Maximum und Minimum < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:42 Di 15.07.2014 | | Autor: | Qight |
| Aufgabe | i) Seien [mm] a_1 [/mm] , ... , [mm] a_n \in \IR [/mm] . Bestimmen Sie x [mm] \in \IR [/mm] so, dass [mm] f(x)=\summe_{i=1}^{n}(a_i - x)^2 [/mm] minimal wird.
ii) Sei a [mm] \in \IR [/mm] . Bestimmen Sie x, y [mm] \in \IR [/mm] mit [mm] x + y = a [/mm] so, dass [mm] x*y [/mm] maximal wird. |
i) Habe da noch keine Idee, erinnert mich aber an Aufgaben zu Mittelwerten. Irre mich darin aber vielleicht.
ii) Aus Intuition war mir irgendwie schon klar, dass für die Hälfte der Summe das Produkt immer maximal wird. Wie gesagt ist in erster Linie nur eine Vermutung.
Mein Ansatz:
Es gilt:
[mm] x + y = a \gdw y = a - x [/mm]
Sei
[mm] f(x) := x * y \gdw f(x) = x * (a - x)[/mm]
Um die Extremum zu bestimmen differenzieren:
[mm] f'(x) = -2x + a [/mm]
Nun
[mm] f'(x) = 0 \gdw 0 = -2x + a \gdw x = \bruch{1}{2}a[/mm]
Das würde meine Vermutung bestätigen, natürlich ist die Frage ob das überhaupt der richtige Ansatz ist. Habe das auch mal mit verschiedenen Werten in [mm] \IR [/mm] geprüft, das ist natürlich kein Beweis, wollte damit nur nach einen möglichen Gegenbeispiel suchen.
Habe keins gefunden. Stimmt das also?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:52 Di 15.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> i) Seien [mm]a_1[/mm] , ... , [mm]a_n \in \IR[/mm] . Bestimmen Sie x [mm]\in \IR[/mm]
> so, dass [mm]f(x)=\summe_{i=1}^{n}(a_i - x)^2[/mm] minimal wird.
> ii) Sei a [mm]\in \IR[/mm] . Bestimmen Sie x, y [mm]\in \IR[/mm] mit [mm]x + y = a[/mm]
> so, dass [mm]x*y[/mm] maximal wird.
> i) Habe da noch keine Idee,
Wie hast Du sowas in der Schule gemacht ??????
> erinnert mich aber an Aufgaben
> zu Mittelwerten. Irre mich darin aber vielleicht.
>
> ii) Aus Intuition war mir irgendwie schon klar, dass für
> die Hälfte der Summe das Produkt immer maximal wird. Wie
> gesagt ist in erster Linie nur eine Vermutung.
>
> Mein Ansatz:
>
> Es gilt:
>
> [mm]x + y = a \gdw y = a - x[/mm]
>
> Sei
>
> [mm]f(x) := x * y \gdw f(x) = x * (a - x)[/mm]
>
> Um die Extremum zu bestimmen differenzieren:
>
> [mm]f'(x) = -2x + a[/mm]
>
> Nun
>
> [mm]f'(x) = 0 \gdw 0 = -2x + a \gdw x = \bruch{1}{2}a[/mm]
>
> Das würde meine Vermutung bestätigen, natürlich ist die
> Frage ob das überhaupt der richtige Ansatz ist.
Ja, genau so macht man das !
FRED
> Habe das
> auch mal mit verschiedenen Werten in [mm]\IR[/mm] geprüft, das ist
> natürlich kein Beweis, wollte damit nur nach einen
> möglichen Gegenbeispiel suchen.
> Habe keins gefunden. Stimmt das also?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:58 Di 15.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> i) Seien [mm]a_1[/mm] , ... , [mm]a_n \in \IR[/mm] . Bestimmen Sie x [mm]\in \IR[/mm]
> so, dass [mm]f(x)=\summe_{i=1}^{n}(a_i - x)^2[/mm] minimal wird.
> ii) Sei a [mm]\in \IR[/mm] . Bestimmen Sie x, y [mm]\in \IR[/mm] mit [mm]x + y = a[/mm]
> so, dass [mm]x*y[/mm] maximal wird.
> i) Habe da noch keine Idee, erinnert mich aber an Aufgaben
> zu Mittelwerten. Irre mich darin aber vielleicht.
die [mm] $a_1,...,a_n$ [/mm] sind konstant (Parameter). Um's noch mal hervorzuheben, was
Fred Dir sagt:
Wie sieht denn [mm] $f\,'(x)$ [/mm] aus? Der Rest ist Dir (eigentlich) klar... (Im Prinzip
machst Du beim zweiten Teil der Aufgabe auch das, was Du beim ersten
machen solltest. Und witzigerweise ist der zweite Teil "eigentlich" der
etwas unübersichtlichere...)
P.S. Wenn Du Lust hast, schreibe Dir den ersten Teil mal für fest gewählte
Werte hin:
$n:=3,$ [mm] $a_1:=2,$ $a_2:=\pi$ [/mm] und [mm] $a_3:=-7\,.$
[/mm]
Und dann schau nochmal, wie die Frage für dieses Beispiel lauten würde
und was Du tun würdest...
P.P.S. Summen- und Kettenregel der Differentialrechnung beachten und
verwenden!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 Di 15.07.2014 | | Autor: | Qight |
Okay habe mich mal genauer damit beschäftigt. Habe zwei Ideen:
1) [mm] a_n [/mm] , x, y [mm] \in \IR [/mm] .
[mm] f(x) = \summe_{i=1}^{n} (a_i -x)^{2} = \summe_{i=1}^{n} (a_i^{2}-2*a_ix+x^{2} [/mm]
[mm] f'(x) = \summe_{i=1}^{n} -2a_i+2x [/mm]
[mm] f'(x) = 0 \gdw 0 = \summe_{i=1}^{n} -2a_i+2x [/mm]
[mm] \gdw x = \summe_{i=1}^{n} a_i [/mm]
[mm] f''(x) = 2 [/mm]
Damit wäre für x = [mm] a_1 [/mm] , .. , [mm] a_n [/mm] f(x) minimal.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 Di 15.07.2014 | | Autor: | Qight |
Hallo,
Danke für die schnelle Antwort. War den am Ende bei mir was falsch?
[mm] f'(x) = 0 \gdw 0 = \summe_{i=1}^{n} (-2a_i+2x) [/mm] [mm] |:2 [/mm]
[mm] \gdw 0 = \summe_{i=1}^{n}(-a_i+x) [/mm]
[mm] \gdw x = a [/mm]
Sehe da wirklich keinen Fehler.
Zu ii) eigentlich würde ich noch zeigen, dass es sich hierbei mit der zweiten Ableitung um einen Hochpunkt handelt. Da im inneren kein weiterer HP ist und man keine festen Enden hat, da [mm] \IR [/mm] ,muss es sich um das Maximum handeln.
Das müsste es doch gewesen sein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:00 Di 15.07.2014 | | Autor: | chrisno |
> Hallo,
>
> Danke für die schnelle Antwort. War den am Ende bei mir
> was falsch?
>
> [mm]f'(x) = 0 \gdw 0 = \summe_{i=1}^{n} (-2a_i+2x) [/mm] [mm]|:2[/mm]
>
> [mm]\gdw 0 = \summe_{i=1}^{n}(-a_i+x)[/mm]
> [mm]\gdw x = a[/mm]
>
> Sehe da wirklich keinen Fehler.
Setze zum Finden des Fehlers n = 3 und schreibe dann die Summe aus.
>
> Zu ii) eigentlich würde ich noch zeigen, dass es sich
> hierbei mit der zweiten Ableitung um einen Hochpunkt
> handelt. Da im inneren kein weiterer HP ist und man keine
> festen Enden hat, da [mm]\IR[/mm] ,muss es sich um das Maximum
> handeln.
> Das müsste es doch gewesen sein.
ja
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:08 Di 15.07.2014 | | Autor: | Qight |
Okay das mache ich:
[mm] (-2a_1+2x)+(-2a_2+2x)+(-2a_3+2x) [/mm]
Du meinst vermutlich, dass es nur gilt wenn x jeden Wert annimmt von [mm] a_1 [/mm] , .. , [mm] a_3 [/mm] . Das würde nur klappen wenn [mm] a_1 [/mm] = [mm] a_2 [/mm] = [mm] a_3 [/mm] . Aber wie löse ich es denn sonst?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:31 Di 15.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Okay das mache ich:
>
> [mm](-2a_1+2x)+(-2a_2+2x)+(-2a_3+2x)[/mm]
>
> Du meinst vermutlich, dass es nur gilt wenn x jeden Wert
> annimmt von [mm]a_1[/mm] , .. , [mm]a_3[/mm] . Das würde nur klappen wenn
> [mm]a_1[/mm] = [mm]a_2[/mm] = [mm]a_3[/mm] . Aber wie löse ich es denn sonst?
Die Division durch 2 vorhin war schon OK, aber deine Schlussfolgerung hat die Summe nicht berücksichtigt.
Bleiben wir beim obigen Beispiel - meinst du man kann hier noch etwas zusammenfassen?
[mm][mm] (-2a_1+2x)+(-2a_2+2x)+(-2a_3+2x)=[/mm] [mm]-2a_1+\blue{2x}-2a_2+\blue{2x}-2a_3+\blue{2x}=\ldots[/mm]
Allgemein warst du vorhin schon recht weit. Wie wäre es, die Summe aufzuteilen:
$ 0 = [mm] \summe_{i=1}^{n}(-a_i+x)=- \summe_{i=1}^{n}a_i+ \summe_{i=1}^{n}x [/mm] $
Was nun rauskommt, wenn man n-mal x summiert ist dir sicher bald klar. Deine Anfangsbemerkung, dass dich das Beispiel an die Mittelwertsberechnung erinnert war so überl nicht! 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 Di 15.07.2014 | | Autor: | Qight |
Hi,
Danke für die Hilfe auch noch bei so später Stunde. Das ich die Summe aufteilen kann hätte bei mir klingeln müssen. Nur , und das war jetzt das Problem , ist x ja eigentlich nicht an den Index gebunden sprich,
$ 0 = [mm] \summe_{i=1}^{n}(-a_i+x)=- \summe_{i=1}^{n}a_i+ \summe_{i=1}^{n}x [/mm] $
der letzte Term läuft doch prinzipiell nicht mit sondern ist ein bestimmter Wert. Deswegen habe ich mir ja gedacht, dass
[mm] \summe_{i=1}^{n} a_i = x [/mm]
Oder wird eben aus dieser Bedingung mehr oder weniger x zu [mm] x_i [/mm] . Wie gesagt stehe gerade so einwenig auf dem Schlauch.
Ich gehe mal eben von den Summen Aufteilungen aus.
Dann ist
[mm] f''(x) = \summe_{i=1}^{n} 1 > 0 [/mm] damit ich schonmal zeige, dass es sich hierbei um einen TP handelt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:55 Di 15.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Hi,
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> Danke für die Hilfe auch noch bei so später Stunde. Das
> ich die Summe aufteilen kann hätte bei mir klingeln
> müssen. Nur , und das war jetzt das Problem , ist x ja
> eigentlich nicht an den Index gebunden sprich,
>
> [mm]0 = \summe_{i=1}^{n}(-a_i+x)=- \summe_{i=1}^{n}a_i+ \summe_{i=1}^{n}x[/mm]
>
> der letzte Term läuft doch prinzipiell nicht mit sondern
> ist ein bestimmter Wert. Deswegen habe ich mir ja gedacht,
> dass
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} a_i = x[/mm]
Falsch gedacht!
[mm]\summe_{i=1}^{3}( i*x) = 1*x+2*x+3*x=6*x[/mm]
Einverstanden? Das $i$ läuft seinen Bereich durch und wenn im Summanden irgendwo ein $i$ vorkommt, sei es als Faktor, Hochzahl oder auch nur als Index, wird es durch den jeweils aktuellen Wert ersetzt. Wenn kein $i$ vorkommt gibt es aber trotzdem immer noch genau so viele Summanden, bloß muss/kann hier kein $i$ ersetzt werden - alle Summanden sind gleich!
Und jetzt ersetzen wir $i$ in den Summanden durch $1$
[mm]\summe_{i=1}^{3} x =\summe_{i=1}^{3}(1*x) = 1*x+1*x+1*x=3*x[/mm]
Na, und wenn die obere Grenze nicht $3$ sondern $n$ ist?
Gruß RMix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:24 Mi 16.07.2014 | | Autor: | Qight |
Ja, okay ich wollte nur sicher gehen das es eben nicht so klappt.
Nun ran an das Problem:
[mm] \summe_{i=1}^{n} x = \summe_{i=1}^{n} (i*x) = n*x [/mm] , mit n [mm] \in \IN
[/mm]
(i muss ja 1 sein).
Also:
[mm] 0 = \summe_{i=1}^{n} (-a_i) + n*x [/mm]
[mm] \gdw n*x = \summe_{i=1}^{n} (a_i) [/mm]
[mm] \gdw x = \bruch{1}{n} * \summe_{i=1}^{n} (a_i) [/mm]
sprich für [mm] x = \bruch{1}{n} * \summe_{i=1}^{n} (a_i) [/mm] ist der Ausdruck minimal.
Noch zu zeigen:
[mm] f''(x) = (\summe_{i=1}^{n} (-a_i) + n*x)' [/mm]
[mm] f''(x) = n > 0 [/mm]
Da keine festen Grenzen und sonst keine Extremstellen ist [mm] x = \bruch{1}{n} * \summe_{i=1}^{n} (a_i) [/mm] Minimum.
Jetzt dürfte es doch stimmen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:36 Mi 16.07.2014 | | Autor: | Herby |
Hi,
> Ja, okay ich wollte nur sicher gehen das es eben nicht so
> klappt.
> Nun ran an das Problem:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} x = \summe_{i=1}^{n} (i*x) = n*x[/mm] , mit n
> [mm]\in \IN[/mm]
>
> (i muss ja 1 sein).
edit: öhm - was meinst du denn, warum die Summe dann von i=1 ... i=n geht <-- wenn i immer 1 sein soll?
sorry, ich hatte mich gerade von deiner Darstellung irritieren lassen. Richtig wäre es ja so
[mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] x = [mm] \summe_{i=1}^{n} (\red{1}*x) [/mm] = n*x
und dann passt es.
LG
[Dateianhang nicht öffentlich] Herby
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:54 Mi 16.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Ja, okay ich wollte nur sicher gehen das es eben nicht so
> klappt.
> Nun ran an das Problem:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} x = \summe_{i=1}^{n} (i*x) = n*x[/mm] , mit n [mm]\in \IN[/mm]
>
> (i muss ja 1 sein).
Also das ist Unsinn und stimmt in dieser Schreibweise nicht.
Herby hat ohnedies schon darauf hingewiesen. $i$ ist in diesen Ausdrücken der laufende Summationsindex und du kannst nicht einfach darunter schreiben, dass $i$ (welches denn?) 1 sein soll.
Es ist
[mm] $\summe_{i=1}^{n} (i*x)=1*x+2*x+3*x+\ldots+n*x=\frac{n*(n+1)}{2}*x$
[/mm]
aber
[mm] $\summe_{i=1}^{n}x=x+x+x+\ldots+x=n*x$,
[/mm]
da ist schon ein Unterschied!
Wenn du das $i$ unbedingt im Summanden unterbringen möchtest damit du das Gefühl hast, dieser wäre abhängig vom Summationsindex, dann könntest du bestenfalls
[mm] $\summe_{i=1}^{n}x=$\summe_{i=1}^{n} (i^0*x)$
[/mm]
schreiben, wenngleich der Sinn dieser Aktion höchst hinterfragenswert wäre.
Der Rest deiner Ausführung passt aber.
>.............
> [mm]f''(x) = n > 0[/mm]
Daher sicher relatives Minimum.
>
> Da keine festen Grenzen und sonst keine Extremstellen ist [mm]x = \bruch{1}{n} * \summe_{i=1}^{n} (a_i)[/mm]
> Minimum.
Naja, du meinst, dass es deswegen auch das absolute Minimum ist, oder?
Auch wenn du keine "festen" (variabel sind sie ja auch nicht) Grenzen hast, solltest du der Ordnung halber trotzdem noch die beiden Grenzwerte [mm] $\limes_{n\rightarrow\pm\infty}f(x)$ [/mm] angeben, auch wenns trivial ist.
Gruß RMix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:54 Mi 16.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ja, okay ich wollte nur sicher gehen das es eben nicht so
> klappt.
> Nun ran an das Problem:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} x = \summe_{i=1}^{n} (i*x) = n*x[/mm] , mit n
> [mm]\in \IN[/mm]
>
> (i muss ja 1 sein).
der Kommentar ist unsinnig. [mm] $i\,$ [/mm] ist die Laufvariable. Die durchläuft die Werte
[mm] $1,...,n\,.$
[/mm]
Machen wir mal folgendes: Wir setzen [mm] $b_i:=x$ [/mm] für [mm] $i=1,...,n\,.$ [/mm] Dann
[mm] $\sum_{i=1}^n x=\sum_{i=1}^n b_i=b_1+b_2+...+b_n=x+x+...+x=n*x\,.$
[/mm]
Der Punkt ist also: In
[mm] $\sum_{i=1}^n [/mm] x$
haben die Summanden nichts mit dem Laufindex zu tun, der unter dem
Summenzeichen steht.
[mm] $\sum_{i=1}^{17}7=17*7\,,$
[/mm]
das wäre analoges...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:12 Mi 16.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ja, okay ich wollte nur sicher gehen das es eben nicht so
> klappt.
> Nun ran an das Problem:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} x = \summe_{i=1}^{n} (i*x) = n*x[/mm] , mit n
> [mm]\in \IN[/mm]
>
> (i muss ja 1 sein).
>
> Also:
>
> [mm]0 = \summe_{i=1}^{n} (-a_i) + n*x[/mm]
>
> [mm]\gdw n*x = \summe_{i=1}^{n} (a_i)[/mm]
>
> [mm]\gdw x = \bruch{1}{n} * \summe_{i=1}^{n} (a_i)[/mm]
>
> sprich für [mm]x = \bruch{1}{n} * \summe_{i=1}^{n} (a_i)[/mm] ist
> der Ausdruck minimal.
> Noch zu zeigen:
>
> [mm]f''(x) = (\summe_{i=1}^{n} (-a_i) + n*x)'[/mm]
>
> [mm]f''(x) = n > 0[/mm]
>
> Da keine festen Grenzen und sonst keine Extremstellen ist [mm]x = \bruch{1}{n} * \summe_{i=1}^{n} (a_i)[/mm]
> Minimum.
>
> Jetzt dürfte es doch stimmen?
wie rmix22 schon sagte, und es wurde ja auch schon sonst korrigierendes
gesagt, hast Du nun "relatives Minimum" berechnet.
Deine Ausgangsfunktion war
[mm] $f(x):=\sum_{i=1}^n (a_i-x)^2\,.$
[/mm]
Du bekommst übrigens mit der Kettenregel auch relativ schnell
[mm] $f'(x)=2\sum_{i=1}^n \{(a_i-x)*(-1)\}=2\sum_{i=1}^n (x-a_i)$
[/mm]
nachgerechnet.
Jetzt wollen wir noch wissen, ob dieses lokale Minimum auch global ist. Betrachte
dazu einfach mal
$f'(x)$ für $x > [mm] 1/n\sum_{i=1}^n a_i$
[/mm]
und
$f'(x)$ für $x < [mm] 1/n\sum_{i=1}^n a_i\,.$
[/mm]
Schließe daraus, welches Monotonieverhalten
[mm] $f\,$ [/mm] eingeschränkt auf [mm] $\left(-\infty;\; 1/n\sum_{i=1}^n a_i\right]$
[/mm]
und
[mm] $f\,$ [/mm] eingeschränkt auf [mm] $\left[1/n\sum_{i=1}^n a_i;\;\infty\right)$
[/mm]
hat.
Oder, was eigentlich noch einfacher ist: [mm] $1/n*f\,$ [/mm] ist eine Normalparabel, deren
Scheitelpunkt die $x$-Koordinate [mm] $1/n\sum_{i=1}^n a_i$ [/mm] hat (wenn Du willst,
dann kannst Du auch mal den zugehörigen [mm] $y\,$-Wert [/mm] ausrechnen). Es ist
offensichtlich, dass diese nach oben geöffnet ist (warum?). Fazit?
P.S. Ist Dir klar, warum Du dort nichts anderes als eine Normalparabel
untersuchst? Ist Dir damit auch klar, dass man eigentlich die ganze Aufgabe
auch lösen kann, indem man die "Scheitelpunktform" bestimmt? Man braucht
also eigentlich nicht mehr als "quadratische Ergänzung". Wenngleich natürlich
die Methoden/Ergebnisse aus der Differentialrechnung das ganze sehr
elegant machen...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:29 Mi 16.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> i) Seien [mm]a_1[/mm] , ... , [mm]a_n \in \IR[/mm] . Bestimmen Sie x [mm]\in \IR[/mm]
> so, dass [mm]f(x)=\summe_{i=1}^{n}(a_i - x)^2[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
minimal wird.
ich rechne mal ein wenig:
$f(x)=\sum_{k=1}^n (a_i-x)^2=\sum_{k=1}^n (x-a_k)^2=\sum_{k=1}^n x^2\;-\;2x\sum_{k=1}^n a_k\;+\;\sum_{k=1}^n {a_k}^2$
$=n\left\{x^2-2*x*\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n a_k\right\}+\sum_{k=1}^n {a_k}^2$
$=n\left\{\left(x-\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n a_k\right)^2-\left(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n a_k\right)^2\right\}+\sum_{k=1}^n {a_k}^2$
$=n\left(x-\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n a_k\right)^2+\sum_{k=1}^n {a_k}^2-\frac{1}{n}\left(\sum_{k=1}^n a_k\right)^2\right\}$
Kommt Dir das bekannt vor?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:41 Mi 16.07.2014 | | Autor: | Marcel |
P.S. So zur Kontrolle mal eine Visualisierung anhand eines Beispiels. Dort
habe ich
[mm] $n:=3\,$ $a_1:=1\,,$ $a_2:=2\,$ [/mm] und [mm] $a_3:=4\,$
[/mm]
gewählt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß,
Marcel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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