Mehrdimensionale Stetigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe 1 | | [mm] f(x)=\begin{cases}
\bruch{x y}{|xy|} & \mbox{für } x\ne0\land y\ne0 \\ 0 & \mbox{für } x=0 \lor y=0 \end{cases} [/mm] |
| Aufgabe 2 | | [mm] f(x)=\begin{cases}
\bruch{x^2}{\wurzel{x^2+y^2}} & \mbox{für } (x, y)\ne(0,0) \\ 0 & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \end{cases} [/mm] |
| Aufgabe 3 | | [mm] f(x)=\begin{cases}
\bruch{5x^2}{2x^2+3y^2} & \mbox{für } (x, y)\ne(0,0) \\ \bruch{5}{2} & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \end{cases} [/mm] |
Hallo zusammen,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich soll für die oben genannten Funktionen Stetigkeit zeigen oder wiederlegen.
Ich habe folgende drei Aufgaben versucht zu lösen und wollte wissen, ob ich hier richtig liege
In allen aufgaben muss man begründen, dass die einzelnen Funktionsteile in sich stetig sind, da sie Kompositionen stetiger Funktionen, bzw. konstanten Funktionen sind. Zu prüfen sind also nur die kritischen Stellen an denen die Funktionsabschnitte zusammen laufen.
Aufgabe 1:
Meine Vermutung ist, dass die Funktion in 0 nicht stetig ist.
Um dies zu zeigen, definiere ich mir zwei Nullfolgen für die ich ich zeigen, dass die Funktion nicht gegen 0 läuft:
[mm] \limes_{n \to \infty}f(\bruch{1}{n},\bruch{1}{n}) [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty}\bruch{\bruch{1}{n^2}}{|\bruch{1}{n^2}|} [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty}\bruch{\overbrace{|n^2|}^{\ge0}}{n^2} [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty}\bruch{n^2}{n^2} [/mm] = 1 [mm] \ne [/mm] 0
Aufgabe 2:
Hier ist meine Vermutung, dass die Funktion in (0,0) stetig ist:
Seien [mm] x_n [/mm] und [mm] y_n [/mm] Nullfolgen.
[mm] \limes_{n \to \infty}f(x_n,y_n) [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty}\bruch{x_n^2}{\wurzel{x_n^2+y^2}} [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty}\bruch{x_n}{\wurzel{1+\bruch{y_n^2}{x_n^2}}} [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty}x_n\underbrace{\bruch{1}{\wurzel{1+\bruch{y_n^2}{x_n^2}}}}_{\le1} \le \limes_{n \to \infty}x_n [/mm] = 0
Aufgabe 3:
Hier ist meine Vermutung, dass die Folge in (0,0) unstetig ist:
[mm] \limes_{n \to \infty}f(\bruch{1}{n},\bruch{1}{n}) =\limes_{n \to \infty}\bruch{5\bruch{1}{n^2}}{2\bruch{1}{n^2}+3\bruch{1}{n^2}} [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty}\bruch{5}{2+3} [/mm] = 1 [mm] \ne \bruch{5}{2}
[/mm]
Habe ich die Aufgaben korrekt gelöst?
Ich habe im allgemeinen das Problem schnell zu erkennen, ob eine Funktionen mit mehreren Variablen in solchen Punkten stetig ist.
Habt ihr hier Tipps für mich, wie man so etwas gut, bzw. schnell erkennen kann?
Danke und liebe Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:54 Mo 03.10.2016 | | Autor: | fred97 |
> [mm]f(x)=\begin{cases}
\bruch{x y}{|xy|} & \mbox{für } x\ne0\land y\ne0 \\ 0 & \mbox{für } x=0 \lor y=0 \end{cases}[/mm]
>
> [mm]f(x)=\begin{cases}
\bruch{x^2}{\wurzel{x^2+y^2}} & \mbox{für } (x, y)\ne(0,0) \\ 0 & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \end{cases}[/mm]
>
> [mm]f(x)=\begin{cases}
\bruch{5x^2}{2x^2+3y^2} & \mbox{für } (x, y)\ne(0,0) \\ \bruch{5}{2} & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \end{cases}[/mm]
>
> Hallo zusammen,
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich soll für die oben genannten Funktionen Stetigkeit
> zeigen oder wiederlegen.
>
> Ich habe folgende drei Aufgaben versucht zu lösen und
> wollte wissen, ob ich hier richtig liege
>
> In allen aufgaben muss man begründen, dass die einzelnen
> Funktionsteile in sich stetig sind, da sie Kompositionen
> stetiger Funktionen, bzw. konstanten Funktionen sind. Zu
> prüfen sind also nur die kritischen Stellen an denen die
> Funktionsabschnitte zusammen laufen.
>
> Aufgabe 1:
> Meine Vermutung ist, dass die Funktion in 0 nicht stetig
> ist.
> Um dies zu zeigen, definiere ich mir zwei Nullfolgen für
> die ich ich zeigen, dass die Funktion nicht gegen 0
> läuft:
>
> [mm]\limes_{n \to \infty}f(\bruch{1}{n},\bruch{1}{n})[/mm] =
> [mm]\limes_{n \to \infty}\bruch{\bruch{1}{n^2}}{|\bruch{1}{n^2}|}[/mm]
> = [mm]\limes_{n \to \infty}\bruch{\overbrace{|n^2|}^{\ge0}}{n^2}[/mm]
> = [mm]\limes_{n \to \infty}\bruch{n^2}{n^2}[/mm] = 1 [mm]\ne[/mm] 0
Das ist O.K.
>
> Aufgabe 2:
> Hier ist meine Vermutung, dass die Funktion in (0,0)
> stetig ist:
> Seien [mm]x_n[/mm] und [mm]y_n[/mm] Nullfolgen.
>
> [mm]\limes_{n \to \infty}f(x_n,y_n)[/mm] = [mm]\limes_{n \to \infty}\bruch{x_n^2}{\wurzel{x_n^2+y^2}}[/mm]
> = [mm]\limes_{n \to \infty}\bruch{x_n}{\wurzel{1+\bruch{y_n^2}{x_n^2}}}[/mm]
> = [mm]\limes_{n \to \infty}x_n\underbrace{\bruch{1}{\wurzel{1+\bruch{y_n^2}{x_n^2}}}}_{\le1} \le \limes_{n \to \infty}x_n[/mm]
> = 0
Das ist nicht O.K.
1. Du teilst durch [mm] x_n. [/mm] Das setzt voraus, dass [mm] x_n \ne [/mm] 0 für fast alle n ist. Damit schränkst Du die Nullfolgen [mm] ((x_n,y_n)) [/mm] , die zu betrachten sind ein.
2. Du benutzt die Abschätzung [mm] f(x_n,y_n) \le x_n. [/mm] Für [mm] X_n \ge [/mm] 0 ist das O.K. Für [mm] x_n [/mm] <0 ist dies falsch ! Zudem bringt Dir [mm] "\le" [/mm] nix !
zeige: $|f(x,y)| [mm] \le [/mm] |x|$ für alle x.
>
> Aufgabe 3:
> Hier ist meine Vermutung, dass die Folge in (0,0) unstetig
> ist:
>
> [mm]\limes_{n \to \infty}f(\bruch{1}{n},\bruch{1}{n}) =\limes_{n \to \infty}\bruch{5\bruch{1}{n^2}}{2\bruch{1}{n^2}+3\bruch{1}{n^2}}[/mm]
> = [mm]\limes_{n \to \infty}\bruch{5}{2+3}[/mm] = 1 [mm]\ne \bruch{5}{2}[/mm]
Das ist O.K.
>
> Habe ich die Aufgaben korrekt gelöst?
>
> Ich habe im allgemeinen das Problem schnell zu erkennen, ob
> eine Funktionen mit mehreren Variablen in solchen Punkten
> stetig ist.
> Habt ihr hier Tipps für mich, wie man so etwas gut, bzw.
> schnell erkennen kann?
>
> Danke und liebe Grüße
|
|
|
| |
|
Danke für die Korrektur.
Deine Anmerkung kann ich nachvollziehen.
Ich würde also wie folgt vorgehen:
[mm] 0\le|f(x,y)|=|\bruch{x^2}{\wurzel{x^2+y^2}}|=|x|\bruch{|x|}{|\wurzel{x^2+y^2}|}= [/mm] ...
Meine Überlegung: Das x im Nenner und [mm] \wurzel{x^2} [/mm] im Zähler laufen gleich schnell exklusiv betrachtet insgesamt gegen 1. Durch das addieren des [mm] y^2 [/mm] unter der Wurzel wächst der Nenner aber potenziell schneller, also geht der Bruch ins unendliche. Ich müsste es also irgendwie schaffen den Bruch gegen die besagte 1 laufen zu lässen und hätte so meine Abschätzung gegen x.
Hier hatte ich erst den Ansatz die Wurzel zur 2. Binomischen Formel mit -2xy zu erweitern und diese so weg zu bekommen. Würde ich aber doch bei (1,1) durch 0 teilen, sodass dies nicht geht?
Leider komme ich hier auf keine gute Idee.
|
|
|
| |
|
Hiho,
es ist offensichtlich [mm] $x^2 \le x^2 [/mm] + [mm] y^2$.
[/mm]
Kommst du damit weiter?
Gruß,
Gono
|
|
|
|
