Mehrere Funktionen Teil 2 < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a)f(x)=tan(sinh(x))
[mm] b)f(x)=ln(\wurzel{1+x^2})
[/mm]
[mm] c)f(x)=\wurzel{cosh(x)}
[/mm]
d)f(x)=ln(ln(x)
[mm] e)f(x)=\wurzel[5]{2e^(3x)-6}
[/mm]
f) [mm] f(x)=a^x*x^a [/mm] für a>0 |
Hallo.
Die o.g Aufgaben habe ich gelöst und ich würde mich sehr freuen, wenn ihr(wie bei Teil 1) wieder über die Rechnungen drüberschauen könntet.
Natürlich müsst ihr nicht alle kontrollieren. Wie viele ihr kontrolliert ist euch frei überlassen (wenn ihr sie überhaupt kontrollieren wollt :) ).
Ich danke euch für eure Hilfe!
a) Kettenregel anwenden:
f(x)=tan(sinh(x))
[mm] f'(x)=\bruch{1}{cos^2(sinh(x))}*cosh(x)
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{cosh(x)}{cos^2^(sinh(x))}
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{cosh(x)}{(cos(sinh(x)))^2}
[/mm]
b)Kettenregel anwenden:
[mm] f(x)=ln(\wurzel{1+x^2})
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{1}{\wurzel{1+x^2}}*((1+x^2)^\bruch{1}{2})'
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{1}{\wurzel{1+x^2}}*\bruch{1}{(1+x^2)^\bruch{1}{2}}*\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{1}{\wurzel{1+x^2}}*\bruch{1}{\wurzel{1+x^2}}*\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] f'(x)=(\bruch{1}{\wurzel{1+x^2}})^2*\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{1}{1+x^2}*\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{1}{2+2x^2}
[/mm]
-> Hier bin ich am zweifeln :/
c)Kettenregel
[mm] f(x)=\wurzel{cosh(x)}
[/mm]
[mm] f(x)=(cosh(x))^\bruch{1}{2}
[/mm]
Ableitung von [mm] x^\bruch{1}{2} [/mm] ist doch [mm] \bruch{1}{2}*x^-\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{1}{2\wurzel{cosh(x)}}*sinh(x)
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{sinh(x)}{2\wurzel{cosh{x}}}
[/mm]
d)Kettenregel
f(x)=ln(ln(x))
[mm] f'(x)=\bruch{1}{ln(x)}*\bruch{1}{x}
[/mm]
e)Kettenregel
[mm] f(x)=\wurzel[5]{2e^(3x)-6}
[/mm]
[mm] f(x)=(2e^{3x}-6)^\bruch{1}{5}
[/mm]
u: [mm] x\mapsto [/mm] 3x
v: [mm] y\mapsto 2e^y-6
[/mm]
p: [mm] z\mapsto z^\bruch{1}{5}
[/mm]
f'(x)= p'(z)*v'(y)
v'(y)= v'(y)*u'(x)
f'(x)=p'(z)*v'(y)*u'(x)
[mm] p'(z)=\bruch{1}{5}*z^-\bruch{4}{5}
[/mm]
[mm] p'(z)=\bruch{1}{5}*\bruch{1}{z^\bruch{4}{5}}
[/mm]
[mm] p'(z)=\bruch{1}{^\bruch{4}{5}}
[/mm]
u'(x)=3
[mm] v'(y)=2e^y*3=6e^y=6e^3x
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{1}{5}*\bruch{1}{(2e^(3x)-6)^\bruch{4}{5}}*6e^{3x}
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{6e^3x}{5*\wurzel[5]{(2e^{3x}-6)^4}}
[/mm]
-> Auch bei dieser Aufgabe bin ich mir nicht so sicher.....
f) Ich denke mal Produkt und Kettenregel sollten angewendet werden.
[mm] f(x)=a^x*x^a
[/mm]
[mm] a^x=e^{x*ln(a)} \Rightarrow
[/mm]
[mm] f(x)=e^{x*ln(a)}*x^a
[/mm]
Ableitung von [mm] e^{x*ln(a)}:
[/mm]
[mm] g(x)=e^{ln(a)*x}
[/mm]
[mm] g'(x)=e^{ln(a)*x}*(\bruch{1}{a}*x+ln(a))
[/mm]
[mm] g'(x)=a^x*(\bruch{x}{a}+ln(a))
[/mm]
Ableitung von [mm] x^a= a*x^{a-1}=j(x)
[/mm]
f(x)=j(x)*g(x)
f'(x)=j'(x)*g(x)+g'(x)*j(x)
[mm] f'(x)=a^x*(\bruch{x}{a}+ln(a))*x^a+a*x^{a-1}*a^x
[/mm]
Irgendwie denke ich, dass ich mich hier verrechnet habe...
Ich würde mich sehr über Hilfe freuen.
Danke im Voraus:)
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Hallo und danke für die Antwort.
Dazu hätte ich dann noch eine Frage:
$ [mm] f'(x)=\underbrace{\frac{1}{5}\left(2e^{3x}-6\right)^{-\frac{4}{5}}}_{p'(v(u(x))}\cdot{}\underbrace{\left(2e^{3x}\right)}_{v'(u(x))}\cdot{}\underbrace{3}_{u'(x)} [/mm] $
ist doch das selbe wie
$ [mm] f'(x)=\bruch{6e^3x}{5\cdot{}\wurzel[5]{(2e^{3x}-6)^4}} [/mm] $ oder sehe ich den Unterschied nicht?
Und warum ist die Ableitung von [mm] a^x=ln(a)*a^x [/mm]
In der inneren Ableitung muss man doch die Produktregel noch anwenden oder nicht?
Deshalb komme ich auf:
$ [mm] g'(x)=a^x\cdot{}(\bruch{x}{a}+ln(a)) [/mm] $
was scheinbar falsch ist.
Jedoch wüsste ich gerne wo mein Fehler liegt :/
Viele Grüße und danke im Voraus :=)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:46 Do 16.12.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo und danke für die Antwort.
> Dazu hätte ich dann noch eine Frage:
>
> [mm]f'(x)=\underbrace{\frac{1}{5}\left(2e^{3x}-6\right)^{-\frac{4}{5}}}_{p'(v(u(x))}\cdot{}\underbrace{\left(2e^{3x}\right)}_{v'(u(x))}\cdot{}\underbrace{3}_{u'(x)}[/mm]
>
> ist doch das selbe wie
>
> [mm]f'(x)=\bruch{6e^3x}{5\cdot{}\wurzel[5]{(2e^{3x}-6)^4}}[/mm]
> oder sehe ich den Unterschied nicht?
Den siehst du nicht, weil es keinen gibt, ich hatte mich beim ersten Post verrechnet.
>
> Und warum ist die Ableitung von [mm]a^x=ln(a)*a^x[/mm]
> In der inneren Ableitung muss man doch die Produktregel
> noch anwenden oder nicht?
in welcher inneren Ableitung? [mm] f(x)=a^{x} [/mm] hat keinen "inneren Term", der gesondert abgeleitet werden müsste.
> Deshalb komme ich auf:
> [mm]g'(x)=a^x\cdot{}(\bruch{x}{a}+ln(a))[/mm]
> was scheinbar falsch ist.
> Jedoch wüsste ich gerne wo mein Fehler liegt :/
Wenn du [mm] g(x)=e^{ln(a)\cdot{}x} [/mm] ableitest, brauchst du erstmal nur einmal die Kettenregel.
Es gilt dann
[mm] g'(x)=\underbrace{e^{ln(a)\cdot{}x}}_{\text{äußere Abl.}}*\underbrace{(\ln(a))}_{\text{innere Abl}} [/mm]
>
> Viele Grüße und danke im Voraus :=)
Marius
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Hallo und danke für die Antwort.
Ich meinte das so.
[mm] f(x)=e^{ln(a)*x}
[/mm]
Hier habe ich ein Problem wie ich diese Verkettung aufbauen soll.
Ich kann ja schlecht sagen:
v: [mm] x\mapsto [/mm] ln(a)*x
u: [mm] y\mapsto e^y [/mm]
Denn ln ist ja abhängig von a und nicht von x.
Das selbe gilt, wenn ich versuche a auf ln(a)*x zu definieren. x bleibt übrig.
Oder sehe ich dann x einfach als Variable auf die kein Bezug genommen wird?
Also: [mm] (u\circ{v})(a).
[/mm]
So wie [mm] f(x)=3x^2 [/mm] mit f'(x)=6x wäre x im obigen Bsp. dann einfach ein Faktor der Multiplikation.
Viele Grüße und danke für die Geduld. :)
Ps:Ich möchte die Sachen die ich erfrage richtig verstehen und hoffe dass das in Ordnung ist.
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Hallo,
> Hallo und danke für die Antwort.
>
> Ich meinte das so.
>
> [mm]f(x)=e^{ln(a)*x}[/mm]
>
> Hier habe ich ein Problem wie ich diese Verkettung aufbauen
> soll.
>
> Ich kann ja schlecht sagen:
> v: [mm]x\mapsto[/mm] ln(a)*x ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> u: [mm]y\mapsto e^y[/mm]
>
> Denn ln ist ja abhängig von a und nicht von x.
Na und, das ist halt eine (multiplikative) Konstante.
Was würdest du denn bei [mm]e^{5\cdot{}x}[/mm] machen?
Würdest du da auch sagen, dass man für die innere Fkt. nicht [mm]x\mapsto 5\cdot{}x[/mm] zuweisen kann, weil 5 nicht von x abhängt?
Wohl kaum ...
> Das selbe gilt, wenn ich versuche a auf ln(a)*x zu
> definieren. x bleibt übrig.
> Oder sehe ich dann x einfach als Variable auf die kein
> Bezug genommen wird?
>
> Also: [mm](u\circ{v})(a).[/mm]
>
> So wie [mm]f(x)=3x^2[/mm] mit f'(x)=6x wäre x im obigen Bsp. dann
> einfach ein Faktor der Multiplikation.
>
> Viele Grüße und danke für die Geduld. :)
> Ps:Ich möchte die Sachen die ich erfrage richtig
> verstehen und hoffe dass das in Ordnung ist.
>
>
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:12 Do 16.12.2010 | | Autor: | Masseltof |
Alles klar und danke für die Antwort.
Ich wollte lieber nur nochmal auf Nummer sicher gehen, bevor mir solch ein Fehler in der Klausur unterläuft :).
Viele Grüße und danke vielmals für die Kontrolle der Aufgaben an euch alle :)!
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Hallo.
Leider muss ich noch einmal eine Frage zu dieser Aufgabe stellen:
Statt: [mm] e^{ln(a)*x} [/mm] als
v: [mm] x\mapsto [/mm] ln(a)*x
u: y [mm] \mapsto e^y
[/mm]
zu definieren, könnte ich es ja auch folgendermaßen definieren:
v: [mm] a\mapsto [/mm] ln(a)*x
u: [mm] y\mapsto e^y
[/mm]
und dann die Verkettung durchführen.
Dieses mal müsste ich jedoch v nach a ableiten und demnach ln(a), wobei ich dann [mm] \bruch{1}{a}*x [/mm] als Ableitung von ln(a)*x erhalten würde.
Als Differenzenquotienten wäre das ausgedrückt:
[mm] \limes_{\Delta{a}\rightarrow {0}}\bruch{v(a+\Delta{a})-v(a)}{\Delta{a}}
[/mm]
[mm] \limes_{\Delta{a}\rightarrow {0}}\bruch{ln(a+\Delta{a})-ln(a)}{\Delta{a}}
[/mm]
In dem Moment wäre ja x einfach die multiplikative Konstante und ln(a), jener Term den ich ableiten müsste, oder?
Edit: 1min nach dem Posten ist mir aufgefallen, dass die Funktion f(x) lautet, demnach ist x unsere Variable und damit erklärt sich dann auch meine Frage, oder?
Ich hoffe, dass ihr mir helfen könnt.
Viele Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:07 So 19.12.2010 | | Autor: | chrisno |
Ja, Du musst immer aufpassen, nach welcher Variablen abgeleitet wird. Alle anderen sind Konstanten.
Du kannst auch die Ableitung nach a berechnen. Das ergibt aber etwas anderes. Dann müsste aber auch f(a) = ... da stehen.
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
