Maximierung einer Fläche < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:22 Mo 17.04.2006 | | Autor: | krisu112 |
Hallo,
hab hier ein Problem bei einer Aufgabe, da ich nicht weiß, wie ich die Fläche maximieren kann.
Hoffe ihr könnt mir helfen.
Aufgabe:
Auf dem Graphen G liegt der Punkt P(v/f(v)) mit v>0. Werden durch diesen Punkt Parallelen zu den beiden Koordinatenachsen gezogen, so bilden diese Parallelen mit den Achsen ein Rechteck. Weisen sie nach, dass sich das Rechteck nur dann einen maximalen Flächeninhalt bekommt, wenn der Punkt P mit dem Punkt Q [mm] (\bruch{2}{t}/ \bruch{2}{te}) [/mm] des Graphen G zusammenfällt.
Für jede reele Zahl t [mm] \not=0 [/mm] ist die Funktion f(x) = [mm] x*e^{1-tx} [/mm] gegeben.
Ihr Graph sei G.
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mfg Krisu112
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Hi, krisu,
> Aufgabe:
>
> Auf dem Graphen G liegt der Punkt P(v/f(v)) mit v>0. Werden
> durch diesen Punkt Parallelen zu den beiden
> Koordinatenachsen gezogen, so bilden diese Parallelen mit
> den Achsen ein Rechteck. Weisen sie nach, dass sich das
> Rechteck nur dann einen maximalen Flächeninhalt bekommt,
> wenn der Punkt P mit dem Punkt Q [mm](\bruch{2}{t}/ \bruch{2}{te})[/mm]
> des Graphen G zusammenfällt.
>
> Für jede reele Zahl t [mm]\not=0[/mm] ist die Funktion f(x) =
> [mm]x*e^{1-tx}[/mm] gegeben.
> Ihr Graph sei G.
Wenn Du Dur die Situation mal skizzierst (z.B. für t=1 und auch für t=-1),
merkst Du bereits, dass die Aufgabe nur für t>0 eine "vernünftige" Lösung hat.
Weiter erkennst Du, dass die Fläche des Rechtecks einfach das Produkt der Koordinaten von P ist:
A(v) = v*f(v)
Der Rest wie üblich: Ableitung =0 setzen usw.
Weiter will ich Dir jetzt aber nicht helfen!
Versuch's selbst!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:11 Mo 17.04.2006 | | Autor: | krisu112 |
Vielen Dank für den Tip!!! Eigentlich logisch
mfg Krisu112
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:33 Mo 17.04.2006 | | Autor: | Blacky |
Hey Krisu, hab gerade so eine ähnliche Aufgabe gerechnet :)
https://matheraum.de/read?i=143133
Für die hier hab ich jetzt folgendes raus:
[mm] A_t(v)=v*f(v)=v^2*e^{1-tv}
[/mm]
[mm] A_t'(v)=v*e^{1-tv}*(2-tv)
[/mm]
[mm] A_t''(v)=t*v*e^{1-tv}*(tv-3)
[/mm]
[mm] A_t'(v)=0
[/mm]
[mm] \gdw v=\bruch{2}{t}
[/mm]
[mm] A_t''(\bruch{2}{t})=-\bruch{2}{e} [/mm] < 0 [mm] \Rightarrow [/mm] Hochpunkt
[mm] A_t(\bruch{2}{t})=\bruch{4}{et^2}
[/mm]
[mm] H=(\bruch{2}{t} [/mm] | [mm] \bruch{4}{et^2})
[/mm]
Für [mm] v=\bruch{2}{t} [/mm] wird der Flächeninhalt maximal und beträgt [mm] \bruch{4}{t^2e} [/mm] FE.
Dazu muss der Punkt P die folgenden Koordinaten haben: [mm] (\bruch{2}{t} [/mm] | [mm] \bruch{2}{te})
[/mm]
So, jetzt aber noch zu den Grenzwerten.
[mm]\limes_{v\rightarrow0} A(v) =0[/mm]
Für [mm]t>0[/mm] gilt:
[mm]\limes_{v\rightarrow\infty} A(v) =0[/mm]
Für [mm]t<0[/mm] gilt:
[mm]\limes_{v\rightarrow\infty} A(v) =\infty[/mm]
Das heißt also für t>0 ist H ein absoluter Hochpunkt des Graphen von A, also wird das Flächenmaß des Vierecks für den Punkt P maximal.
Für t<0 hingegen ist H nur ein relativer Hochpunkt des Graphen von A, also wird das Flächenmaß des Vierecks für v [mm] \mapsto\infty [/mm] unendlich groß.
Stimmt das so?
mfg blacky
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Hallo, meine Ergebnisse stimmen überein mit deinen!! Klasse freut mich wirklich, jedoch erklär mir mal bitte deine 2. Ableitung mfg Kirsu112
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:18 Mi 19.04.2006 | | Autor: | Blacky |
Nee, die kann ich dir nicht erklären, weil ich sie falsch gemacht habe (:
Wenn wir von der richtigen, etwas veränderten 1. Ableitung ausgehen muss es so aussehen:
[mm] A_t'(v)=e^{1-tv}*(2v-tv^2)
[/mm]
[mm] A_t''(v)=e^{1-tv}*(t^2v^2-4tv+2)
[/mm]
Deshalb hab ich ja gefragt ob das so stimmt :D hast du denn den Rest wirklich genauso gerechnet? Auch mit der Unterscheidung für t beim Grenzwert? Würde gerne wissen ob das auch wirklich richtig ist...
mfg blacky
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:22 Do 20.04.2006 | | Autor: | krisu112 |
Hallo,
jetzt hast du die Ableitungen richitg!!! Ein Tip: Vielleicht solltest du nicht alle möglichen Variabeln ausklammern, da so oft eine doppelte Produktregel entsteht, Faktoren klammere ich auch immer aus!!! Das hat mich auch schon bei deiner anderen Maximierungsaufgabe etwas gewundert.
Jetzt hab ich bei der Aufgabe jedoch auch nicht die Grenzwert-Betrachtungen gemacht um zu wissen ob es ein absoluter oder relativer Extrempunkt ist, eine andere Möglichkeit gibt es ja aber auch nicht bezogen auf meine Funktion. Bis zu den Grenzwertbetrachtungen hab ich aber den selben weg angewendet, dann hab ich aber aufgehört. Vielleicht könntest du mir noch erklären warum und wie du das (bezogen auf Relativer und absoluter Extrempunkt) überprüfst. Weil auch in der Schule spielten die Betrachtung von relativen oder absoluten Extrempunkt keine Rolle für uns. Wie gesagt: Ableitungen stimmen jetzt überein und Rechenweg identisch!!
im voraus danke
mfg Marco
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:36 Do 20.04.2006 | | Autor: | Blacky |
Hallo, ich habe den Graphen mal für t=1(blau) und für t=-1(rot) zeichnen lassen (da unten drauf klicken).
Also die Idee war folgende:
In der Aufgabenstellung war ja vorgegeben, dass v > 0 ist. Also müssen wir uns bei den Graphen nur den Bereich rechts der y-Achse angucken. Bei dem Graphen wo t positiv ist (der blaue) siehst du, dass er für 0 und unendlich gegen 0 geht. Der Hochpunkt ist also absolut, da es keinen einzigen anderen x-Wert gibt, der eine größere y-Koordinate hat.
Der rote Graph hingegen nimmt für x gegen unendlich immer größere y-Werte an, die auch größer sind als der y-Wert des relativen Hochpunkts. Also wird das Flächenstück immer größer, je größer der x-Wert.
Aberrrrr, ich hätte, wie mir jetzt bei der Beantwortung dieser Frage aufgefallen ist, diese Grenzwertbetrachtung überhaupt nicht machen müssen. Weil: für t<0 ist v<0 (da [mm] v=\bruch{2}{t}) [/mm] und somit kann man an dieser Stelle schon sagen, dass t>0 sein muss, da sonst die Aufgabenstellung nicht erfüllt ist. Also reichen auch die beiden Grenzwerte für t>0 und damit ist der Hochpunkt absolut und die Aufgabenstellung sinnvoll :)
ich hoffe du verstehst das in etwa :D
mfg blacky
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