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Mehrdimensionale Stetigkeit: Verständnisfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:25 Mi 13.11.2019
Autor: bondi

Aufgabe
Bestimme (falls existent) folgende Grenzwerte:

[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)} \bruch{x sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2} [/mm]




Hallo,
ich poste die Lösung der Aufgabe, da wir sie zusammen mit einer weiteren Aufgabe zu mehrdimensionaler Stetigkeit bekamen. Die Aufgaben trotz ihrer Ähnlichkeit aber einen vollständig anderen Lösungsansatz verfolgen.
(Kann  gut sein, dass ich das nur auf Grund meiner Ungeübtheit als ähnlich empfinde ). Die Aufgabe ist selbsterklärend. Muss nicht weiter diskutiert werden. Soll auch nur für den Vergleich herhalten.

[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)} \bruch{ sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2} = 1 [/mm]



[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)} \bruch{x sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2} = \left( \limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)} x \right) * \left( \limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)} \bruch{ sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2} \right) = 0*1 = 0[/mm]


Die andere Aufgabe lautet:
Bestimme (falls existent) folgende Grenzwerte:

[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)} \bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2} [/mm]

Diese seine Lösung geht über Folgen und ich sehe beim besten Willen nicht durch. Ich stell die Lösung morgen vollständig ein.


        
Bezug
Mehrdimensionale Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:07 Mi 13.11.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)} \bruch{ sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2} = 1[/mm]

na wenn ihr das schon hattet, ist der andere Grenzwert wirklich trivial.

> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)} \bruch{x sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2} = \left( \limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)} x \right) * \left( \limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)} \bruch{ sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2} \right) = 0*1 = 0[/mm]

Genau deswegen… [ok].  

> Die andere Aufgabe lautet:
>  Bestimme (falls existent) folgende Grenzwerte:
>  
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)} \bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2}[/mm]
>  
> Diese seine Lösung geht über Folgen und ich sehe beim
> besten Willen nicht durch. Ich stell die Lösung morgen
> vollständig ein.

Willst du die jetzt gelöst haben? Ich bin verwirrt… aber ja, wenn ihr  [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)} \bruch{ sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2} = 1[/mm] mit Hilfe von Polarkoordinaten gezeigt hab, kann man hier analog vorgehen… mit der Erkenntnis, dass obiger Grenzwert nicht existiert.

Gruß,
Gono

Bezug
        
Bezug
Mehrdimensionale Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 04:59 Do 14.11.2019
Autor: fred97


> Bestimme (falls existent) folgende Grenzwerte:
>  
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)} \bruch{x sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2}[/mm]
>  
>
>
> Hallo,
>  ich poste die Lösung der Aufgabe, da wir sie zusammen mit
> einer weiteren Aufgabe zu mehrdimensionaler Stetigkeit
> bekamen. Die Aufgaben trotz ihrer Ähnlichkeit aber einen
> vollständig anderen Lösungsansatz verfolgen.
> (Kann  gut sein, dass ich das nur auf Grund meiner
> Ungeübtheit als ähnlich empfinde ). Die Aufgabe ist
> selbsterklärend. Muss nicht weiter diskutiert werden. Soll
> auch nur für den Vergleich herhalten.
>  
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)} \bruch{ sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2} = 1[/mm]
>  
>
>
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)} \bruch{x sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2} = \left( \limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)} x \right) * \left( \limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)} \bruch{ sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2} \right) = 0*1 = 0[/mm]
>  
>
> Die andere Aufgabe lautet:
>  Bestimme (falls existent) folgende Grenzwerte:
>  
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)} \bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2}[/mm]
>  
> Diese seine Lösung geht über Folgen und ich sehe beim
> besten Willen nicht durch. Ich stell die Lösung morgen
> vollständig ein.
>  

Dass  der  Lösungsansatz hier ein  anderer ist,  mag wohl daran  liegen  weil obiger Grenzwert nicht  existiert. ......




Bezug
        
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Mehrdimensionale Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:12 Do 14.11.2019
Autor: HJKweseleit


> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)} \bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2}[/mm]

Bei solchen Aufgaben solltest du der Einfachheit halber folgendermaßen vorgehen:

Wenn der Grenzwert nicht existiert, lässt sich dies oft (nicht immer!) durch Beispielrechnung zeigen, indem man die Limites nacheinander bildet und dann ihre Reihenfolge  vertauscht:


[mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} (\limes_{y\rightarrow\ 0} \bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2})[/mm] = [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{x^2}{x^2}[/mm] = [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} 1 [/mm] = 1

[mm]\limes_{y\rightarrow\ 0} (\limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2})[/mm] = [mm]\limes_{y\rightarrow\ 0} \bruch{-y^2}{y^2}[/mm] = [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} -1 [/mm] = -1

Beide Grenzwerte sind verschieden, somit kein gemeinsamer Grenzwert.

Auch wenn diese Grenzwerte gleich wären, wäre das kein Beweis für die Existenz eines gemeinsamen Grenzwertes. Es ist also nur die Suche nach einem Negativ-Beispiel, die aber recht schnell zu bewerkstelligen ist.

Noch eine weitere Kontrollrechnung:

Für x=y ergibt sich [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0),x=y} \bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2}[/mm] = = [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{0}{2x^2}[/mm] = [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} 0 [/mm] = 0 , also noch ein anderes Ergebnis.

Bezug
                
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Mehrdimensionale Stetigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:21 Do 14.11.2019
Autor: bondi

Ich bin mit der Geschichte noch nicht ganz vertraut :)

Die Schreibweise, bei der ich [mm] \limes_{y\rightarrow\ 0} [/mm] laufen lasse, ist

[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \left( \limes_{y\rightarrow\ 0} \bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2} \right) = \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{x^2}{x^2} = \limes_{x\rightarrow\ 0} 1 = 1[/mm]

und umgekehrt [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} [/mm] laufen lasse, in der Form

[mm] \limes_{y\rightarrow\ 0} \left( \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2} \right) = \limes_{y\rightarrow\ 0} \bruch{-y^2}{y^2} = \limes_{y\rightarrow\ 0} -1 = -1[/mm]

korrekt?



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Mehrdimensionale Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:25 Fr 15.11.2019
Autor: fred97


> Ich bin mit der Geschichte noch nicht ganz vertraut :)
>  
> Die Schreibweise, bei der ich [mm]\limes_{y\rightarrow\ 0}[/mm]
> laufen lasse, ist
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} \left( \limes_{y\rightarrow\ 0} \bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2} \right) = \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{x^2}{x^2} = \limes_{x\rightarrow\ 0} 1 = 1[/mm]
>  

Es bedeutet: zunächst halten wir x fest und lassen dann $y [mm] \to [/mm] 0$ gehen. Was heraus kommt ist ein Ausdruck, der nur noch von x abhängt. Nun lassen wir $x [mm] \to [/mm] 0$ gehen.



> und umgekehrt [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0}[/mm] laufen lasse, in der
> Form
>
> [mm]\limes_{y\rightarrow\ 0} \left( \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2} \right) = \limes_{y\rightarrow\ 0} \bruch{-y^2}{y^2} = \limes_{y\rightarrow\ 0} -1 = -1[/mm]

Wie oben nur mit vertauschter Reihenfolge von x und y.


>  
> korrekt?
>
>  


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