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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:27 Di 30.10.2007 | | Autor: | Kyrill |
| Aufgabe | 1. Bestimmen Sie alle Untergruppen von [mm] S_{3}, [/mm] der symmetrischen Gruppe von {1,2,3}. Welche davon sind Normalteiler?
2. Bestimmen Sie alle Faktorgruppen von [mm] S_{3} [/mm] |
Hallo,
Zu Nummer 1 habe ich gesagt bekommen, dass es wohl die alternierende Gruppe [mm] A_{3} [/mm] ist.
Wobei [mm] A_{3} [/mm] = { id; (1,2,3); (1,3,2)}
Jetzt weiß ich leider nur nicht warum? Kannmir das bitte jemand erklären?
Bei Nummer 2 verstehe ich schon gar nicht genau, was eine Faktorgruppe ist. Wir hatten da in der Vorlesung ein Schaubild, was ich so gar nicht verstanden habe.
Schoneinmal danke im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:28 Di 30.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo Kyrill,
> 1. Bestimmen Sie alle Untergruppen von [mm]S_{3},[/mm] der
> symmetrischen Gruppe von {1,2,3}. Welche davon sind
> Normalteiler?
> 2. Bestimmen Sie alle Faktorgruppen von [mm]S_{3}[/mm]
> Hallo,
>
> Zu Nummer 1 habe ich gesagt bekommen, dass es wohl die
> alternierende Gruppe [mm]A_{3}[/mm] ist.
> Wobei [mm]A_{3}[/mm] = { id; (1,2,3); (1,3,2)}
> Jetzt weiß ich leider nur nicht warum? Kannmir das bitte
> jemand erklären?
Mach dir doch einfach mal eine Liste aller Elemente von [mm] $S_3$
[/mm]
Das sind ja nur 6. Dann nimm dir alle Elemente nacheinander vor und verknüpfe sie mit sich selbst, 2 mal, 3 mal ,...
so lange bis die Identität herauskommt. Damit hast du schonmal alle zyklischen Untergruppen.
Die Verknüpfung ist hier die Komposition von Abbildungen.
Tipp: Jede Untergruppe hat Mächtigkeit 1,2,3 oder 6
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> Bei Nummer 2 verstehe ich schon gar nicht genau, was eine
> Faktorgruppe ist. Wir hatten da in der Vorlesung ein
> Schaubild, was ich so gar nicht verstanden habe.
Normalteiler sind Untergruppen für die Links- und Rechtsnebenklassen übereinstimmen.
Zu jedem Normalteiler kann man eine Faktorgruppe bilden, indem man einfach die Menge der Links- (oder REchts- das ist ja egal) Nebenklassen betrachtet.
Gruß
Will
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Hallo,
ich habe eine Rückfrage zu den zyklischen Untergruppen, die mir schon seit Anfang an Probleme bereiten.
Ist die zyklische Gruppe zu einem Element aus $ [mm] S_{3}, [/mm] $, nehmen wir z.B. (1,3,2) einfach [mm] (1,3,2)^{n}, [/mm] oder muss ich für n eine konkrete Zahl einsetzen, also je nachdem wie oft ich das Element mit sich selbst verknüpfen muss, bis wieder die Identität rauskommt?
Ich hoffe meine Frage macht Sinn, aber zyklische Untergruppen sind echt nicht meins.
Danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:20 Do 01.11.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo,
eine zyklische (Unter-)gruppe ist schlicht eine (Unter-)gruppe, die durch ein einzelnes Element erzeugt wird, indem dieses Element wiederholt mit sich selbst verknüpft wird.
Die von dir genannte vom Zykel $<1, 3, 2 >$ erzeugte zyklische Untergruppe
ist also die endliche Menge $U := [mm] \{<1, 3, 2>^n \mid n \in \IN\}.$
[/mm]
Da sie so klein ist, schreibe ich sie auf:
1.) id
2.) <1, 3, 2>
3.) <1, 2, 3>
Gruß
Will
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Jetzt hab ich's verstanden. Danke!!
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Hallo,
[mm] S_3 [/mm] hat also zwei untergruppen
(123) und {(12),(13),(23)}
Um die Normalteiler herauszubekommen, muss ich doch die beiden untergruppen jeweils mit den elementen aus [mm] S_3 [/mm] verknüpfen und dann schauen, ob sie kommutieren. Aber irgendwie scheint es nicht zu klappen, ich finde keine normalteiler? :( ich finde nur gegenbeispiele...
(123) ist kein normalteiler, denn z.B [mm] (123)(12)=(1)(23)\not=(12)(123)
[/mm]
(12) auch nicht , denn [mm] (12)(13)=(12)(31)\not=(13)(12)
[/mm]
(13) auch nicht , denn (13)(12)=(13)(21)...
( 23) auch nicht, denn (23)(12)=(13)(23)...
oder mache ich was falsch?
lg wm
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:05 Mo 16.06.2008 | | Autor: | Vreni |
> Hallo,
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> [mm]S_3[/mm] hat also zwei untergruppen
> (123) und {(12),(13),(23)}
>
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Eine Untergruppe muss auf jeden Fall die Identität (id) und zu jedem Gruppenelement die Inverse enthalten, und wenn du zwei Untergruppenelemente miteinander verknüpft, muss ein Element derselben Untergruppe herauskommen.
Deine Mengen sind alles keine Untergruppen, denn z.b. [mm] (123)(123)=(132)=(123)^{-1} \not\in [/mm] {(123)}
(12)(13)=(132) [mm] \not\in [/mm] {(12), (13), (23)}
Wie du wissen solltest (steht auch schon irgendwo oben) kann [mm] S_3 [/mm] nur Untergruppen mit 1,2,3 oder 6 Elementen besitzen. Die Untergruppe mit 6 Elementen ist [mm] S_3 [/mm] selber, die mit einem ist {id}.
Um die Restlichen Gruppen zu finden schau dir doch mal alle Elemente in [mm] S_3 [/mm] einzeln an, überleg dir die jeweilige Inverse (die muss ja auch in der Gruppe liegen) und schau mal, ob die Untergruppeneigenschaften erfüllt bleiben, wenn du noch weitere Elemente dazunimmst.
> Um die Normalteiler herauszubekommen, muss ich doch die
> beiden untergruppen jeweils mit den elementen aus [mm]S_3[/mm]
> verknüpfen und dann schauen, ob sie kommutieren.
Nicht ganz. Wenn U ein [mm] \red{Normalteiler} [/mm] ist, dann muss für jedes Element [mm] g\in S_3 [/mm] gelten: [mm] g*u_1=u_2*g, [/mm] und [mm] u_1, u_2 \in [/mm] U, aber [mm] u_1 [/mm] und [mm] u_2 [/mm] müssen nicht dieselben sein, sie müssen nur beide aus U sein.
Man schreibt das auch so: [mm] g*u_1*g^{-1}\in [/mm] U für alle [mm] u_1 \in [/mm] U
Wenn du schon gezeigt hast, dass U eine Untergruppe ist, musst du dir sogar nur noch die g aus [mm] S_3 [/mm] ohne U anschauen, denn da U abgeschlossen ist, gilt automatisch: [mm] u_2*u_1*u_2^{-1} \in [/mm] U
Gruß,
Vreni
>Aber
> irgendwie scheint es nicht zu klappen, ich finde keine
> normalteiler? :( ich finde nur gegenbeispiele...
> (123) ist kein normalteiler, denn z.B
> [mm](123)(12)=(1)(23)\not=(12)(123)[/mm]
> (12) auch nicht , denn [mm](12)(13)=(12)(31)\not=(13)(12)[/mm]
> (13) auch nicht , denn (13)(12)=(13)(21)...
> ( 23) auch nicht, denn (23)(12)=(13)(23)...
>
> oder mache ich was falsch?
>
> lg wm
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