Matrizengleichung lösen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:03 Mo 08.03.2010 | | Autor: | feelx86 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich möchte die Matrizengleichung P*A+A'*P=-Q nach P auflösen, wobei A und Q jeweils quadratisch sind. Gibt es für diese Gleichung eine Lösungsgleichung in Matrizenform oder muss ich den Weg das lineare Gleichungssystem einschlagen?
Danke für eure Hilfe
Gruß
Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:29 Mo 08.03.2010 | | Autor: | straussy |
Ist das eine Übungsaufgabe? Ich glaube nämlich, dass die Gleichung [mm]XA+BX=C[/mm] nicht so einfach nach [mm]X[/mm] auflösbar ist. Falls du doch eine Lösung findest, dann poste sie mal bitte. Die Aufgabe ist durchaus interessant.
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> ich möchte die Matrizengleichung P*A+A'*P=-Q nach P
> auflösen, wobei A und Q jeweils quadratisch sind.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Du solltest hier mal die vollständige Aufgabe im Originalwortlaut posten.
Worum geht es denn genau? (Was ist A' ?)
Gruß v. Angela.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:06 Mi 10.03.2010 | | Autor: | feelx86 |
Hallo,
die Gleichung bezieht sich nicht auf eine Aufgabe sondern auf eine Herleitung in einem Script. Es geht hierbei um die Lyapunov Stabilität eines Systems (in der Regelungstechnik). A ist hierbei die Systemmatrix und P folgt aus der Potentialfunktion V(x)=x'*P*x.
Die Ableitung nach der Zeit folgt dann mit V_punkt=x'(PA+A'P)*x=-x'*Q*x
Q muss für asymptotische Stabilität positiv definit sein und somit ist die Bedingung für asymptotische Stabilität:
P*A+A'*P=-Q
Q lässt sich beliebig annehmen, muss aber positiv definit sein. Daraus ergibt sich dann eine Lösung P. P muss symmetrisch und ebenfalls positiv semidefinit sein um stabilität zu gewährleisten.
Es geht mir aber eigentlich nur um die Frage ob es möglich ist die Gleichung nach P aufzulösen, ich habe es nämlich nicht hinbekommen.
Gruß
Felix
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Gibt es auch irgendwelche Informationen über A? Falls A symmetrisch und invertierbar ist, ist die Lösung einfach [mm]P=-\frac{1}{2}A^{-1}Q[/mm].
Da du ja schon voraussetzt, dass [mm]P[/mm] symmetrisch ist, kannst du das auch in der Ableitung benutzen. [mm]\nabla V(x) =2Px[/mm]
Wenn ich das richtig verstanden habe, ist dein System [mm]\dot{x}=Ax[/mm]. Und dann ist die Richtungsableitung von [mm]V[/mm] in Richtung [mm]Ax[/mm] gleich [mm]2x^TP^TAx[/mm]. Also [mm]\dot{V}(x)=2x^TPAx=-x^TQx[/mm] und damit [mm]P=-\frac{1}{2}QA^{-1}[/mm].
Gruß
Tobias
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