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Mega Aufgabe (matrizen eigenve: tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:54 Di 17.12.2013
Autor: arbeitsamt

Aufgabe
Keine Panik ich habe eine Frage zur Aufgabe b)


Eine Fabrik bestehe aus n Produktionsabteilungen, die n verschiedene Produkte [mm] P_1; [/mm] : : : ; [mm] P_n [/mm] herstellen.
Diese werden zum Teil in der Produktion selbst wieder verbraucht, der Rest steht zum Verkauf zur Verfügung (Output). Zur Herstellung der Produkte werden m Rohstoffe [mm] R_1; [/mm] : : : [mm] ;R_m [/mm] eingesetzt (Input).
In der Produktverteilungsmatrix P [mm] \in R^{nxn} [/mm] bedeutet der Eintrag p_ij die Mengeneinheiten des
Produkts [mm] P_i, [/mm] die zur Herstellung einer Einheit [mm] P_j [/mm] verbraucht werden. Beispielsweise bedeuten
die Einträge p_i1 der ersten Spalte, wie viele der jeweiligen Produkte [mm] P_1; [/mm] : : : ; [mm] P_n [/mm] benötigt werden,
um eine Mengeneinheit P1 herzustellen.
In der Rohstoffverteilungsmatrix R [mm] \in R^{mxn} [/mm] steht der Eintrag r_ij für die Mengeneinheiten des Rohstoffs [mm] R_i, [/mm] die zur Produktion einer Einheit [mm] P_j [/mm] benötigt werden. Die Mengen [mm] g_i, [/mm] die an Pi produziert werden, sind im Gesamtproduktionsvektor g [mm] \in [/mm] Rn zusammengefasst,
die Mengen [mm] v_i [/mm] an verkauften Pi im Verkaufsvektor v [mm] \in R_n [/mm] und die Mengen [mm] r_i [/mm] der benötigten Rohstoffe [mm] R_i [/mm] im Rohstoffvektor r [mm] \in R_m. [/mm]

a) Leiten Sie – inkl. Begründung – die Beziehungen

g = Pg + v und r = Rg

her, die Gesamtproduktion g und Verkauf v sowie Rohstoffverbrauch r und Gesamtproduktion g in Beziehung setzen.
Welche Bedingung muss P erfüllen, damit jeder vorgebene Output v befriedigt werden kann, sofern man annimmt, dass der Input r beliebig groß sein kann? Welche Bedingung muss R erfüllen, wenn man umgekehrt die Rohstoffmengen ri vorgeben möchte?

b) Betrachten Sie ein Unternehmen mit drei Produkten, die aus drei Rohstoffen hergestellt werden, wobei Produkt- und Rohstoffverteilung durch

P= [mm] \pmat{ 0,5 & 0 & 0,1 \\ 0& 0,8 & 0,2 \\ 0,1 & 0 & 0,8 } [/mm]

R= [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0,3 \\ 0,3 & 0,2 & 1 \\ 1,2 & 1 & 0,2 } [/mm]


i) Welche Nachfrage v kann befriedigt werden, wenn die Gesamtproduktion (bei voller
Auslastung) durch g = (40; 100; [mm] 50)^T [/mm] gegeben ist? Welcher Rohstoffverbrauch r fällt dabei an?

ii) Durch Marktforschung wurde der Verkaufsvektor v = (30; 18; [mm] 12)^T [/mm] ermittelt. Welche
Gesamtproduktion g ist nötig, um diese Nachfrage zu befriedigen? Welcher Rohstoffverbrauch r fällt hier an?
Hinweis: Die Berechnung einer Inversen ist hier nicht nötig.

iii) Nun sei der Input r = (198; 99; [mm] 198)^T [/mm] vorgegeben. Welche Gesamtproduktion g und welcher Output v lassen sich damit erzielen?


Kann ich für aufgabe bi) die gegebene Beziehung benutzen?

g = Pg + v

v= g-Pg

v= [mm] \vektor{40 \\ 100 \\ 50}- \pmat{ 0,5 & 0 & 0,1 \\ 0& 0,8 & 0,2 \\ 0,1 & 0 & 0,8 }*\vektor{40 \\ 100 \\ 50} [/mm]


löst man so die Aufgabe?


        
Bezug
Mega Aufgabe (matrizen eigenve: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:14 Di 17.12.2013
Autor: meili

Hallo,
> Keine Panik ich habe eine Frage zur Aufgabe b)
>  
>
> Eine Fabrik bestehe aus n Produktionsabteilungen, die n
> verschiedene Produkte [mm]P_1;[/mm] : : : ; [mm]P_n[/mm] herstellen.
>  Diese werden zum Teil in der Produktion selbst wieder
> verbraucht, der Rest steht zum Verkauf zur Verfügung
> (Output). Zur Herstellung der Produkte werden m Rohstoffe
> [mm]R_1;[/mm] : : : [mm];R_m[/mm] eingesetzt (Input).
>  In der Produktverteilungsmatrix P [mm]\in R^{nxn}[/mm] bedeutet
> der Eintrag p_ij die Mengeneinheiten des
>  Produkts [mm]P_i,[/mm] die zur Herstellung einer Einheit [mm]P_j[/mm]
> verbraucht werden. Beispielsweise bedeuten
>  die Einträge p_i1 der ersten Spalte, wie viele der
> jeweiligen Produkte [mm]P_1;[/mm] : : : ; [mm]P_n[/mm] benötigt werden,
>  um eine Mengeneinheit P1 herzustellen.
>  In der Rohstoffverteilungsmatrix R [mm]\in R^{mxn}[/mm] steht der
> Eintrag r_ij für die Mengeneinheiten des Rohstoffs [mm]R_i,[/mm]
> die zur Produktion einer Einheit [mm]P_j[/mm] benötigt werden. Die
> Mengen [mm]g_i,[/mm] die an Pi produziert werden, sind im
> Gesamtproduktionsvektor g [mm]\in[/mm] Rn zusammengefasst,
>  die Mengen [mm]v_i[/mm] an verkauften Pi im Verkaufsvektor v [mm]\in R_n[/mm]
> und die Mengen [mm]r_i[/mm] der benötigten Rohstoffe [mm]R_i[/mm] im
> Rohstoffvektor r [mm]\in R_m.[/mm]
>  
> a) Leiten Sie – inkl. Begründung – die Beziehungen
>  
> g = Pg + v und r = Rg
>  
> her, die Gesamtproduktion g und Verkauf v sowie
> Rohstoffverbrauch r und Gesamtproduktion g in Beziehung
> setzen.
>  Welche Bedingung muss P erfüllen, damit jeder vorgebene
> Output v befriedigt werden kann, sofern man annimmt, dass
> der Input r beliebig groß sein kann? Welche Bedingung muss
> R erfüllen, wenn man umgekehrt die Rohstoffmengen ri
> vorgeben möchte?
>  
> b) Betrachten Sie ein Unternehmen mit drei Produkten, die
> aus drei Rohstoffen hergestellt werden, wobei Produkt- und
> Rohstoffverteilung durch
>  
> P= [mm]\pmat{ 0,5 & 0 & 0,1 \\ 0& 0,8 & 0,2 \\ 0,1 & 0 & 0,8 }[/mm]
>  
> R= [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0,3 \\ 0,3 & 0,2 & 1 \\ 1,2 & 1 & 0,2 }[/mm]
>  
>
> i) Welche Nachfrage v kann befriedigt werden, wenn die
> Gesamtproduktion (bei voller
>  Auslastung) durch g = (40; 100; [mm]50)^T[/mm] gegeben ist? Welcher
> Rohstoffverbrauch r fällt dabei an?
>  
> ii) Durch Marktforschung wurde der Verkaufsvektor v = (30;
> 18; [mm]12)^T[/mm] ermittelt. Welche
>  Gesamtproduktion g ist nötig, um diese Nachfrage zu
> befriedigen? Welcher Rohstoffverbrauch r fällt hier an?
>  Hinweis: Die Berechnung einer Inversen ist hier nicht
> nötig.
>  
> iii) Nun sei der Input r = (198; 99; [mm]198)^T[/mm] vorgegeben.
> Welche Gesamtproduktion g und welcher Output v lassen sich
> damit erzielen?
>  
> Kann ich für aufgabe bi) die gegebene Beziehung benutzen?
>  
> g = Pg + v
>  
> v= g-Pg
>  
> v= [mm]\vektor{40 \\ 100 \\ 50}- \pmat{ 0,5 & 0 & 0,1 \\ 0& 0,8 & 0,2 \\ 0,1 & 0 & 0,8 }*\vektor{40 \\ 100 \\ 50}[/mm]
>  
>
> löst man so die Aufgabe?
>  

[ok]
Ja.

Gruß
meili

Bezug
                
Bezug
Mega Aufgabe (matrizen eigenve: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:49 Di 17.12.2013
Autor: arbeitsamt

ok danke. habe es bi gelöst

bei bii) ist v  und P sind gegeben und ich soll g bestimmen mit der gleichung

g = Pg + v

kann ich das so machen?

g-Pg=v

g(1-P)=v

g= [mm] \bruch{v}{(1-P)} [/mm]

so kann ich das nicht machen oder? weil man mit eine matrix nicht teilen kann soweit ich weiß. wie löst man hier die aufgabe?

Bezug
                        
Bezug
Mega Aufgabe (matrizen eigenve: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:19 Di 17.12.2013
Autor: meili

Hallo,
> ok danke. habe es bi gelöst
>  
> bei bii) ist v  und P sind gegeben und ich soll g bestimmen
> mit der gleichung
>  
> g = Pg + v
>
> kann ich das so machen?
>  
> g-Pg=v

[ok]

>  
> g(1-P)=v

Besser (E-P)*g = v schreiben mit E Einheitsmatrix. (Matrixmultiplikation
(auch mit Vektor) ist nicht kommutativ)

Hier E $= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}$ [/mm]

Jetzt entweder das lineare Gleichungssystem (E-P)*g = v für g lösen
(v gegeben, E-P lässt sich leicht berechnen)

oder die inverse Matrix [mm] $(E-P)^{-1}$ [/mm] zu E-P bestimmen.
Es ist dann $g = [mm] (E-P)^{-1}*v$. [/mm]

>  
> g= [mm]\bruch{v}{(1-P)}[/mm]
>  
> so kann ich das nicht machen oder? weil man mit eine matrix
> nicht teilen kann soweit ich weiß. wie löst man hier die
> aufgabe?

Gruß
meili

Bezug
                                
Bezug
Mega Aufgabe (matrizen eigenve: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:30 Di 17.12.2013
Autor: arbeitsamt

danke, aber noch eine frage zum verständnis:


>  Besser (E-P)*g = v schreiben mit E Einheitsmatrix.
> (Matrixmultiplikation
> (auch mit Vektor) ist nicht kommutativ)

wie kommst du auf die einheitsmatrix?



Bezug
                                        
Bezug
Mega Aufgabe (matrizen eigenve: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:51 Di 17.12.2013
Autor: DieAcht

$P$ ist eine Matrix - genauer eine [mm] 3\times3 [/mm] Matrix - und $1-P$ ist schlecht.

Also benötigst du [mm] §E=E_3=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }, [/mm] sodass du ausrechnen kannst:

[mm] \Rightarrow E-P=E_3-P=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }-P=\ldots [/mm]

DieAcht

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