Maximale Ideal < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:16 Do 11.06.2009 | | Autor: | oby |
| Aufgabe | Sind folgende Ideale maximal?
a) [mm] I=(x^2+x+1) \subset \IQ [/mm] [x]
b) I= (X,Y) [mm] \subset \IQ [/mm] [x,y] |
Hallo Matheraum!
Hab hier ein kleines Problem mit der zweiten Aufgabe b) . Die Aufgabe a) glaub ich hab ich :
Es gibt da nämlich so n praktischen Satz, der besagt, dass maximale Ideale in Polynomringen [mm] \IK [/mm] [X] über einen Körper [mm] \IK [/mm] gerade die von irreduziblen Polynomen erzeugten Hauptideale sind. Das lässt sich doch bei a) anwenden,oder?
Demzufolge ist I maximal, da [mm] x^2+x+1 [/mm] irreduzibel über [mm] \IQ [/mm] ..
zur b) Da haben wir nun einen kommutativen Polynoimring in zwei unbestimmten. Kann man da ebenso obigen Satz anwenden, oder gibts da was analoges? Aber was heisst dann irreduzibel, wenn man da zwei Unbestimmte stehen hat??
Bzw. Kennt jemand generell eine Art "Kochrezept"[falls sowas existiert *g*] (diese sind mir immer die liebsten) wie man Ideale auf Maximalität prüfen kann? Man wendet ja immer ganz unterschiedliche Sätze und Methoden an, wann benutze ich was??
Vielen Dank schonmal und viele Grüße,
Oby
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:16 Do 11.06.2009 | | Autor: | andreas |
hi
a) ist soweit in ordnung.
zu b): betrachte die abbildung [mm] $\mathbb{Q}[X, [/mm] Y] [mm] \longrightarrow \mathbb{Q}; \; [/mm] p [mm] \longmapsto [/mm] p(0,0)$, die ein polynom an der stelle $(x, y) = (0, 0)$ auswertet. ist das ein ringhomomorphismus? ist er surjektiv? was ist der kern? was hilft dir das?
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 Sa 13.06.2009 | | Autor: | oby |
> hi
>
> a) ist soweit in ordnung.
>
> zu b): betrachte die abbildung [mm]\mathbb{Q}[X, Y] \longrightarrow \mathbb{Q}; \; p \longmapsto p(0,0)[/mm],
> die ein polynom an der stelle [mm](x, y) = (0, 0)[/mm] auswertet.
> ist das ein ringhomomorphismus? ist er surjektiv? was ist
> der kern? was hilft dir das?
>
> grüße
> andreas
Hallo andreas!
Vielen dank für die Antwort! Ich habe rausgefunden, dass diese Abbildung ein surjektiver Ringhomomorphismus ist, der Kern der Abbildung sind gerade diejenigen Polynome, dessen Absolutglied = 0 ist. Der Kern der Abbildung ist also eine Teilmenge des Ideals (X,Y). Allerdings ist doch das Bild von (x,y) unter diesen Homomorphismus = ganz [mm] \IQ [/mm] . Wenn dies nun von einem irreduziblen Polynom erzeugt werden würde , also einem maximalen Ideal, dann wäre ja dessen Urbild-also das Ideal (X,Y) - auch maximal . Nun ist eben die Frage: Ist [mm] \IQ [/mm] ein maximales Ideal von [mm] \IQ [/mm] ??Streng nach Definition doch eigentlich nicht,oder? Deshalb würde ich sagen, dass (X,Y) auch nicht maximal ist. Aber, Wer sagt mir/uns , dass es nicht irgendeinen anderen Ringhomomorphismus gibt, mit dem man die Maximalität zeigen könnte??
Nochmal vielen Dank, und auch Danke für das beantworten dieser wahrscheinlich doofen Fragen oben *g*,
Oby
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:25 Sa 13.06.2009 | | Autor: | andreas |
hi
> Allerdings ist doch das Bild von (x,y) unter diesen Homomorphismus = ganz $ [mm] \IQ [/mm] $
wie kommst du denn darauf? gibt doch mal ein $f [mm] \in [/mm] (X, Y)$ an, das etwa auf $1 [mm] \in \mathbb{Q}$ [/mm] abgebildet wird.
> Wenn dies nun von einem irreduziblen Polynom erzeugt werden würde , also einem
> maximalen Ideal,
du meinst das ideal [mm] $\mathbb{Q}$ [/mm] in [mm] $\mathbb{Q}$? [/mm] hier spricht man im allgemeinen nicht von polynomen, sondern von ringelementen, da es sich nicht um einen polynomring handelt. außerdem kann nicht jedes ideal von nur einem element erzeugt werden (in [mm] $\mathbb{Q}$ [/mm] natürlich schon, das ist ein hauptidealring, also jedes ideal von einem element erzeugt)
> dann wäre ja dessen Urbild-also das Ideal (X,Y) - auch maximal .
im allgemeien sind urbilder maximaler ideale nicht maximal. beispiel: die inklusion [mm] $\mathbb{Z} \hookrightarrow \mathbb{Q}$
[/mm]
> Ist $ [mm] \IQ [/mm] $ ein maximales Ideal von $ [mm] \IQ [/mm] $ ??Streng nach Definition doch eigentlich
> nicht,oder?
genau. ein ring ist genau dann ein körper, wenn [mm] $\{0\}$ [/mm] das einzige maximale ideal ist.
> Deshalb würde ich sagen, dass (X,Y) auch nicht maximal ist. Aber, Wer sagt mir/uns ,
> dass es nicht irgendeinen anderen Ringhomomorphismus gibt, mit dem man die
> Maximalität zeigen könnte??
meine idee ging eher in die richtung: [mm] $\mathfrak{m} \unlhd [/mm] R$ maximal [mm] \Longleftrightarrow ${}^{\displaystyle R}/_{\displaystyle \mathfrak{m}}$ [/mm] körper.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:55 So 14.06.2009 | | Autor: | oby |
Hallo Andreas, nochmal Danke!
Achso, also muss ich da so ran gehn:
Sei R= [mm] \IQ [/mm] [X,Y] und I=(X,Y);
[mm] R\I [/mm] = { r + I | r [mm] \in [/mm] R} und r+I:= {r+i|i [mm] \in [/mm] I }.
Dies ist kein Körper, weil z.B das Element 1 + I nicht invertierbar ist. Also ist I nicht maximal, Wozu brauchte ich den Ringhomomorphismus??
Viele Grüße, Oby
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:59 So 14.06.2009 | | Autor: | andreas |
hi
warum soll $1 + I$ nicht invertierbar sein?
zum ringhomomorphismus: was sagt der homomorphiesatz über einen surjektiven ringhomomorphismus $R [mm] \longrightarrow [/mm] S$ aus?
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 So 14.06.2009 | | Autor: | oby |
Hey!
> warum soll [mm]1 + I[/mm] nicht invertierbar sein?
Naja, 1+ I ist ja definiert als die Menge aller i+1, wobei i [mm] \in [/mm] I .
Die Multiplikation ist ja definiert als
[mm] r_1+I [/mm] * [mm] r_2+I [/mm] := [mm] (r_1*r_2) [/mm] + I,
Dann ist ja 1+I das neutrale Element,,sozusagen das Einselement. Nun hab ich ein beliebiges Element [mm] (r_1 [/mm] + I). Dessen Inverse wäre ja dann [mm] (r_1^{-1}+I), [/mm] denn [mm] (r_1 [/mm] + [mm] I)*(r_1^{-1}+I)=(1+I);
[/mm]
r sind Elemente (in unserem Fall) aus [mm] \IQ [/mm] [X,Y] . Im Allgemeinen existieren doch da aber keine Inversen, also da z.B [mm] X^{-1} [/mm] kein Element davon ist.
Also kann ja das ganze kein Körper sein,oder?
> zum ringhomomorphismus: was sagt der homomorphiesatz über
> einen surjektiven ringhomomorphismus [mm]R \longrightarrow S[/mm]
> aus?
>
Ist f ein Ringhomomorphismus von R nach S, dann ist der Kern [mm] \ker(f) [/mm] ein Ideal von R und der Faktorring [mm] R/{\ker(f)} [/mm] ist isomorph zum Bild [mm] \operatorname{im}(f)
[/mm]
Kann man also nun folgern: da unser Ringhomomorphismus surjektiv ist hat jedes Element aus [mm] \IQ [/mm] ein Urbild. Oder das Bild von f ist ganz [mm] \IQ, [/mm] dieses ist isomorph zum Faktorring [mm] R/{\ker(f)} [/mm] ,also ist dieser ein Körper. I enthält den [mm] \ker(f) [/mm] . Aber damit ist doch immernoch nicht R/I (und dies gilt es doch zu zeigen) ein Körper,oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 So 14.06.2009 | | Autor: | andreas |
hi
> Naja, 1+ I ist ja definiert als die Menge aller i+1, wobei
> i [mm]\in[/mm] I .
> Die Multiplikation ist ja definiert als
> [mm]r_1+I[/mm] * [mm]r_2+I[/mm] := [mm](r_1*r_2)[/mm] + I,
> Dann ist ja 1+I das neutrale Element,,sozusagen das
> Einselement.
genau.
> Nun hab ich ein beliebiges Element [mm](r_1[/mm] + I).
> Dessen Inverse wäre ja dann [mm](r_1^{-1}+I),[/mm] denn [mm](r_1[/mm] +
> [mm]I)*(r_1^{-1}+I)=(1+I);[/mm]
> r sind Elemente (in unserem Fall) aus [mm]\IQ[/mm] [X,Y] . Im
> Allgemeinen existieren doch da aber keine Inversen, also da
> z.B [mm]X^{-1}[/mm] kein Element davon ist.
es ist ja $X + (X, Y) = (X, Y)$ - also das nullelement in $R/I$ - dafür braucht man dann auch in einem körper kein inverses geben, folglich ist es kein problem, dass es [mm] $X^{-1}$ [/mm] in [mm] $\mathbb{Q}[X, [/mm] Y]$ nicht gibt.
> Ist f ein Ringhomomorphismus von R nach S, dann ist der
> Kern [mm]\ker(f)[/mm] ein Ideal von R und der Faktorring [mm]R/{\ker(f)}[/mm]
> ist isomorph zum Bild [mm]\operatorname{im}(f)[/mm]
ok.
> Kann man also nun folgern: da unser Ringhomomorphismus
> surjektiv ist hat jedes Element aus [mm]\IQ[/mm] ein Urbild. Oder
> das Bild von f ist ganz [mm]\IQ,[/mm] dieses ist isomorph zum
> Faktorring [mm]R/{\ker(f)}[/mm] ,also ist dieser ein Körper. I
> enthält den [mm]\ker(f)[/mm] . Aber damit ist doch immernoch nicht
> R/I (und dies gilt es doch zu zeigen) ein Körper,oder?
hier ist nun doch $f: [mm] \mathbb{Q}[X, [/mm] Y] [mm] \longrightarrow \mathbb{Q}; \; [/mm] p [mm] \longmapsto [/mm] p(0, 0)$ ein surjektiver ringhomomorphismus, also [mm] $\operatorname{im} \, [/mm] f = [mm] \mathbb{Q}$, [/mm] nach dem homomorphiesatz ist dann [mm] ${}^{\displaystyle \mathbb{Q}[X, Y]}/_{\displaystyle \ker \, f} \cong \mathbb{Q}$.
[/mm]
wir sind uns ja schon einig, dass [mm] $\ker \, [/mm] f [mm] \subseteq [/mm] (X, Y)$ (vergleiche deine zweite frage 13.06., 21:46). was hält dich davon ab, zu zeigen, dass auch [mm] $\ker \, [/mm] f [mm] \supseteq [/mm] (X, Y)$, dann wärst du doch fertig, oder?
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 So 14.06.2009 | | Autor: | oby |
> hi
> es ist ja [mm]X + (X, Y) = (X, Y)[/mm] - also das nullelement in
> [mm]R/I[/mm] - dafür braucht man dann auch in einem körper kein
> inverses geben, folglich ist es kein problem, dass es
> [mm]X^{-1}[/mm] in [mm]\mathbb{Q}[X, Y][/mm] nicht gibt.
Dann ist ja doch genauso z.B Y ein Nullelement,oder nicht? Aber was ist dann das Inverse zu (X+Y) + (X,Y) ?? [mm] (X+Y)^{-1} [/mm] ist doch aber kein Element von [mm] \IQ [/mm] [X,Y]??
>
> wir sind uns ja schon einig, dass [mm]\ker \, f \subseteq (X, Y)[/mm]
> (vergleiche deine zweite frage 13.06., 21:46). was hält
> dich davon ab, zu zeigen, dass auch [mm]\ker \, f \supseteq (X, Y)[/mm],
> dann wärst du doch fertig, oder?
Stimmt, das hab ich glaub ich kapiert. Muss ja dann oben falsch sein, dass das kein Körper ist. Hab jetzt hier nen Wiederspruch produziert. Bin etwas verwirrt, weil ich eigentlich nicht glauben kann, dass $ R/{(X,Y)} $ ein Körper ist. Wir habe aber grade gezeigt, dass [mm] \ker(f) [/mm] = (X,Y) und
$ [mm] R/{\ker(f)} [/mm] $ ist ja ein Körper. Wenn du mir noch das multiplikativ Inverse zu (X+Y)+I angeben könntest, wäre ich endgültig überzeugt *g*.
MfG Oby
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:47 So 14.06.2009 | | Autor: | andreas |
hi
> Dann ist ja doch genauso z.B Y ein Nullelement,oder nicht?
ja, das bild von $Y$ ist auch ein nullelement...
> Aber was ist dann das Inverse zu (X+Y) + (X,Y) ??
> [mm](X+Y)^{-1}[/mm] ist doch aber kein Element von [mm]\IQ[/mm] [X,Y]??
ja, $(X + [mm] Y)^{-1}$ [/mm] gibt es auch nicht in [mm] $\mathbb{Q}[X, [/mm] Y]$. überlege mal, was mit $X + Y$ unter $f$ passiert: $X + Y [mm] \stackrel{f}{\longmapsto} [/mm] 0 + 0 = 0$. andererseits sieht man auch direkt, dass $X + Y [mm] \in [/mm] (X, Y)$, das bild von $X + Y$ im quotientenring also trivial ist, also gibt's auch hier kein inverses (überlege dir einfach, dass durch das herausfaktorisieren alle summanden aus den polynomen verschwinden, die mindestens eine unbestimmte enthalten - das sieht man ziemlich direkt mit dem von mir angegeben einsetzungshomomorphismus).
> Stimmt, das hab ich glaub ich kapiert. Muss ja dann oben
> falsch sein, dass das kein Körper ist. Hab jetzt hier nen
> Wiederspruch produziert. Bin etwas verwirrt, weil ich
> eigentlich nicht glauben kann, dass [mm]R/{(X,Y)}[/mm] ein Körper
> ist. Wir habe aber grade gezeigt, dass [mm]\ker(f)[/mm] = (X,Y) und
> [mm]R/{\ker(f)}[/mm] ist ja ein Körper.
schreib doch mal den beweis für die beiden inklusionen [mm] $\ker \, [/mm] f [mm] \subseteq [/mm] (X, Y)$ und [mm] $\ker \, [/mm] f [mm] \supseteq [/mm] (X, Y)$ hier auf, dann wird es hoffnetlich endgültig klar.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 So 14.06.2009 | | Autor: | oby |
Hey,
also :
Sei p [mm] \in \ker(f) [/mm] -> f(p)=0 -> p(0,0)=0 -> p ist ein Polynom mit Absolutglied=0. Also lassen sich die X und die Y herausfaktorisieren,
p= [mm] X*(q_1) [/mm] + [mm] Y*(q_2), [/mm] wobei [mm] q_1,q_2 \in \IQ [/mm] [X,Y]
-> p [mm] \in [/mm] (X,Y) ;
Andersherum: Sei p [mm] \in [/mm] (X,Y), -> [mm] p=X*(q_1) [/mm] + [mm] Y*(q_2) [/mm] mit [mm] q_1,q_2 \in \IQ [/mm] [X,Y]
f(p)=p(0,0)=0 -> p [mm] \in \ker(f) [/mm] ;
Also (X,Y) = [mm] \ker(f) [/mm] ;
Der Faktorring [mm] R/{\ker(f)} [/mm] ist isomorph zum Bild [mm] \operatorname{im}(f) [/mm] = [mm] \IQ [/mm] , Da [mm] \IQ [/mm] ein Körper ist, ist auch [mm] R/{\ker(f)} [/mm] ein Körper , somit natürlich auch R/{(X,Y)}. Und dies liegt genau dann vor, wenn I=(X,Y) ein maximales Ideal von R= [mm] \IQ [/mm] [X,Y] ist.
Stimmt das jetzt so? Werd mich heute noch mal hinhocken und die Körperaxiome nachverifizieren, weil ich dass irgendwie nicht hinbekomme mit den multiplikativ Inversen. Die muss es ja aber geben, aber ich glaub, dass es auch da bald den berühmten "Klick" geben wird, wo mir alles klar wird!
Vielen Dank, du hast mir schonmal sehr geholfen!
MfG Oby
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:44 So 14.06.2009 | | Autor: | andreas |
hi
> Stimmt das jetzt so?
das sieht gut aus.
> Werd mich heute noch mal hinhocken und
> die Körperaxiome nachverifizieren, weil ich dass irgendwie
> nicht hinbekomme mit den multiplikativ Inversen. Die muss
> es ja aber geben, aber ich glaub, dass es auch da bald den
> berühmten "Klick" geben wird, wo mir alles klar wird!
vielleicht noch ein hinweis, wie du schnell darauf kommst. vermutlich lernst du aber mehr dabei, wenn du erstmal selber herum probierst. ein element $f + I$ in $R/I$ ($R = [mm] \mathbb{Q}[X, [/mm] Y]$ $I = (X, Y)$) ist genau dann invertierbar, wenn in $f = r + [mm] \sum_{i + j \geq 1} r_{i, j}X^iY^j$ [/mm] der absolutkoeffizient $r [mm] \not= [/mm] 0$. dann ist $f + I = r + I$. wie könnte nun das inverse aussehen? bedenke $r [mm] \in \mathbb{Q}\setminus \{0\}$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 So 14.06.2009 | | Autor: | oby |
Hey!
> dann ist [mm]f + I = r + I[/mm].
> wie könnte nun das inverse aussehen? bedenke [mm]r \in \mathbb{Q}\setminus \{0\}[/mm].
Ich denke mal, das müsste [mm] r^{-1} [/mm] + I sein, weil ja
[mm] (r^{-1} [/mm] + [mm] I)*(r+I)=(r^{-1}*r)+I=1+I [/mm] ;
Und da r [mm] \in \IQ \backslash \{0\} [/mm] existiert zu jedem r ein [mm] r^{-1} [/mm] ,
Okay,wenn ich nun z.B. die Maximalität von I = [mm] (X^2-1,Y) [/mm] untersuchen möchte, dann wäre f+I mit [mm] f=x^2-1 [/mm] = -1+I invers zu sich selbst. Kritisch sind also die Fälle, bei denen der Absolutkoeffizient = 0 ist. So z.B. f=X Dieses ist weder neutrales Element X + I [mm] \not= [/mm] I noch ist es invertierbar (da Absolutglied=0) in R/I . Also ist dies kein Körper und I auch kein maximales Ideal,oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 So 14.06.2009 | | Autor: | oby |
Hallo nochmal.
Mal ganz allgemein,
I Ideal von R;
Dann ist doch R/I ein Ring, der "Faktorring".
[mm] r_1 [/mm] +I * [mm] r_2 [/mm] +I = [mm] r_1*r_2 [/mm] +I ;
-> Ist R abelsch, so auch R/I ;
-> Besitzt R ein Einselement, dann ist [mm] 1_R [/mm] + I das Einselement von R/I ;
-> Ist jedes Element von R invertierbar so ist [mm] r^{-1} [/mm] + I das Inverse zu r + I;
Also ist R/I ein Körper falls R ein Körper ist,
sprich ist R ein Körper, dann ist jedes Ideal ein maximales Ideal???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:59 So 14.06.2009 | | Autor: | andreas |
hi
> Also ist R/I ein Körper falls R ein Körper ist,
... und $I [mm] \not= [/mm] R$, da man den nullring $0 = R/R$ im allgemeien nicht als körper zählt.
> sprich ist R ein Körper, dann ist jedes Ideal ein
> maximales Ideal???
jedes vom ganzen körper verschiedene ideal eines körpers ist maximal, genau. aber in körpern gibt's ja nicht so viele ideale 
grüße
andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:55 So 14.06.2009 | | Autor: | andreas |
hi
> > dann ist [mm]f + I = r + I[/mm].
> > wie könnte nun das inverse aussehen? bedenke [mm]r \in \mathbb{Q}\setminus \{0\}[/mm].
>
> Ich denke mal, das müsste [mm]r^{-1}[/mm] + I sein, weil ja
> [mm](r^{-1}[/mm] + [mm]I)*(r+I)=(r^{-1}*r)+I=1+I[/mm] ;
> Und da r [mm]\in \IQ \backslash \{0\}[/mm] existiert zu jedem r ein
> [mm]r^{-1}[/mm] ,
genau.
> Okay,wenn ich nun z.B. die Maximalität von I = [mm](X^2-1,Y)[/mm]
> untersuchen möchte, dann wäre f+I mit [mm]f=x^2-1[/mm] = -1+I invers
> zu sich selbst.
hm, meinst du vielleicht [mm] $X^2 [/mm] - 2$? dann ist $f + I = -1 + I$ und $(f + [mm] I)^2 [/mm] = 1 + I$, also $f + I$ selbstinvers. (die schreibweise [mm] $X^2 [/mm] - 1 = -1 + I$ ist etwas unglücklich, da auf der einen seite ein element des polynomrings, auf der anderen seite ein element des quotientenrings steht).
> Kritisch sind also die Fälle, bei denen
> der Absolutkoeffizient = 0 ist. So z.B. f=X Dieses ist
> weder neutrales Element X + I [mm]\not=[/mm] I noch ist es
> invertierbar (da Absolutglied=0) in R/I . Also ist dies
> kein Körper und I auch kein maximales Ideal,oder?
berechne doch mal für $f = X$ die zweite potenz im quotientenring, also $(f + [mm] I)^2$, [/mm] was ergibt sich? ist $f + I$ vielleicht doch eine einheit?
um zu zeigen, dass $I$ nicht maximal ist, berechne etwa für $g = X - 1$ und $h = X + 1$ das produkt $(g + I)(h + I)$. warum zeigt dies, dass $I$ nicht maximal ist?
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 So 14.06.2009 | | Autor: | oby |
> hm, meinst du vielleicht [mm]X^2 - 2[/mm]? dann ist [mm]f + I = -1 + I[/mm]
Stimmt, man kann ja immer Vielfache des Polynoms abziehen.
> und [mm](f + I)^2 = 1 + I[/mm], also [mm]f + I[/mm] selbstinvers.
Das sehe ich ein.
> berechne doch mal für [mm]f = X[/mm] die zweite potenz im
> quotientenring, also [mm](f + I)^2[/mm], was ergibt sich? ist [mm]f + I[/mm]
> vielleicht doch eine einheit?
Nunja [mm] (f+I)^2 [/mm] = [mm] f^2 [/mm] + I = [mm] X^2 [/mm] + I = -1 +I
Was ist eine Einheit?
> um zu zeigen, dass [mm]I[/mm] nicht maximal ist, berechne etwa für [mm]g = X - 1[/mm]
> und [mm]h = X + 1[/mm] das produkt [mm](g + I)(h + I)[/mm]. warum zeigt dies,
> dass [mm]I[/mm] nicht maximal ist?
(g+I)(h+I)=gh + I =(X-1)(X+1) + I= [mm] (x^2 [/mm] - 1) + I = I
Warum ist dieses Ideal denn nicht maximal? Mir würde dazu die Nullteilerfreiheit eines Körpers einfallen??Also kann R/I kein Körper sein,nicht wahr?? Und somit ist I nicht maximal??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:27 So 14.06.2009 | | Autor: | andreas |
hi
> > berechne doch mal für [mm]f = X[/mm] die zweite potenz im
> > quotientenring, also [mm](f + I)^2[/mm], was ergibt sich? ist [mm]f + I[/mm]
> > vielleicht doch eine einheit?
>
> Nunja [mm](f+I)^2[/mm] = [mm]f^2[/mm] + I = [mm]X^2[/mm] + I = -1 +I
[mm] $X^2 [/mm] + I = [mm] X^2 [/mm] - [mm] (X^2 [/mm] - 1) + I = 1 + I$
> Was ist eine Einheit?
ein anderes wort für invertierbares element.
> > um zu zeigen, dass [mm]I[/mm] nicht maximal ist, berechne etwa für [mm]g = X - 1[/mm]
> > und [mm]h = X + 1[/mm] das produkt [mm](g + I)(h + I)[/mm]. warum zeigt dies,
> > dass [mm]I[/mm] nicht maximal ist?
>
> (g+I)(h+I)=gh + I =(X-1)(X+1) + I= [mm](x^2[/mm] - 1) + I = I
>
> Warum ist dieses Ideal denn nicht maximal? Mir würde dazu
> die Nullteilerfreiheit eines Körpers einfallen??Also kann
> R/I kein Körper sein,nicht wahr?? Und somit ist I nicht
> maximal??
genau. da $g + I [mm] \not [/mm] = 0 [mm] \not= [/mm] h + I$, aber $(g + I)(h + I) = 0$ ist $R/I$ nicht nullteilerfrei, also kein körper. (nebenbei: [mm] $\mathbb{Q}[X, [/mm] Y]/I [mm] \cong \mathbb{Q} \times \mathbb{Q}$.)
[/mm]
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:40 So 14.06.2009 | | Autor: | oby |
Alles klar. Habs jetzt glaub ich gänzlich kapiert und hab auch keine weiteren Fragen mehr. Juhuu!
Also vielen vielen Dank für deine geduldigen Antworten!! Ich wünsche noch einen schönen Sonntag Abend!
Nebenbei mal ein riesieges Kompliment an den Matheraum:
Ich finde diese Seite echt genial, anstatt alleine tagelang vor einer Aufgabe zu sitzen und total zu frustrieren bekommt man hier wirklich immer eine super Hilfestellung (hatte schon öfters Probleme hier reingestellt), das ist motivierend und macht nebenbei auch noch Spaß! Ganz abgesehen davon lernt man noch viel neben der Aufgabenstellung darüber hinaus. Also ein dickes Lob an alle,die hier mitwirken!
Ich wünschte,ich hätte diese Seite schon ab dem ersten Semester genutzt!!
MfG Oby
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