Maximum, Supremum < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:10 Fr 03.01.2014 | | Autor: | c1474915 |
Hallo,
wenn eine Funktion in einem bestimmten Intervall betrachtet wird und in diesem Intervall an einer Stelle unstetig ist, dann kann sie
a) an dieser Stelle kein Maximum haben,
b) sehr wohl aber der Funktionswert dieser Stelle das Supremum der Funktion in diesem Intervall sein.
Ist das so korrekt?
Mein Beispiel ist f(x)=x+2 für [mm] x\le0 [/mm] und f(x)=x für x>0
Betrachtet wird das Intervall [-1,1]
f hat dort kein Maximum aber ein Supremum bei 2. Ist das alles richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:53 Fr 03.01.2014 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
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> wenn eine Funktion in einem bestimmten Intervall betrachtet
> wird und in diesem Intervall an einer Stelle unstetig ist,
> dann kann sie
>
> a) an dieser Stelle kein Maximum haben,
>
> b) sehr wohl aber der Funktionswert dieser Stelle das
> Supremum der Funktion in diesem Intervall sein.
>
> Ist das so korrekt?
>
> Mein Beispiel ist f(x)=x+2 für [mm]x\le0[/mm] und f(x)=x für x>0
> Betrachtet wird das Intervall [-1,1]
> f hat dort kein Maximum aber ein Supremum bei 2. Ist das
> alles richtig?
Nein. Das Supremum ist nicht BEI 2 (das Interval ist nur von -1 bis 1 definiert). Es IST 2.
Die Zahl 2 ist (als größter vorkommender Funktionswert des Intervalls) selbstverständlich auch das Maximum.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:30 Fr 03.01.2014 | | Autor: | c1474915 |
Danke für deine Antwort!
> Nein. Das Supremum ist nicht BEI 2 (das Interval ist nur
> von -1 bis 1 definiert). Es IST 2.
Also würde ich mit "bei 2" aussagen, dass es an der Stelle x=2 ist, was logischerweise falsch wäre?
> Die Zahl 2 ist (als größter vorkommender Funktionswert
> des Intervalls) selbstverständlich auch das Maximum.
> Gruß Abakus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:09 Sa 04.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
ja, genau so ist es.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:15 Sa 04.01.2014 | | Autor: | c1474915 |
Vielen Dank für eure Erklärungen!
Ich habe ein zweites Beispiel:
f=|x + 2|- 2 H[x - 2]
Durch die Definition der Heaviside-Funktion hat die Funktion an der Stelle x=2 den Wert 2.
Wenn ich nun die Funktion
1. Im Intervall von [mm] -\pi [/mm] bis [mm] \pi
[/mm]
2. Im Intervall von -3,5 bis +3,5
betrachte kann ich in beiden Fällen ein Supremum von (y=) 4 finden.
Ein Maximum finde ich beim 1. Fall bei x= [mm] \pi [/mm] und beim 2. Fall bei x=3,5
Auch wenn eigentlich bei einem x "etwas kleiner als 2" der Maximalwert in dem Intervall angenommen wird, da ich für jedes x was "etwas kleiner als 2" ist noch ein x finden kann was näher an 2 liegt und folglich einen größeren Funktionswert hat.
Ist das so korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:53 Sa 04.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Vielen Dank für eure Erklärungen!
>
> Ich habe ein zweites Beispiel:
> f=|x + 2|- 2 H[x - 2]
>
> Durch die Definition der Heaviside-Funktion hat die
> Funktion an der Stelle x=2 den Wert 2.
>
> Wenn ich nun die Funktion
> 1. Im Intervall von [mm]-\pi[/mm] bis [mm]\pi[/mm]
> 2. Im Intervall von -3,5 bis +3,5
> betrachte kann ich in beiden Fällen ein Supremum von (y=)
> 4 finden.
Das ist richtig.
> Ein Maximum finde ich beim 1. Fall bei x= [mm]\pi[/mm] und beim 2.
> Fall bei x=3,5
>
Das stimmt nicht. Die Funktion hat in keinem der beiden angegebenen Intervalle ein Maximum.
> Auch wenn eigentlich bei einem x "etwas kleiner als 2" der
> Maximalwert in dem Intervall angenommen wird,
er wird eben NICHT angenommen !
> da ich für
> jedes x was "etwas kleiner als 2" ist noch ein x finden
> kann was näher an 2 liegt und folglich einen größeren
> Funktionswert hat.
>
und das ist der Kern der Begründung dafür.
Es gilt folgender Satz :
Stetige Funktionen haben auf kompakten Teilmengen von [mm] \IR [/mm] ein Maximum.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:24 Sa 04.01.2014 | | Autor: | c1474915 |
> Hi,
>
> > Vielen Dank für eure Erklärungen!
> >
> > Ich habe ein zweites Beispiel:
> > f=|x + 2|- 2 H[x - 2]
> >
> > Durch die Definition der Heaviside-Funktion hat die
> > Funktion an der Stelle x=2 den Wert 2.
> >
> > Wenn ich nun die Funktion
> > 1. Im Intervall von [mm]-\pi[/mm] bis [mm]\pi[/mm]
> > 2. Im Intervall von -3,5 bis +3,5
> > betrachte kann ich in beiden Fällen ein Supremum von (y=)
> > 4 finden.
>
> Das ist richtig.
>
> > Ein Maximum finde ich beim 1. Fall bei x= [mm]\pi[/mm] und beim 2.
> > Fall bei x=3,5
> >
>
> Das stimmt nicht. Die Funktion hat in keinem der beiden
> angegebenen Intervalle ein Maximum.
>
>
> > Auch wenn eigentlich bei einem x "etwas kleiner als 2" der
> > Maximalwert in dem Intervall angenommen wird,
>
> er wird eben NICHT angenommen !
>
> > da ich für
> > jedes x was "etwas kleiner als 2" ist noch ein x finden
> > kann was näher an 2 liegt und folglich einen größeren
> > Funktionswert hat.
> >
> und das ist der Kern der Begründung dafür.
>
> Es gilt folgender Satz :
> Stetige Funktionen haben auf kompakten Teilmengen von [mm]\IR[/mm]
> ein Maximum.
>
> Gruß Sax.
>
Hallo Sax, meine Beschreibung der Intervalle oben war nicht eindeutig bzw. ich habe es falsch gemacht.
Du hast du Intervalle als offen interpretiert richtig? Dann hat die Funktion natürlich in den Intervallen kein Maximum.
Ich meinte aber eigentlich, dass das Intervall 1: [mm] [-\pi, \pi] [/mm] ist und dass das Intervall 2 [-3,5;3,5] ist, die Grenzen also dazu gehören. Ist dann
ein Maximum beim 1. Fall bei x= $ [mm] \pi [/mm] $ und beim 2.
Fall bei x=3,5 ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:48 Sa 04.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
immer noch nein.
Weil im Definitionsbereich ein größerer Funktionswert als 3,5 (=f(3,5)) angenommen wird, nämlich z.B. 3,8 (=f(1,8)), ist 3,5 kein Maximum.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:59 Sa 04.01.2014 | | Autor: | c1474915 |
Hallo Sax, danke für deine Antwort. Ist bei x=3,5 aber ein lokales Maximum? Denn in einer kleinen Umgebung um x=3,5 kann ich ja im Intervall 2 keinen Funktionswert finden, der größer als 3,5 ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:08 Sa 04.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
ja, das trifft in der Tat zu.
Gruß Sax.
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Danke für die Antwort, ich fasse nochmal zusammen:
f(x)=|x + 2|- 2 H[x - 2]
Intervall 1: $ [mm] [-\pi, \pi] [/mm] $
Intervall 2: [-3,5;3,5]
Supremum in beiden Intervallen ist 4.
Globale Maxima in beiden Intervallen nicht vorhanden.
Lokales Maximum in Intervall 1 bei [mm] x=\pi [/mm] und bei [mm] x=-\pi
[/mm]
Lokales Maximum in Intervall 2 bei x=3,5 und bei x=-3,5
Weitere Maxima liegen in den Intervallen nicht vor.
Ist dies so korrekt?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 Sa 04.01.2014 | | Autor: | c1474915 |
Wenn ich das Intervall 2: [-3,5;3,5] mit Wolfram Alpha auf Maxima untersuche bekomme ich als Lösung: Global Maximum [mm] \approx [/mm] 4 at [mm] x\approx [/mm] 2
Wie kann das sein? Ist es ein Fehler von Wolfram Alpha? Wir haben doch oben begründet, warum bei x=2 kein Maximum vorliegt.
Wer es selbst sehen möchte:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=Maximize[{Abs[x+%2B+2]+-+2+UnitStep[x+-+2]%2C+-3.5+%3C%3D+x+%3C%3D+3.5}%2C+x]
UnitStep ist die Heavisidefunktion wie sie z.B. auf Wikipedia definiert ist: http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/UnitStep.html
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:06 Sa 04.01.2014 | | Autor: | abakus |
> Wenn ich das Intervall 2: [-3,5;3,5] mit Wolfram Alpha auf
> Maxima untersuche bekomme ich als Lösung: Global Maximum
> [mm]\approx[/mm] 4 at [mm]x\approx[/mm] 2
>
> Wie kann das sein? Ist es ein Fehler von Wolfram Alpha? Wir
> haben doch oben begründet, warum bei x=2 kein Maximum
> vorliegt.
>
> Wer es selbst sehen möchte:
>
> http://www.wolframalpha.com/input/?i=Maximize[{Abs[x+%2B+2]+-+2+UnitStep[x+-+2]%2C+-3.5+%3C%3D+x+%3C%3D+3.5}%2C+x]
> UnitStep ist die Heavisidefunktion wie sie z.B. auf
> Wikipedia definiert ist:
> http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/UnitStep.html
>
Na und?
Wolframalpha oder irgendein anderes CAS ist nicht der liebe Gott. Wenn du in deinen Term statt x einfach konkret 2 einsetzt, liefert wolframalpha für
Abs[2 + 2] - 2 UnitStep[2 - 2]
NICHT das angebliche Maximum 4, sondern nur 2.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 Sa 04.01.2014 | | Autor: | c1474915 |
Danke für die Antwort! Dass ein CAS nicht unfehlbar ist weiß ich, deswegen fragte ich ja auch ob dies ein Fehler von Wolfram Alpha ist!
Ich wundere mich nur über die Angabe mit [mm] x\approx2. [/mm] Wenn das CAS das Maximum bei 2 (falsch) annimmt, könnte es ja auch x=2 schreiben.
Kannst du mir bitte noch eine Rückmeldung zu der Zusammenfassung der Maxima unter https://matheraum.de/read?i=1000986 geben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:20 So 05.01.2014 | | Autor: | abakus |
> Danke für die Antwort! Dass ein CAS nicht unfehlbar ist
> weiß ich, deswegen fragte ich ja auch ob dies ein Fehler
> von Wolfram Alpha ist!
>
> Ich wundere mich nur über die Angabe mit [mm]x\approx2.[/mm] Wenn
> das CAS das Maximum bei 2 (falsch) annimmt, könnte es ja
> auch x=2 schreiben.
Das CAS will offensichtlich ausdrücken, dass bei Annäherung an 2 die Funktionswerte fast einen Maximalwert 4 erreichen.
>
> Kannst du mir bitte noch eine Rückmeldung zu der
> Zusammenfassung der Maxima unter
> https://matheraum.de/read?i=1000986 geben?
Hallo,
schau nach, wie Ihr "lokales Maximum" definiert habt. Nach der Schulmathematik kann man an den von dir genannten Stellen nicht von einem lokalen Maximum sprechen.
Gruß Abakus
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Vielen Dank für deine Antwort.
Wir benutzen für lokale Maxima die Definition mit einer [mm] \varepsilon [/mm] Umgebung um die Stelle x(max), in der es kein größeres f(x) geben darf als das f(xmax).
Sind die lokales Maxima am Rand des Definitionsbereichs mit der Definition korrekt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Mi 08.01.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Mo 06.01.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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