Maximaler Flächeninhalt < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | In einen Halbkreis mit dem Radius r soll ein gleichschenkliges Trapez eingezeichnet werden, und zwar so, dass die größere der beiden parallelen Seiten mit dem Durchmesser des Halbkreises zusammenfällt (Bild 153/2). Der Flächeninhalt des Trapezes soll ein Maximum annehmen. |
Wie komme ich auf die Anfangsformel?
Ich weiß wohl, dass ich von der Anfangsformel die Ableitung bilden muss und die Nullstellen mir dann das Maximum verraten, nur ich komme leider nie auf den Anfang...
Flächeninhalt von T = [mm] \bruch{1}{2}*(a+c)*h
[/mm]
Flächeninhalt von K [mm] =\pi*r^2
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:29 Mo 18.09.2006 | | Autor: | riwe |
hallo sweety,
mal dir das ganze mal auf.
dann siehst du zunächst, dass das trapez gleichschenkelig ist.
und da sich das ganze im halbkreis abspielt, kannst du dir zu einem der oberen eckpunkte ein rechtwinkeliges dreieck zeichnen, und dann folgt aus dem höhensatz die ersehnte beziehung zwischen c und h, mit a = 2r.
[mm] h^{2}=\frac{(2r-c)(2r+c)}{4}
[/mm]
|
|
|
| |
|
Aber womit rechne ich dann das Maximum aus?
Muss ich jetzt $ [mm] h^{2}=\frac{(2r-c)(2r+c)}{4} [/mm] $ in [mm] \bruch{1}{2}*(a+c)*h [/mm] einsetzen? Oder muss ich $ [mm] h^{2}=\frac{(2r-c)(2r+c)}{4} [/mm] $ ableiten???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:13 Mo 18.09.2006 | | Autor: | bauta |
da du den flächeninhalt des trapezes maximieren willst, musst du das h in die formel für das trapez einsetzen und dieses dann nach c ableiten um das maximum zu bestimmen,
würdest du die formel für h ableiten würdest du ja h maximiert und dass ist logischerweise r (der Radius des Kreises). Um die Höhe des Trapezes zu bestimmen musst du den Wert für c beim Maximum dann noch in die Formel für [mm] h^2 [/mm] einsetzen.
|
|
|
| |
|
Also setzte ich das ganze jetzt ein:
[mm] \bruch{1}{2}(a+c)*\wurzel{\bruch{(2r-c)*(2r+c)}{4}}
[/mm]
und dann einfach ableiten?
[mm] 1*\wurzel{\bruch{(2r-c)*(2r+c)}{4}}+(\bruch{1}{2}a+\bruch{1}{2}c)*\bruch{1}{\wurzel{\bruch{(2r-c)*(2r+c)}{4}}}*\bruch{4*4-(2r-c)*(2r+c)}{16}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:46 Mo 18.09.2006 | | Autor: | riwe |
zunächst ist es völlig egal, ob du die formel nach c oder h auflöst, du bestimmst ja nicht das maximum von c oder h, sondern das maximum der fläche!
aber ich würde auch für h einsetzen. und da das "maximum des quadrates von f(c)" sich an derselben stelle befindet wie das von f(c), setze:
[mm] 4A^{2}=f(c)=(a+c)^{2}h^{2}
[/mm]
[mm] f(c)=(2r+c)^{2}(4r^{2}-c^{2})
[/mm]
das ergibt dann
[mm]3c^{2}+4rc-4r^{2}=0\rightarrow c = \frac{2r}{3}[/mm]
hoffentlich
|
|
|
| |
|
Du hast mich auf jeden Fall schonmal einen großen Schritt weiter gebracht ;) Danke für die Mühe...Ich hoffe,dass ich sowas auch mal alleine lösen kann;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:06 Mo 18.09.2006 | | Autor: | riwe |
da bin ich mir ganz sicher!
|
|
|
|
