{2} d(x,y)} [/mm]

= [mm] \integral_{0}^{1} \integral_{-\wurzel{y-y^{2}}}^{\wurzel{y-y^{2}}} {y-x^{2}-y^{2} dx} [/mm] {dy}

So und jetzt weiß ich nicht mehr weiter.
Ich hoffe, es passt bis hierher.
Wie muss ich meine Transformation wählen, damit ich das Doppelintegral ausrechnen kann?

Wie schaut die Schnittfigur x =  [mm] \pm \wurzel{y-y^{2}} [/mm] aus?
Ist das eine Ellipse?

   Vielen Dank für eure Hilfe!
       mfg URSUS

        
Bezug
Mehrfachintegrale (Volumen): Teilantwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:12 Sa 14.01.2006
Autor: Zwerglein

Hi, Ursus,

> Wie schaut die Schnittfigur x =  [mm]\pm \wurzel{y-y^{2}}[/mm]
> aus?
>  Ist das eine Ellipse?

Sogar ein Kreis!

Quadriere beide Seiten:
[mm] x^{2} [/mm] = y - [mm] y^{2} [/mm]

[mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] - y = 0

Quadratische Ergänzung:

[mm] x^{2} [/mm] + [mm] (y-0,5)^{2} [/mm] = 0,25

Das ist die Mittelpunktsform eines Kreises mit M(0; 0,5) und Radius r=0,5.

mfG!
Zwerglein

Bezug
        
Bezug
Mehrfachintegrale (Volumen): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:54 Sa 14.01.2006
Autor: Leopold_Gast

Falls du die Substitutionsregel für Bereichsintegrale schon kennst, geht es auch einfacher. Falls nicht, so vergiß diese Mitteilung.

Das zu bestimmende Volumen wird in einem [mm]xyz[/mm]-Koordinatensystem durch die Ungleichungen

[mm]x^2 + y^2 \leq z \ \ \wedge \ \ z \leq y[/mm]

beschrieben. Wenn man jetzt mittels der linearen Substitution

[mm]x = u \, , \ \ y = v + \frac{1}{2} \, , \ \ z = v + w + \frac{1}{4}[/mm]

neue Koordinaten einführt, so schreiben sich diese Ungleichungen als

[mm]u^2 + v^2 \leq w \ \ \wedge \ \ w \leq \frac{1}{4}[/mm]

Wegen [mm]\left| \frac{\partial{(x,y,z)}}{\partial{(u,v,w)}} \right| = 1[/mm] folgt:

[mm]\int_{x^2 + y^2 \leq z, \, z \leq y}~~\mathrm{d}(x,y,z) \ = \ \int_{u^2 + v^2 \leq w, \, w \leq \frac{1}{4}}~~\mathrm{d}(u,v,w) \ = \ \int_0^{\frac{1}{4}}~\left( \int_{u^2 + v^2 \leq w}~~\mathrm{d}(u,v) \right)~\mathrm{d}w[/mm]

Hier berechnet das innere Integral einen Kreis vom Radius [mm]\sqrt{w}[/mm]. Dieser hat aber den Flächeninhalt [mm]\pi w[/mm]. Und eine letzte Integration nach [mm]w[/mm] schließt das Ganze ab.

Bezug
        
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Mehrfachintegrale (Volumen): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:17 Sa 14.01.2006
Autor: Ursus

Hallo Genies!

Vielen Dank für die schnellen Antworten.
Jetzt ist mir alles klar.

Bis bald, URSUS

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