Mehrdimensionale Integration < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | (a) Berechnen Sie nachstehende Mehrfachintegrale:
[mm] i)\integral_{0}^{1}{dy}\integral_{0}^{2}{dx yx^2}
[/mm]
[mm] ii)\integral_{0}^{2}{dx}\integral_{0}^{1}{dy yx^2}
[/mm]
(b) In Teil a) stimmen die Ergebnisse von i) und ii)¨berein. Dies ist kein Zufall, da neben dem Integranden auch die Teilmengen von [mm] \IR^2 [/mm] ubereinstimmen, ¨uber die integriert
wird. Daher k¨onnte man i) und ii) auch schreiben als [mm] \integral_{}^{}{}\integral_{D}^{}{yx^2 dx dy} [/mm] mit D [mm] =[0;2]\times[0;1] [/mm] und
damit die Reihenfolge der Integrationen offenlassen. Berechnen Sie f¨ur nachstehende Gebiete D und
Funktionen f das Integral [mm] \integral_{}^{}{}\integral_{D}^{}{f(x,y)dx dy} [/mm] bzw [mm] \integral_{}^{}{}\integral_{}^{}{}\integral_{D}^{}{f(x,y,z)dx dy dz} [/mm] indem Sie eine geeignete Integrationsreihenfolge wählen:
i) [mm] f:\IR^2\to\IR,(x,y)\mapsto x^2+3y^2 [/mm]
[mm] D=\{\vektor{x \\ y}\in\IR^2| |y|<|x| \wedge |x|<3\}
[/mm]
[mm] ii)f:\IR^2\to\IR,(x,y)\mapsto [/mm] 1/x * [mm] cos\vektor{y \\ x} [/mm]
[mm] D=\{\vektor{x \\ y}\in\IR^2| 0
[mm] iii)f:\IR^3\to\IR,(x,y,z)\mapsto [/mm] sin(x)+ [mm] (y+2)^2/z^2+1 [/mm]
[mm] D=\{\vektor{x \\ y \\ z}\in\IR^3| |x|,|y|,|z|<1\}
[/mm]
[mm] iv)f:\IR^+^3\to\IR,(x,y,z)\mapsto [/mm] 1
[mm] D=\{\vektor{x \\ y \\ z}\in\IR^3| x+y+z=3 \wedge 0 |
Hallo ich verstehe nicht ganz wie man auf die Grenzen von den Integrallen kommt bei Teil (b) kann mir das einer Erklären, aber bitte ausfürlich , so das jeder Dumme es verstehen sollte! Danke!
hab vorhin es in den falschen Forum (Schule) ringepostet hier sollte es nun richtig sein!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo black_jaguar,
> (a) Berechnen Sie nachstehende Mehrfachintegrale:
> [mm]i)\integral_{0}^{1}{dy}\integral_{0}^{2}{dx yx^2}[/mm]
>
> [mm]ii)\integral_{0}^{2}{dx}\integral_{0}^{1}{dy yx^2}[/mm]
>
> (b) In Teil a) stimmen die Ergebnisse von i) und
> ii)¨berein. Dies ist kein Zufall, da neben dem Integranden
> auch die Teilmengen von [mm]\IR^2[/mm] ubereinstimmen, ¨uber die
> integriert
> wird. Daher k¨onnte man i) und ii) auch schreiben als
> [mm]\integral_{}^{}{}\integral_{D}^{}{yx^2 dx dy}[/mm] mit D
> [mm]=[0;2]\times[0;1][/mm] und
> damit die Reihenfolge der Integrationen offenlassen.
> Berechnen Sie f¨ur nachstehende Gebiete D und
> Funktionen f das Integral
> [mm]\integral_{}^{}{}\integral_{D}^{}{f(x,y)dx dy}[/mm] bzw
> [mm]\integral_{}^{}{}\integral_{}^{}{}\integral_{D}^{}{f(x,y,z)dx dy dz}[/mm]
> indem Sie eine geeignete Integrationsreihenfolge wählen:
>
> i) [mm]f:\IR^2\to\IR,(x,y)\mapsto x^2+3y^2[/mm]
> [mm]D=\{\vektor{x \\ y}\in\IR^2| |y|<|x| \wedge |x|<3\}[/mm]
>
> [mm]ii)f:\IR^2\to\IR,(x,y)\mapsto[/mm] 1/x * [mm]cos\vektor{y \\ x}[/mm]
> [mm]D=\{\vektor{x \\ y}\in\IR^2| 0
>
> [mm]iii)f:\IR^3\to\IR,(x,y,z)\mapsto[/mm] sin(x)+ [mm](y+2)^2/z^2+1[/mm]
> [mm]D=\{\vektor{x \\ y \\ z}\in\IR^3| |x|,|y|,|z|<1\}[/mm]
>
> [mm]iv)f:\IR^+^3\to\IR,(x,y,z)\mapsto[/mm] 1
> [mm]D=\{\vektor{x \\ y \\ z}\in\IR^3| x+y+z=3 \wedge 0
>
>
> Hallo ich verstehe nicht ganz wie man auf die Grenzen von
> den Integrallen kommt bei Teil (b) kann mir das einer
> Erklären, aber bitte ausfürlich , so das jeder Dumme es
> verstehen sollte! Danke!
>
Fertige Dir dazu eine Skizze
des jeweiligen Integrationsgebietes an.
> hab vorhin es in den falschen Forum (Schule) ringepostet
> hier sollte es nun richtig sein!
>
Ja.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Grus
MathePower
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wie macht man denn eine Skitze wenn die funktion von 2 wariablen abhängt ... Also tabe kann ich noch anfertigen aber Skitze? Was sind die Achsen?
x=....... 1 2 1 2
y=....... 1 1 2 2
[mm] x^2+3y^3= [/mm] 4 7 13 16
Also wenn ich die Tabelle weiter vortführe komm ich auch nicht würklich weiter ... Brauche Hilfe!
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Hallo black_jaguar,
> wie macht man denn eine Skitze wenn die funktion von 2
> wariablen abhängt ... Also tabe kann ich noch anfertigen
> aber Skitze? Was sind die Achsen?
> x=....... 1 2 1 2
> y=....... 1 1 2 2
> [mm]x^2+3y^3=[/mm] 4 7 13 16
>
> Also wenn ich die Tabelle weiter vortführe komm ich auch
> nicht würklich weiter ... Brauche Hilfe!
Nicht der Integrand [mm]x^{2}+3*y^{2}[/mm] ist zu skizzieren,
sondern das Integrationsgebiet
[mm]D=\{\vektor{x \\ y}\in\IR^2| |y|<|x| \wedge |x|<3\}[/mm]
Gruss
MathePower
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Also die ii) ist vermutlich [mm] \integral_{0}^{x^2}{}\integral_{1}^{\pi/2}{1/x*cos(y/x) dx dy}
[/mm]
Irgendwie kann ich mir nichts unter den Beträgen Vorstellen ?!
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Hallo black_jaguar,
> Also die ii) ist vermutlich
> [mm]\integral_{0}^{x^2}{}\integral_{1}^{\pi/2}{1/x*cos(y/x) dx dy}[/mm]
>
Das ist bis auf die Integrationsreihenfolge richtig.
Zuletzt wird über feste Grenzen integriert.
Daher lautet das richtige Integral:
[mm]\integral_{1}^{\pi/2}{}\integral_{0}^{x^{2}}{1/x*cos(y/x) \ dy \ dx}[/mm]
>
> Irgendwie kann ich mir nichts unter den Beträgen
> Vorstellen ?!
Siehe hier: Betrag
Gruss
MathePower
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irgend bringt mich das für die Grenzen nicht weiter was der Betrag ist weiß ich ... aber aus der bedingung kann ich nicht würklich die Grenzen ablesen ... könntest du die Grenzen für die i sagen villeich komm ich dann weiter!?
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Hallo black_jaguar,
> irgend bringt mich das für die Grenzen nicht weiter was
> der Betrag ist weiß ich ... aber aus der bedingung kann
> ich nicht würklich die Grenzen ablesen ... könntest du
> die Grenzen für die i sagen villeich komm ich dann
> weiter!?
Nun, [mm]\vmat{x} < 3 [/mm] bedeutet doch: [mm] -3 < x < 3[/mm]
[mm]\vmat{y} < \vmat{x}[/mm] bedeutet für [mm] -3 < x le 0[/mm]: [mm]x < y < -x[/mm]
[mm]\vmat{y} < \vmat{x}[/mm] bedeutet für [mm] 0 \le x < 3[/mm]: [mm]-x < y < x[/mm]
Gruss
MathePower
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[mm] i)\integral_{-3}^{0}{}\integral_{-x}^{-x}{f(x) dy dx}
[/mm]
[mm] iii)\integral_{-1}^{1}{}\integral_{-1}^{1}{}\integral_{-1}^{1}{f(x) dz dy dx}
[/mm]
[mm] iv)\integral_{0}^{3}{}\integral_{0}^{3}{}\integral_{0}^{3}{f(x) dz dy dx}
[/mm]
Also lauten die Grenzen so richtig?
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Hallo black_jaguar,
> [mm]i)\integral_{-3}^{0}{}\integral_{-x}^{-x}{f(x) dy dx}[/mm]
>
Das ist nicht ganz richtig.
[mm]\integral_{-3}^{0}{}\integral_{\blue{+}x}^{-x}{f(x) dy dx}[/mm]
Das ist auch nur das Integral für [mm]-3 < x \le 0[/mm]
Du brauchst noch das Integral für [mm]0 \le x < 3[/mm]
> [mm]iii)\integral_{-1}^{1}{}\integral_{-1}^{1}{}\integral_{-1}^{1}{f(x) dz dy dx}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]iv)\integral_{0}^{3}{}\integral_{0}^{3}{}\integral_{0}^{3}{f(x) dz dy dx}[/mm]
>
Das musst Du nochmal überdenken.
> Also lauten die Grenzen so richtig?
Gruss
MathePower
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[mm] i)\integral_{-3}^{0}{}\integral_{x}^{-x}{f(x) dy dx}+\integral_{0}^{3}{}\integral_{-x}^{x}{f(x) dy dx}=....
[/mm]
wenn das richtig ist, (ist es richtig?) kann man das auch irgendwie zusammen schreiben?
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Hallo black:_jaguar,
> [mm]i)\integral_{-3}^{0}{}\integral_{x}^{-x}{f(x) dy dx}+\integral_{0}^{3}{}\integral_{-x}^{x}{f(x) dy dx}=....[/mm]
>
> wenn das richtig ist, (ist es richtig?) kann man das auch
> irgendwie zusammen schreiben?
Ja, das ist jetzt richtig.
Nun, Du kannst das eine Integral in das ander überführen.
Gruss
MathePower
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[mm] iv)\integral_{0}^{3}{}\integral_{-y}^{3}{}\integral_{-z}^{3}{f(x) dz dy dx} [/mm] stimm das jetzt?
[mm] i)\integral_{-3}^{0}{}\integral_{x}^{-x}{f(x) dy dx}+\integral_{0}^{3}{}\integral_{-x}^{x}{f(x) dy dx}=\integral_{-3}^{0}{}\integral_{x}^{-x}{f(x) dy dx}-\integral_{0}^{3}{}\integral_{x}^{-x}{f(x) dy dx}=? [/mm] stimmt die umformung [mm] ?=\integral_{-3}^{3}{}\integral_{x}^{-x}{f(x) dy dx}
[/mm]
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Hallo black_jaguar,
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> [mm]iv)\integral_{0}^{3}{}\integral_{-y}^{3}{}\integral_{-z}^{3}{f(x) dz dy dx}[/mm]
> stimm das jetzt?
>
Leider nein.
Der Bereich über den integriert werden soll ist schon zu beachten.
Zunächst ist da die Gleichung x+y+z=3
> [mm]i)\integral_{-3}^{0}{}\integral_{x}^{-x}{f(x) dy dx}+\integral_{0}^{3}{}\integral_{-x}^{x}{f(x) dy dx}=\integral_{-3}^{0}{}\integral_{x}^{-x}{f(x) dy dx}-\integral_{0}^{3}{}\integral_{x}^{-x}{f(x) dy dx}=?[/mm]
> stimmt die umformung
> [mm]?=\integral_{-3}^{3}{}\integral_{x}^{-x}{f(x) dy dx}[/mm]
>
Es ist doch
[mm]\integral_{-3}^{0}{}\integral_{x}^{-x}{f(x) dy dx}-\integral_{0}^{3}{}\integral_{x}^{-x}{f(x) dy dx}=\integral_{-3}^{0}{}\integral_{x}^{-x}{f(x) dy dx}+\integral_{-3}^{0}{}\integral_{x}^{-x}{f(x) dy dx}=2*\integral_{-3}^{0}{}\integral_{x}^{-x}{f(x) dy dx}[/mm]
Gruss
MathePower
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i) ist nun klar , hab mich zu sehr bealt bei der umformung
zu iv) also umgeform liegen die Grenzen zwischen ....
umgeformt (x+y+z=3) :
0<x<3
y=3-x-z dh doch dann das wenn ich x in diese gleichung einsetze für das maximalste x: y>-z und wenn ich das kleinste x einsetze y: y>-z
Dadurch vermute ich das die erten beiden grenzen 0;3 und 0;-z sind ... und wie man aud die letzte grenze kommt hab ich keine Ahnung <<<< Was ist an meiner überlegung falsch
[mm] \integral_{0}^{3}{}\integral_{0}^{-z}{}\integral_{?}^{?}{f(x) dz dy dx}
[/mm]
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Hallo black_jaguar,
> i) ist nun klar , hab mich zu sehr bealt bei der umformung
>
> zu iv) also umgeform liegen die Grenzen zwischen ....
> umgeformt (x+y+z=3) :
> 0<x<3
> y=3-x-z dh doch dann das wenn ich x in diese gleichung
> einsetze für das maximalste x: y>-z und wenn ich das
> kleinste x einsetze y: y>-z
> Dadurch vermute ich das die erten beiden grenzen 0;3 und
> 0;-z sind ... und wie man aud die letzte grenze kommt hab
> ich keine Ahnung <<<< Was ist an meiner überlegung falsch
>
>
> [mm]\integral_{0}^{3}{}\integral_{0}^{-z}{}\integral_{?}^{?}{f(x) dz dy dx}[/mm]
>
Aus [mm]x+y+z=3[/mm] folgt zunächst [mm]z=3-x-y[/mm]
Da [mm]z \in \IR^{+}[/mm] läuft z von 0 bis 3-x-y.
Damit gilt auch [mm] x+y \le 3[/mm] bzw. [mm]y \le 3-x[/mm]
Da [mm]y \in \IR^{+}[/mm] läuft y von 0 bis 3-x.
Damit lautet das Dreifachintegral:
[mm]\integral_{0}^{3}{}\integral_{0}^{3-x}{}\integral_{0}^{3-x-y}{f(x) \ dz \ dy \ dx}[/mm]
Gruss
MathePower
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| Aufgabe | c) Um welche geometrische Figur handelt es sich bei iv) in Teil b) und wie ist das Ergebnis der
Integration geometrisch zu interpretieren? |
Hallo mit diesen grenzen komm ich in iv) auf 18.
Es gibt noch teil c)
ist meine Antwort richtig : 1)Ein Quader 2)Es ist der Oberfläche unter diesem Quader.
Wenn dies stimmt welche Kantenlänge hätte dieser Quader ? a,b,c = 3< Stimmt das? bzw es währe dann ein Würfel!?
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Hallo black_jaguar,
> c) Um welche geometrische Figur handelt es sich bei iv) in
> Teil b) und wie ist das Ergebnis der
> Integration geometrisch zu interpretieren?
>
>
>
> Hallo mit diesen grenzen komm ich in iv) auf 18.
>
Rechne das mal vor.
> Es gibt noch teil c)
>
>
> ist meine Antwort richtig : 1)Ein Quader 2)Es ist der
> Oberfläche unter diesem Quader.
>
> Wenn dies stimmt welche Kantenlänge hätte dieser Quader ?
> a,b,c = 3< Stimmt das? bzw es währe dann ein Würfel!?
Die geometrische Figur ist kein Quader.
Gruss
MathePower
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das nachrechnen mit den ganzen integrallen in den forum würde gute Stude eintip arbeit geben ... stimmt das ergebniss etwa nicht?
okey dann weiss ich nicht was da für figur heraus kommt wenn kein quader bzw Würfel?!
Also hier die mal zwischen schritte erstes integral integriert =z ---> grenzen eingesetzt und integriert [mm] 3y-xy-y^2/2--->grenzen [/mm] eingesetzt und Integriert [mm] x^3/6+(9x)/2 [/mm] --->grenzen eingesetzt ---> 18
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Hallo black_jaguar,
> das nachrechnen mit den ganzen integrallen in den forum
> würde gute Stude eintip arbeit geben ... stimmt das
> ergebniss etwa nicht?
>
Ja, Dein Ergebnis stimmt nicht.
> okey dann weiss ich nicht was da für figur heraus kommt
> wenn kein quader bzw Würfel?!
>
Wenn Du das Integrationsgebiet skizziert hättest,
dann wüßtest Du um welche Figur es sich handelt.
Gruss
MathePower
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Also ich hab die Frage oben überarbeitet, da sind nun paar zwishenergebnisse
Aber noch mal zur c) WolframAlpha meinte es kommt eine Ebene heraus ... aber ich schafe es immer noch nicht sollche dinger zu skizieren!?
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%2By%2Bz%3D3
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Hallo black_jaguar,
> Also ich hab die Frage oben überarbeitet, da sind nun paar
> zwishenergebnisse
>
Bei Deiner letzten Integration hast Du den vergessen den linearen Term zu integrieren.
> Aber noch mal zur c) WolframAlpha meinte es kommt eine
> Ebene heraus ... aber ich schafe es immer noch nicht
> sollche dinger zu skizieren!?
>
Diese Ebene schneide dei Koordinatenebenen in 3 Punkten.
Wenn Du diese Punkte erhältst Du das sogenannte Spurdreieck.
Verbindest Du jeden Eckpunkt dieses Spurdreiecks mit dem Urpsung,
so erhältst Du die gesuchte geometrische Figur.
> http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%2By%2Bz%3D3
Gruss
MathePower
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-rechne gleich noch mal nach, rechen fehler sind nicht so schlimm, haupsache man versteht das Thema
Also das Spurdreieck kenn ich nicht und es brigt auch die Artikel die ich in google finde mich nicht weiter
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:01 Fr 16.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
eine ebene, die nicht parallel zu einer der koordinatenebenen ist schneidet alle 3 Achsen verbindet man diese punkte ergibt sich ein Dreieck, das in der Ebene liegt. dadurch kann man sich die Ebene leicht veranschaulichen.
gruss leduart
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