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| Aufgabe | Bestimme das Taylorpolynom [mm] T_{a,k}: \IR^2 ->\IR,
[/mm]
v-> [mm] \summe_{|p| \le k} \bruch{D^pf(a)}{p!} *v^p [/mm]
dritter Ordnung k am Entwicklungspunkt a =(e,1) (e ist hierbei die Eulersche Zahl 2,718...) für die Funktion
[mm] f:(\IR^+)^2 [/mm] -> [mm] \IR, [/mm] (x,y) -> [mm] f(x,y):=x^y [/mm] |
Hallo an alle!
Ich habe eine Frage zur Taylorapproximation. Ich weiß so grundsätzlich wie man das ausrechnet, nur bei den Thermen
[mm] \bruch{\partial f(a)}{\partial y \partial x}
[/mm]
und ähnlichen, weiß ich nicht, wie ich sie berechnen soll;
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] = [mm] y*x^{y-1}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y} [/mm] = [mm] x^y*ln(x)
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x \partial y} [/mm] = [mm] x^{y-1}*ln(x)*y+x^{y-1}
[/mm]
Wie komme ich auf so eine Form?
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Hallo,
schreibe:
[mm] $$x^y=e^{y*\ln(x)}$$
[/mm]
und berechne die partiellen Ableitungen nach den bekannten Regeln.
$ [mm] \bruch{\partial f}{\partial x \partial y} [/mm] $ bezeichnet die partielle Ableitung zuerst nach y und dann nach x.
Die Reihenfolge ist allerdings nach Schwarz bei stetigen Funktionen egal.
Gruß Patrick
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Danke dafür, aber der Tipp bringt mich kein Stück weiter;
also wie ich auf die einzelnen partiellen ableitungen komme, weiß ich ja, mir machen nur die zusammengesetzten Therme probleme; Brauche ich für
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x \partial y} [/mm] die ersten partiellen Ableitungen von x und y? Wenn ja was mache ich damit?
Gruß
Chrissi
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Hallo Christina,
> Danke dafür, aber der Tipp bringt mich kein Stück weiter;
> also wie ich auf die einzelnen partiellen ableitungen
> komme, weiß ich ja, mir machen nur die zusammengesetzten
> Therme probleme; Brauche ich für
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x \partial y}[/mm] die ersten
> partiellen Ableitungen von x und y? Wenn ja was mache ich
> damit?
Die musst du gem. der Formel einsetzen.
Am besten schreibst du dir mal die Summe bis $k=3$, die du aufstellen sollst, hin. Das klärt mehr als 1000 Worte und ist eine gute Übung, um die Formel zu verstehen.
Was die Multiindizes und deren Verständnis angeht, solltest du in dein Skript oder auf diese ![[]](/images/popup.gif) Wikipediaseite schauen.
Dort ist die Taylorformel im Mehrdimensionalen ganz gut erklärt und auch, wie man die "Zeichen liest" 
Also geh's mal an. Dabei lernst du das besser als wenn es dir jemand hinschreibt.
Wenn du die Formel ausgeschrieben vor dir stehen hast, ist der Rest puppi
>
> Gruß
> Chrissi
LG
schachuzipus
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Danke für die Tipps, ich habs jetz endlich kapiert;
nur noch ne kleine Frage ist es bei
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x^2 \partial y}
[/mm]
auch egal nach was ich zuerst ableite?
gruß
chrissi
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Hallo chrissi2709,
> Danke für die Tipps, ich habs jetz endlich kapiert;
> nur noch ne kleine Frage ist es bei
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x^2 \partial y}[/mm]
> auch egal nach
> was ich zuerst ableite?
Das kannst Du nur machen, wenn
[mm]\bruch{\partial f}{\partial x^2 \partial y}[/mm]
existiert und stetig ist.
>
> gruß
> chrissi
Gruss
MathePower
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> > nur noch ne kleine Frage ist es bei
> > [mm]\bruch{\partial f}{\partial x^2 \partial y}[/mm]
> > auch egal nach was ich zuerst ableite?
>
> Das kannst Du nur machen, wenn
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x^2 \partial y}[/mm]
>
> existiert und stetig ist.
dies darf man jedoch beim vorliegenden Beispiel
[mm] f(x,y)=x^y [/mm] in der Umgebung des Entwicklungspunktes
$\ a=(e,1)$ ohne weiteres annehmen !
LG Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:14 Do 17.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x \partial y}[/mm] bezeichnet die
> partielle Ableitung zuerst nach y und dann nach x.
> Die Reihenfolge ist allerdings nach Schwarz bei stetigen
> Funktionen egal.
Du meinst wohl 2-mal stetig differenzierbare Funktionen
FRED
>
> Gruß Patrick
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