Maximierungsproblem < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:26 Sa 10.03.2007 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | "Nein", sagt ein Mathematiker zu seinem 14-Jährigen Sohn, ich bin nicht geneigt, dein wöchentliches Taschengeld um 10€ zu erhöhen. Aber falls du das Risiko auf dich nehmen willst, mache ich dir ein aussichtsreichers Angebot. Der Junge stöhnte:"Was ist es diesmal, Vati?"
Sein Vater antwortete:"Zufällig habe ich gerade zehn neue unzuerknitterte 20€-Scheine und zehn 10€-Scheine. Du kannst sie g anz beliebig in zwei Mengen aufteilen. Die eine geben wir in Hut A, die andere in Hut B.
Dann verbinde ich Dir die Augen. Ich vermische den Inhalt eines jeden Hutes und stelle
den einen auf die rechte, den anderen auf die linke Seite des Kaminsims. Du nimmst
Dir rein zuf¨allig einen Hut und ziehst aus diesem einen Geldschein heraus. Falls es
ein Zwanzigeuroschein ist, darfst Du diesen behalten.
“Und wenn es keiner ist?”
“Dann musst Du einen Monat lang den Rasen m¨ahen.”
Der Junge stimmt zu. Wie muss er die 20 Geldscheine auf die zwei H¨ute verteilen,
um die Wahrscheinlichkeit, einen Zwanzigeuroschein zu ziehen, zu maximieren? Wie
groß ist in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit? |
Hallo,
sorry, wahrscheinlich ist die aufgabe mehr les- als rechenarbeit. Leider komm ich nicht weiter die funktion zu maximieren.
Ich hab in Hut A:
- m 20€-Scheine
- n 10 €-Scheine
in Hut B:
- (10-m) 20€-Scheine
- (10-n) 10€-Scheine
daraus bekomm ich die Wahrscheinlichkeit für A="ziehe 20€-Schein":
P(A) = [mm] \frac{1}{2} \frac{m}{m+n} [/mm] + [mm] \frac{1}{2} \frac{10-n}{20-m-n}
[/mm]
jetzt hab ich mir überlegt, dass für n=0 und m=10 gilt P(A)=1, aber das kann ja eigentlich nicht sein, weil er ja dann nicht weiß in welchem der beiden Hüte nur die 20er sind?? wo liegt der fehler?
wie kann man das mathematisch optimieren?
dachte an lagrange, aber da fehlen mir irgendwelche NB....?!?
viele grüße
riley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:04 Mo 12.03.2007 | | Autor: | Ankh |
> Ich hab in Hut A:
> - m 20€-Scheine
> - n 10 €-Scheine
> in Hut B:
> - (10-m) 20€-Scheine
> - (10-n) 10€-Scheine
>
> daraus bekomm ich die Wahrscheinlichkeit für A="ziehe
> 20€-Schein":
Die richtige Formel ist:
$P(A) = [mm] \frac{1}{2} (\frac{m}{m+n} [/mm] + [mm] \frac{10-m}{(10-m)+(10-n)})$
[/mm]
$ = [mm] \frac{1}{2} (\frac{m}{m+n} [/mm] + [mm] \frac{10-m}{20-m-n})$
[/mm]
$ = [mm] \frac{1}{2} (\frac{m}{m+n} [/mm] + [mm] \frac{10-m}{20-m-n})$
[/mm]
ein bisschen umformen:
$P(A) = [mm] \frac{1}{2} (\frac{-2m²+30m-2mn}{(m+n)(20-m-n)})$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Mo 12.03.2007 | | Autor: | Riley |
hi,
danke, stimmt, muss 10-m statt -n heißen.
aber wie kann ich nun herausbekommen wann P(A) am größten wird?
eigentlich wäre es doch logisch, in einen hut nur 1 20€-schein zu tun, und den rest in den andren hut, oder??
wie kann man das mathematisch berechnen?
viele grüße
riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:38 Di 13.03.2007 | | Autor: | Ankh |
Du solltest die Funktion nach m (oder n) ableiten. Die Nullstellen der 1. Ableitung sind Kandidaten für Extremstellen. Ist die 2. Ableitung an einer solchen Nullstelle negativ, handelt es sich um ein Maximum.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:09 Mi 14.03.2007 | | Autor: | heyks |
Hi Riley,
was uns intuitiv schon längst klar war, kann jetzt auch nachgerechnet werden,
leider nicht ohne 3 Fallunterscheidungen.
Die Fälle n= 0 und n= 10 kann man für alle [mm] 0\le [/mm] m [mm] \le10 [/mm] unmittelbar einsehen, (s. Antwort von luis 52)
Für [mm] 1\le [/mm] n [mm] \le [/mm] 9 und [mm] 0\le [/mm] m [mm] \le10 [/mm] kann man die Symmetrie des Ausdrucks zum Punkt (5,5)nutzen, d.h.
Setze ich n:= [mm] 5+\alpha [/mm] , m:= [mm] 5+\beta, \left| \alpha \right| \le [/mm] 4 und [mm] \left| \beta \right| \le [/mm] 5
so ist [mm] \bruch {m}{m+n}+\bruch{10-m}{20-(m+n)} [/mm] = [mm] \bruch {5+\beta}{(5+\beta)+(5+\alpha)}+\bruch{10-(5+\beta)}{10-(5+\beta)+10-(5+\alpha)}= \bruch {5+\beta}{(5+\beta)+(5+\alpha)}+\bruch{5-\beta}{(5-\beta)+(5-\alpha)}
[/mm]
Ich brauche also nur [mm] 1\le [/mm] n [mm] \le [/mm] 5 und [mm] 0\le [/mm] m [mm] \le [/mm] 5 zu betrachten.
Für alle [mm] 1\le [/mm] n [mm] \le [/mm] 5 und [mm] 0\le [/mm] m [mm] \le5 [/mm] muß also
Um [mm] \bruch{m}{m+n}+\bruch{10-m}{20-(m+n)} \le \bruch{28}{19} [/mm] erfüllt sein.
Es gilt :
[mm] \bruch{m}{m+n} \le \bruch{5}{5+n} \le \bruch{5}{6}, [/mm] falls [mm] 1\le [/mm] n [mm] \le [/mm] 4
[mm] \bruch{m}{m+5}\le \bruch{1}{2} [/mm] , für n= 5
Dann gilt auch:
[mm] \bruch{10-m}{20-(m+n)} =\bruch{10-m}{(10-m)+(10-n)}\le\bruch{10}{16}, [/mm] falls [mm] 1\le [/mm] n [mm] \le [/mm] 4,
[mm] \bruch{10-m}{20-(m+n)} =\bruch{10-m}{(10-m)+(10-n)}\le\bruch{10}{15}, [/mm] falls n=5
Insgesamt folgt also in allen Fällen :
[mm] \bruch{m}{m+n}+\bruch{10-m}{20-(m+n)} \le \bruch{5}{6}+\bruch{10}{16} [/mm] = [mm] \bruch{35}{24}< \bruch{28}{19}.
[/mm]
Viele Grüße
von
Heiko
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:14 Mi 14.03.2007 | | Autor: | Ankh |
> Die Fälle n= 0 und n= 10 kann man für alle [mm]0\le[/mm] m [mm]\le10[/mm]
> unmittelbar einsehen, (s. Antwort von luis 52)
Eben das ist nicht exakt, da ein Maximum im einen Summanden immer ein Minimum im anderen Summanden ist.
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> > Die Fälle n= 0 und n= 10 kann man für alle [mm]0\le[/mm] m [mm]\le10[/mm]
> > unmittelbar einsehen, (s. Antwort von luis 52)
>
> Eben das ist nicht exakt, da ein Maximum im einen Summanden
> immer ein Minimum im anderen Summanden ist.
Hallo,
es geht hier zunächst nicht darum, ob man in diesen Fällen ein Maximum hat, sondern um den Wert, dieser war irgendwo unten mit [mm] \bruch{28}{19} [/mm] angegeben.
In seinem Post hat heyks nun ausgerechnet, daß der Wert in allen anderen Fällen [mm] <\bruch{28}{19} [/mm] ist,
und hieraus kann man schließen, daß die beiden Fälle, die schon vorher weit vorn im Rennen lagen um die Gunst der besten Möglichkeit, tatsächlich die größte Gewinnchance bieten.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:42 Mi 14.03.2007 | | Autor: | Ankh |
Alles klar, danke.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:22 Mi 14.03.2007 | | Autor: | Riley |
Hallo Heiko,
coole idee mit der symmetrie !! ich versteh nur deine letzte abschätzung nicht ganz, warum gilt
[mm] \frac{m}{m+n} [/mm] + [mm] \frac{10-m}{20-(m+n)} \leq \frac{5}{6} [/mm] + [mm] \frac{10}{16}
[/mm]
und nicht + [mm] \frac{10}{15} [/mm] ?
weil 10/15 ist doch größer... und dann ist das ganze nicht mehr kleiner als 28/19...??
viele grüße
riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:53 Mi 14.03.2007 | | Autor: | heyks |
Guten Morgen Riley
>
> coole idee mit der symmetrie !! ich versteh nur deine
> letzte abschätzung nicht ganz, warum gilt
>
> [mm]\frac{m}{m+n}[/mm] + [mm]\frac{10-m}{20-(m+n)} \leq \frac{5}{6}[/mm] +
> [mm]\frac{10}{16}[/mm]
> und nicht + [mm]\frac{10}{15}[/mm] ?
Weil das der Fall ist , in dem ich nur [mm] 1\le n\le4 [/mm] betrachte.
>
> weil 10/15 ist doch größer... und dann ist das ganze nicht
> mehr kleiner als 28/19...??
>
Für den Fall n = 5 ergibt sich, wie Du richtig bemerkt hast,
[mm] \frac{10-m}{20-(m+n)} \leq[/mm] [mm]\frac{10}{15}[/mm].
Dafür kann ich dann aber den ersten Summanden schärfer abschätzen, so daß die Summe doch < [mm] \frac{28}{19} [/mm] bleibt.
Übrigens wird in n=m=5 ein Minimum angenommen.
Klar(er)?
LG
Heiko
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:55 Mi 14.03.2007 | | Autor: | Riley |
GuTen Morgen Heiko,
achso, für n=5 gilt dann
[mm] \frac{m}{m+n} [/mm] + [mm] \frac{10-m}{20-(m+n)} \leq \frac{1}{2} [/mm] + [mm] \frac{10}{15} [/mm] = [mm] \frac{7}{6} \leq \frac{28}{18} [/mm] ?
okay, dann hab ichs verstanden!! dankeschön, auf eine solche abschätzung wäre ich nicht gekommen, echt faszninierend...
viele grüße
riley
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:12 Mi 14.03.2007 | | Autor: | luis52 |
Vielen Dank fuer deine Muehe, Heiko.
Was fuer ein Schlachtfeld ... 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:55 Do 22.03.2007 | | Autor: | Riley |
Hi Luis,
wie versprochen, hier noch die Musterlösug. (Muss sagen, Heiko's Lösung gefällt mir besser, find ich irgendwie einfacher zu verstehen...)
also Aufteilung war: n 20er in Hut A, 10-n 2er in Hut B, m 10er in Hut A und 10-m 10er in Hut B.
dann gilt [mm] P(\{20\}) [/mm] = [mm] \frac{1}{2} [/mm] ( [mm] \frac{n}{n+m} [/mm] + [mm] \frac{10-n}{20-n-m}), [/mm] das ist klar.
Dann haben wir drei Spezialfälle:
n+m=20, [mm] P(\{20\})= \frac{1}{4}
[/mm]
n+m=0, [mm] P(\{20\})= \frac{1}{4}
[/mm]
n+m=19, [mm] P(\{20\})= \frac{1}{2}
[/mm]
und nun zum Optimierungsproblem:
sei k=n+m [mm] \in \{11,...,19\} [/mm] fest, suche nun bei fester Summe nach n und m
n [mm] \mapsto \frac{1}{2} [/mm] ( [mm] \frac{n}{k} [/mm] + [mm] \frac{10-n}{20-k}) [/mm] fällt monoton
wähle nun n möglichst klein bei gegebenem k und m möglichst groß, d.h. m=10 und n=k-10.
dann folgt [mm] P(\{20\}) [/mm] = [mm] \frac{1}{2} [/mm] ( [mm] \frac{k-10}{k} [/mm] + [mm] \frac{20-k}{20-k}) [/mm] = 1 - [mm] \frac{5}{k}, [/mm] d.h. k=19 und n=9.
viele grüße,
Riley
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Alles richtig überlegt, aber beim 2. Bruch muss der Zähler 10-m statt 10-n heißen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:37 Di 13.03.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin ihr beiden,
ich darf mich mal einmischen...
@Ankh: Hier gibt's nichts zu differenzieren, da [mm] $m,n\in\{0,1,2,...,10\}$.
[/mm]
Es gilt, den Ausdruck [mm] $\frac{m}{m+n}+\frac{10-m}{20-m-n}$ [/mm] zu maximieren.
Das kann ich tun, indem ich beide Summanden maximiere. Zunaechst
schliesse ich die Loesung $m=n=0$ aus (der Erfolg gibt mir Recht, s.u.). Der
Bruch $m/(m+n)$ wird maximal fuer $n=0$. Jetzt suche ich noch das
Maximum von $(10-m)/(20-m)$. Dieses liegt bei $m=1$. Mithin sollte in
Hut A ein Zwanzig-Euroschein und der Rest in Hut B gelegt werden. Die
Gewinnwahrscheinlichkeit ist dann 0.7368. Bleibt ein Hut leer ($m=n=0$),
so ist die Wahrscheinlichkeit 0.25 (Hut B ziehen, Zwanzig-Euroschein ziehen).
hth
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 Di 13.03.2007 | | Autor: | Ankh |
Mit welcher Begründung ist diese Lösung maximal? Alle 121 Möglichkeiten kann man ja schwer durchprobieren.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:05 Di 13.03.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin Ankh,
man muss nicht alle 121 Kombinationen durchprobieren. Da der erste
Summand maximal wird fuer $n=0$, brauche ich im zweiten nur mit $m$ zu
argumentieren. Also betrachte ich $(10-m)/(20-m)$. Hier koennte ich
$m=1,2,...,10$ durchrechnen, aber man kann sich klar machen, dass der
Quotient faellt, sein Maximum somit fuer $m=1$ angenommen wird.
Mir leuchtet die Loesung ein: Wenn in Hut A nur ein Zwanzig-Euroschein
liegt, so erhaelt der Sohn ihn, wenn er Hut A waehlt. Deswegen muss er
alles daran setzen, dass in Hut B noch moeglichst viele
Zwanzig-Euroscheine liegen, naemlich 9 von 19.
hth
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:36 Di 13.03.2007 | | Autor: | Ankh |
> Da der erste
> Summand maximal wird fuer [mm]n=0[/mm], brauche ich im zweiten nur
> mit [mm]m[/mm] zu
> argumentieren.
Es wäre doch möglich, dass der zweite Summand sein Maximum bei n > 0 erreicht.
Das ist sogar der Fall: für n=10 ist der 2. Summand maximal, wir müssen also mindestens beide Fälle betrachten. Die anderen Fälle sind aber auch relevant, da der eine Summand immer dann maximal ist, wenn der andere Summand minimal ist (von n aus gesehen).
Deswegen wäre Differenzieren gar nicht mal verkehrt, nur etwas aufwändig.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:22 Di 13.03.2007 | | Autor: | heyks |
Hallo luis,
> Moin ihr beiden,
>
> ich darf mich mal einmischen...
>
> @Ankh: Hier gibt's nichts zu differenzieren, da
> [mm]m,n\in\{0,1,2,...,10\}[/mm].
>
>
> Es gilt, den Ausdruck [mm]\frac{m}{m+n}+\frac{10-m}{20-m-n}[/mm] zu
> maximieren.
> Das kann ich tun, indem ich beide Summanden maximiere.
> Zunaechst
> schliesse ich die Loesung [mm]m=n=0[/mm] aus (der Erfolg gibt mir
> Recht, s.u.). Der
> Bruch [mm]m/(m+n)[/mm] wird maximal fuer [mm]n=0[/mm]. Jetzt suche ich noch
> das
> Maximum von [mm](10-m)/(20-m)[/mm].
Ok, soweit sind wir d ´accord.
Wodurch ist aber ausgeschlossen, daß die Summe nicht doch größer wird , falls n > 0.
Dann wird der linke Summand zwar unzweideutig kleiner, der rechte Summand aber größer, da der Nenner kleiner wird und der Zähler gar nicht von n abhängt.
So wird für n=10 und m = 9 auch der Wert 28/19 angenommen.
MfG
Heiko
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:16 Di 13.03.2007 | | Autor: | luis52 |
> Ok, soweit sind wir d ´accord.
>
> Wodurch ist aber ausgeschlossen, daß die Summe nicht doch
> größer wird , falls n > 0.
Touché, da war ich wieder einmal etwas vorschnell, denn ich *habe* alle
121 Kombinationen durchgespielt (geht mit R ganz fix). Dabei habe ich
mich vom Ergebnis leiten lassen (Ist ja hier wie Selbstkritik im
Politbuero! )
Hm, wie kann man das Ganze retten? Differenzieren ist meines Erachtens
kein Weg, da die Funktion anscheinend Randmaxima besitzt und ganzzahlige
Loesungen sind auch nicht garantiert. Vielleicht hat jemand anderes eine
Idee?
>
> Dann wird der linke Summand zwar unzweideutig kleiner, der
> rechte Summand aber größer, da der Nenner kleiner wird und
> der Zähler gar nicht von n abhängt.
> So wird für n=10 und m = 9 auch der Wert 28/19
> angenommen.
Ja, das stimmt, aber das ist die Loesung, wo Hut A und B die Rollen tauschen.
Ich bleibe dabei, die Loesung ist optimal, kann's nur nicht ohne Rechner beweisen. Bei dem Ansatz
[mm] $m/(m+n)+(10-m)/(20-m-n)\le [/mm] 1+9/(19-m)$ rechne ich mir einen Wolf...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:40 Di 13.03.2007 | | Autor: | heyks |
Hallo luis,
> > Dann wird der linke Summand zwar unzweideutig kleiner, der
> > rechte Summand aber größer, da der Nenner kleiner wird und
> > der Zähler gar nicht von n abhängt.
> > So wird für n=10 und m = 9 auch der Wert 28/19
> > angenommen.
>
> Ja, das stimmt, aber das ist die Loesung, wo Hut A und B
> die Rollen tauschen.
> Ich bleibe dabei, die Loesung ist optimal, kann's nur
> nicht ohne Rechner beweisen.
Wenn man mit gesundem Menschenverstand argumentiert, ist Deine Lösung natürlich nachvollziebar.
> Bei dem Ansatz
> [mm]m/(m+n)+(10-m)/(20-m-n)\le 1+9/(19-m)[/mm] rechne ich mir einen
> Wolf...
Genau soweit bin ich auch nur gekommen :-(
Viele Grüße
Heiko
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:44 Di 13.03.2007 | | Autor: | Riley |
Hallo,
danke für die vielen überlegungen. hab die fälle grad mit matlab durchprobiert!
hm, schade, also wenn noch jemand eine idee hat wie man das mit stift und papier beweisen kann, würd mich echt interessieren...
viele grüße
riley
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