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Max.Fläche zwischen 2 Parabeln: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:59 Sa 05.03.2005
Autor: lampeater

Hallo, habe eine Aufgabenstellung bekommen, an der ich als Nicht-Mathe-Experte doch ziemlich zu knabbern habe. Ich hoffe, Ihr könnt helfen. Hier die Aufgabe:

Aus der Fläche, die von den Parabeln f(x)= - [mm] x^{2}+5 [/mm] und g(x)=  [mm] x^{2}+1 [/mm] umschlossen wird, soll ein Rechteck mit maximalem Flächeninhalt gebildet werden. Die Rechteckseiten sollen parallel zur x- und y-Achse laufen.
Bestimme die Eckpunkte des Rechtecks.

ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Max.Fläche zwischen 2 Parabeln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:24 Sa 05.03.2005
Autor: Max

Hi lampeter,

[willkommenmr]

Du hast ja hoffentlich schon mal beide Grapgen skizziert und festgestellt, dass beide zur $y$-Achse symmetrisch sind, d.h. du kannst z.B. im 1. Quadranten ein Rechteck einschreiben und wenn dieses maximalen Flächeninhalt hat, einfach noch das gespiegelte Rechteck dazu nehmen.

Das heißt es reicht, wenn du für die Breite $x$ wählst, also von $0$ bis $x$. Da $f$ nach unten geöffnet ist und $g$ nach oben geöffnet ist, ist die Differenz $f(x)-g(x)$ die maximale Höhe, die das einbeschriebene Rechteck haben kann. Damit hast du die sogenannte Zielfunktion $A(x)= x [mm] \cdot \left( f(x)-g(x) \right)$, [/mm] die den Flächeninhlat des einbeschriebenen Rechtecks in Abhängigkeit von der Breite $x$ beschreibt.

Und wie man ein Maximum von $A(x)$  bestimmt weißt du ja ;-)

Gruß Brackhaus



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Max.Fläche zwischen 2 Parabeln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:32 Sa 05.03.2005
Autor: Plantronics

Hi,
das ist ja eine typische Extremwertaufgabe!
Hast du dir schon mal die Fkt. zeichnen lassen?
Also ich habs mal für dich gemacht und auch gleich eine sinnvolle Beschriftung eingeführt!
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Fläche ist also (2x)*(y-z), und die sollte Maximal werden.
Unsere zu maximierende Fkt. m(x,y,z)=(2x)*(y-z) hängt jedoch noch von 3 Variablen x,y,z ab.
So, jetzt musst du noch sinnvolle Nebenbedingungen finden (also irgendeine Möglichkeit y und z durch x auszudrücken; kleiner Tipp f(x) und g(x) helfen)!
Die setzt du dann ein. Und um ein Maximum zu finden musst du die funktion einfach 1x ableiten, null setzten und du bekommst kritische Punkte (maximas und minimas).
Falls du noch fragen hast helfe ich gerne weiter.
mfg,
   Martin
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Max.Fläche zwischen 2 Parabeln: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:54 Sa 05.03.2005
Autor: Zwerglein

Hi, Mathe-Kumpels,

der Graph von Plantronics beschreibt die Situation ganz gut, obwohl: er hat die Situation leicht abgeändert! Macht aber nix, weil sich trotzdem der Ansatz damit sehr gut nachvollziehen lässt!

Aber, Plantronics: Gewöhn' Dir bitte ab, von "Maximas" und Minimas"  zu sprechen. Das ist etwa so, als wenn Du sagst: Da galoppieren die Pferdes!

Singular: Maximum.
Plural: Maxima.
(Latein!)

Nix für ungut, aber: Auch das ist Mathematik!

mfG!
Zwerglein

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