Matriznormen äquivalent < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:26 Mo 26.10.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Alle Normen auf [mm] \mathbb{K}^{m\times n} [/mm] sind zueinander äquivalent. |
In Analysis 1 wurde gezeigt, dass alle Normen auf [mm] \mathbb{K}^n [/mm] äquivalent zur Maximumsnorm sind. Im Beweis wurde verwendet, dass jede Norm ||.|| auf dem [mm] \mathbb{K}^n [/mm] eine Lipschitzstetige Funktion bezüglich der Metrik [mm] d(x,y):=max_{1\le i\le n} |x_i-y_i| [/mm] des [mm] \mathbb{K}^n [/mm] ist. Aus der Komapktheit der Einheitsphäre folgt, dass |.| hier ihr Maximum und Minimum und jeden Zwischenwert annimmt.Woraus die Bedingung folgt.
Könnte man einen analogen Beweis auf [mm] \mathbb{K}^{m\times n} [/mm] führen indem man zeigt, dass die Zeilensummennorm(die von der Maximumsnorm indizuierte) äquivalent zu jeder anderen Matrixnorm ist?(Ohne die Verwendung des obigen Satzes aus Analysis1)
Denn wenn ich den analog zu oben durchführen möchte:
Sei ||.|| eine Norm auf [mm] \mathbb{K}^{m \times n}
[/mm]
ZZ: ||.||: [mm] \mathbb{K}^{m \times n} \rightarrow \mathbb{K} [/mm] Lipschitzstetig und auf [mm] \mathbb{K}^{m \times n} [/mm] nehme ich die zeilensummennorm.
Sei [mm] I_{n\times m}^{(1)}= \pmat{ 1 & 0 &..&0 \\ 0 & 0 &..&0\\ \vdots & \vdots & \ddots& \vdots\\0 & 0 &..&0}, I_{n\times m}^{(2)}=\pmat{ 0 & 0 &..&0 \\ 0 & 1 &..&0\\\vdots & \vdots & \ddots& \vdots\\0 & 0 &..&0},..
[/mm]
| ||A|| - ||B|| | [mm] \le [/mm] ||A-B||= [mm] ||\sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m (a_{ij}-b_{ij}) I_{n\times m}^{(j)}|| \le \sum_{j=1}^n ||\sum_{i=1}^m (a_{ij}-b_{ij}) I_{n\times m}^{(j)}|| \le \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m ||(a_{ij}-b_{ij}) I_{n\times m}^{(j)}|| \le \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m |(a_{ij}-b_{ij})| *||I_{n\times m}^{(j)}||
[/mm]
Wenn ich nun abschätze mit dem Maximum ist das jedoch nicht die Zeilensummennorm von A-B weil hier nochmal addiert wird.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Mi 28.10.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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