Max. Fläche in einer Parabel < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:51 Mo 24.04.2006 | | Autor: | tyruz |
| Aufgabe | | In die Fläche, die die Parabel mit f(x)=12-x² mit der x-Achse einschließt, soll ein möglichst großes Rechteck einbeschrieben werden. Wie große ist die Länge l und die Breite b des Rechtecks? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mein kleiner Lösungsansatz ist:
HB=> A=a*b
NB=> leider keine Ahnung, was mich an dieser Aufgabe scheitern lässt. Oder wende ich hier die Lösungsformel bei f(x)=12-x² an, was mir aber nicht logisch erscheint.
|
|
| |
|
Hallo tyruz!
Mache Dir am besten eine Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Und da siehst Du dann (hoffentlich), dass zu einem beliebigen Wert [mm] $x_0$ [/mm] die Breite des Rechteckes beträgt: $b \ = \ [mm] 2*x_0$ [/mm] .
Die zugehörige Höhe wird gebildet durch den entsprechenden Funktionswert der vorgegebenen Funktion: $a \ = \ [mm] y_0 [/mm] \ = \ [mm] f(x_0) [/mm] \ = \ [mm] 12-x_0^2$ [/mm] .
Dies nun eingesetzt in die Hauptbedingung $A \ = \ a*b$ ergibt:
[mm] $A(x_0) [/mm] \ = \ [mm] \left(12-x_0^2\right)*2x_0 [/mm] \ = \ ...$
Gruß vom
Roadrunner
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:49 Mo 24.04.2006 | | Autor: | tyruz |
Ich hab jetzt so weitergerechnet:
A=(12-x²)*2x
A=24x-x³
A'=24-3x²
0=24-3x²
aber ich muss doch jetzt nicht nach x umstellen oder? Wollte doch irgendwo l und b raushaben.
|
|
|
| |
|
Hallo tyruz!
> Ich hab jetzt so weitergerechnet:
>
> A=(12-x²)*2x
> A=24x-x³
> A'=24-3x²
> 0=24-3x²
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Richtig!
> aber ich muss doch jetzt nicht nach x umstellen oder?
Doch, eine andere Variable haben wir doch gerade gar nicht ...
> Wollte doch irgendwo l und b raushaben.
Können wir doch ...
... im Anschluss aus dem Wert [mm] $x_0$ [/mm] : $a \ = \ [mm] 12-x_0^2$ [/mm] bzw. $b \ = \ [mm] 2*x_0$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Mo 24.04.2006 | | Autor: | tyruz |
ok weitere Berechnung:
0=24-3x² /-24
-24=-3x² /:(-3)
8=x²
b=2*8=16
l=12-8=4
stimmen die Ergebnisse?
wobei bei doch viel zu hoch ist und garkeine 16 sein kann, wenn die Parabel nur bis 12 geht, oder irre ich?
und gleich noch eine Frage, bei Aufgaben dieser Art, kann ich da immer die Ausgangsformel als höhe (b) nehmen?
|
|
|
| |
|
Hallo tyruz!
> ok weitere Berechnung:
>
> 0=24-3x² /-24
> -24=-3x² /:(-3)
> 8=x²
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Aber hier bist Du ja noch nicht fertig. Wir wollen ja $x \ = \ [mm] x^{\red{1}} [/mm] \ = \ ...$ dastehen haben.
> b=2*8=16
> l=12-8=4
>
> stimmen die Ergebnisse?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Nein, siehe oben ...
> wobei bei doch viel zu hoch ist und garkeine 16 sein kann,
> wenn die Parabel nur bis 12 geht, oder irre ich?
Richtig beobachtet ...
> und gleich noch eine Frage, bei Aufgaben dieser Art, kann
> ich da immer die Ausgangsformel als höhe (b) nehmen?
Das kann man jetzt nicht so pauschal sagen ... aber hilfreich ist immer eine Skizze.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 Mo 24.04.2006 | | Autor: | tyruz |
Also hab ich nur die [mm] \wurzel{} [/mm] vergessen?
heist:
[mm] b=2*\wurzel{}8=5,66
[/mm]
[mm] l=12-\wurzel{}8=9,17
[/mm]
EDIT: Sehe gerade 9,17 kann ja auch laut Skizze nicht sein, bitte nochmals um deine Hilfe, kann auch mit deiner letzten Hilfestellung leider nicht viel anfangen.
hoffe das stimmt jetzt, wenn nein wäre es nett du würdest mir nochmals auf die Sprünge helfen,
ansonsten schonmal vielen danke für deine vielen Antworten und deine Zeit heute.
|
|
|
| |
|
Hallo tyruz!
> Also hab ich nur die [mm]\wurzel{}[/mm] vergessen?
Ja, "nur" ... 
Wir haben also nun [mm] $x_0 [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{8} [/mm] \ = \ [mm] 2*\wurzel{2} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 2.828$
Dies müssen wir nun aber der Vollständigkeit halber auch in die 2. Ableitung einsetzen und kontrollieren, ob gilt [mm] $A''(x_0) [/mm] \ [mm] \red{<} [/mm] \ 0$ , um sicherzustellen, dass es sich auch wirklich um ein Maximum handelt.
> heist:
>
> [mm]b=2*\wurzel{}8=5,66[/mm]
Richtig!
> [mm]l=12-\wurzel{}8=9,17[/mm]
Und hier unterschlägst Du das [mm] $(...)^{\red{2}}$ [/mm] der Funktionsvorschrift.
Es gilt also: $l \ = \ [mm] 12-\left( \ \wurzel{8} \ \right)^{\red{2}} [/mm] \ = \ 12-8 \ = \ 4$
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:29 Mo 24.04.2006 | | Autor: | tyruz |
Ich habe eben gesehen, das ich im mittleren Teil einen Fehler gemacht habe den du wohl auch übersehen hast :(
Und zwar:
A=(12-x²)*2x [ich hatte raus: A=24x-x³]
doch richtig ist: A=(24-2x³)
Diese 2 hat natürlich alles kaputt gemacht....
Deswegen neue Lösung ab da:
A=24x-2x³
A'=24-6x²
0=24-6x² /-24
-24=-6x² /:(-6)
4=x²
x= [mm] \wurzel{}4
[/mm]
x=2
b=2x
b=2*2=4
l=12-x²
l=4
Könnte das bitte nochmals wer kontrollieren ob die Rechnung stimmt? danke
|
|
|
| |
|
Hallo.
Wenn die Gleichung denn jetzt so stimmt, dann ist deine Rechnung bis auf den letzten Schritt richtig...
[mm] l=12-x^2=12-2^2=12-4=8...
[/mm]
Aber sonst sieht da alles richtig raus.
Schönen Abend dir noch,
San
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:44 Mo 24.04.2006 | | Autor: | tyruz |
hm stimmt wohl ein wenig zu schnell vorgegangen am Ende.
Dir auch noch schönen Abend und danke für eure extrem schnellen Antworten Thema ist damit abgeschlossen aber nächsten Fragen kommen bestimmt :)
|
|
|
|
