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Forum "Lineare Gleichungssysteme" - Mehrdeutige Lösbarkeit
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Mehrdeutige Lösbarkeit: Darstellung der Lösung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:33 So 08.07.2012
Autor: Ulli69

Aufgabe
Gesucht ist die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems.

[mm] \pmat{ 4 & -7 & 5 & -1 \\ 2 & 3 & 2 & 1 \\ -2 & 4 & -3 & 2}*\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}} [/mm]  = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm]

Hallo!


Zuerst habe ich den Rang der Koeffizientenmatrix bestimmt. (Rang = 3)
Anschließend habe ich den Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix bestimmt, um zu sehen, ob das Gleichungssystem lösbar ist und bin dabei auch auf Rang 3 gekommen.

Allerdings ist die Anzahl der Variablen größer als die Anzahl der Gleichungen, was mich zu dem Entschluss gebracht hat, dass das Gleichungssystem mehrdeutig lösbar ist.

Nun meine Frage:
Ist das dann schon die Antwort auf die Lösungsmenge oder muss ich die noch bestimmen?
Und wenn ja: wie gehe ich dabei vor?


Ulli



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Mehrdeutige Lösbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:45 So 08.07.2012
Autor: MathePower

Hallo Ulli69,


[willkommenmr]


> Gesucht ist die Lösungsmenge des folgenden
> Gleichungssystems.
>  
> [mm]\pmat{ 4 & -7 & 5 & -1 \\ 2 & 3 & 2 & 1 \\ -2 & 4 & -3 & 2}*\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}}[/mm]
>  = [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>  Hallo!
>  
>
> Zuerst habe ich den Rang der Koeffizientenmatrix bestimmt.
> (Rang = 3)
>  Anschließend habe ich den Rang der erweiterten
> Koeffizientenmatrix bestimmt, um zu sehen, ob das
> Gleichungssystem lösbar ist und bin dabei auch auf Rang 3
> gekommen.
>  
> Allerdings ist die Anzahl der Variablen größer als die
> Anzahl der Gleichungen, was mich zu dem Entschluss gebracht
> hat, dass das Gleichungssystem mehrdeutig lösbar ist.
>  
> Nun meine Frage:
>  Ist das dann schon die Antwort auf die Lösungsmenge oder
> muss ich die noch bestimmen?


Die Lösungsmenge musst Du noch bestimmen.


>  Und wenn ja: wie gehe ich dabei vor?
>  


Siehe hier:Gauß-Algorithmus


>
> Ulli
>  
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Mehrdeutige Lösbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:36 So 08.07.2012
Autor: Ulli69

Vielen Dank für die schnelle Antwort!

Ich habe den Gauß- Algorithmus auch angewandt bis ich die Dreiecksgestalt gebildet habe:

[mm] \pmat{ 2 & 3 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 7 & -1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & -6 & 18 & -1 } [/mm]

Bleiben dann [mm] x_{3} [/mm] und [mm] x_{4} [/mm] voneinander abhängig und sodass ich dann damit in die oberen Gleichungen reingehe um [mm] x_{2} [/mm] und [mm] x_{1} [/mm] zu bestimmen?

Grüße

Ulli

Bezug
                        
Bezug
Mehrdeutige Lösbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:41 So 08.07.2012
Autor: Steffi21

Hallo, wähle [mm] x_4=p [/mm] ein frei wählbarer Parameter, mit der 3. Zeile kannst du dann [mm] x_3, [/mm] mit der 2. Zeile [mm] x_2 [/mm] und mit der 1. Zeile [mm] x_1 [/mm] berechnen, Steffi

Bezug
        
Bezug
Mehrdeutige Lösbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:36 So 08.07.2012
Autor: Steffi21

Hallo, du hast die Frage wieder auf unbeantwortet gestellt, was wir sehr ungern sehen, eigene Gedanken von dir sind schon wünschenswert, ich gebe dir mal einen Ansatz

[mm] \pmat{ 4 & -7 & 5 & -1 & 0 \\ 2 & 3 & 2 & 1 & 1 \\ -2 & 4 & -3 & 2 & 0} [/mm]

bilde eine neue 2. Zeile: Zeile 1 minus 2 mal Zeile 2
bilde eine neue 3. Zeile: Zeile 1 plus 2 mal Zeile 3

[mm] \pmat{ 4 & -7 & 5 & -1 & 0 \\ 0 & -13 & 1 & -3 & -2 \\ 0 & 1 & -1 & 3 & 0} [/mm]

nun bist du dran

Steffi



Bezug
                
Bezug
Mehrdeutige Lösbarkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:43 So 08.07.2012
Autor: Ulli69

Okay, super dann weiß ich jetzt Bescheid, hätte ich eig auch von alleine drauf kommen können ;)

Danke!!!

Viele Grüße

Bezug
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