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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Matrizengleichung AX + B = X
Matrizengleichung AX + B = X < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Matrizengleichung AX + B = X: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:26 Di 15.01.2013
Autor: Clark

Aufgabe
Gegeben ist die Matrizengleichung AX + B = X

mit A = [mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 1 & a & 0 \\ 3a & 1 & 2 } [/mm] und B = [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ -2 & 1 \\ 4 & -1 } [/mm]
                      
                      
Für welches a ist die Matrizengleichung lösbar?
Wie lautet die Lösung für a=0?

Bei der Addition von Matrizen ist ja definiert, das beide Matrizen die gleiche Anzahl an Zeilen und die gleiche Anzahl an Spalten aufweisen muss. Da dies nicht gegeben ist, suche ich nun nach dem Schema zur Lösung.

Frage: Wie löse ich also nun solch einen Aufgabentyp?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Matrizengleichung AX + B = X: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:34 Di 15.01.2013
Autor: schachuzipus

Hallo Clark und erstmal herzlich [willkommenmr],


> Gegeben ist die Matrizengleichung AX + B = X
>  
> mit A = [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 1 & a & 0 \\ 3a & 1 & 2 }[/mm] und B
> = [mm]\pmat{ 2 & 1 \\ -2 & 1 \\ 4 & -1 }[/mm]
>                        
>  
>
> Für welches a ist die Matrizengleichung lösbar?
>  Wie lautet die Lösung für a=0?
>  Bei der Addition von Matrizen ist ja definiert, das beide
> Matrizen die gleiche Anzahl an Zeilen und die gleiche
> Anzahl an Spalten aufweisen muss. Da dies nicht gegeben
> ist, suche ich nun nach dem Schema zur Lösung.
>  
> Frage: Wie löse ich also nun solch einen Aufgabentyp?

Na, stelle mal soweit nach $X$ um wie möglich:

$AX-X=-B$

Das geht problemlos mit Matrizenaddition, nun Distributiv ausklammern:

[mm] $\gdw (A-E_3)X=-B$, [/mm] wobei [mm] $E_3$ [/mm] die [mm] $3\times [/mm] 3$-Einheitsmatrix ist.

Nun müsstest du die Gleichung von links mit [mm] $(A-E_3)^{-1}$ [/mm] multiplizieren, um nach $X$ aufzulösen.

Prüfe mal, für welche $a$ denn [mm] $A-E_3$ [/mm] invertierbar ist.

Das ist der Knackpunkt bei den Umformungen, da nicht jede Matrix invertierbar ist ...

>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Gruß

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Matrizengleichung AX + B = X: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:10 Di 15.01.2013
Autor: felixf

Moin!

> Nun müsstest du die Gleichung von links mit [mm](A-E_3)^{-1}[/mm]
> multiplizieren, um nach [mm]X[/mm] aufzulösen.
>  
> Prüfe mal, für welche [mm]a[/mm] denn [mm]A-E_3[/mm] invertierbar ist.
>  
> Das ist der Knackpunkt bei den Umformungen, da nicht jede
> Matrix invertierbar ist ...

Das ist allerdings nur eine hinreichende, aber i.A. keine notwendige Bedingung zur Loesbarkeit :-)

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Matrizengleichung AX + B = X: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:36 Di 15.01.2013
Autor: Clark

Danke schonmal für eure Antworten!

> Nun müsstest du die Gleichung von links mit [mm](A-E_3)^{-1}[/mm]
> multiplizieren, um nach [mm]X[/mm] aufzulösen.

Wie genau macht man das?
  

> Prüfe mal, für welche [mm]a[/mm] denn [mm]A-E_3[/mm] invertierbar ist.

  
Also  [mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 1 & a & 0 \\ 3a & 1 & 2 } $\vmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1} [/mm]  und dann z.B. a=2 und dann umformen bis die 0 an den entsprechenden Stellen steht?




Bezug
                        
Bezug
Matrizengleichung AX + B = X: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:43 Di 15.01.2013
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> Danke schonmal für eure Antworten!
>  
> > Nun müsstest du die Gleichung von links mit [mm](A-E_3)^{-1}[/mm]
> > multiplizieren, um nach [mm]X[/mm] aufzulösen.
>  
> Wie genau macht man das?
>
> > Prüfe mal, für welche [mm]a[/mm] denn [mm]A-E_3[/mm] invertierbar ist.
>    
> Also  [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 1 & a & 0 \\ 3a & 1 & 2 } $\vmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}[/mm]
>  und dann z.B. a=2 und dann umformen bis die 0 an den
> entsprechenden Stellen steht?

Nein, eine Matrix ist invertierbar genau dann, wenn ihre Determinante [mm] \neq [/mm] 0$ ist.

Berechne also in Abh. von [mm]a[/mm] die Determinante von [mm]A-E_3=\pmat{1&0&0\\ 1&a-1&0\\ 3a&1&1}[/mm].

Aber beachte Felix' Hinweis:

Das mit dem Inversen dient "nur" dazu, explizit nach X aufzulösen.

Es kann andere Lösungen geben ...

Wenn du die obige Determinante mal berechnest, so gibt es genau ein a, für das [mm] $A-E_3$ [/mm] nicht invertierbar ist.

Für alle anderen a ist sie invertierbar und du kannst die Matrixgleichung explizit nach X auflösen.

Für das "böse" a, rechne es geradeheraus aus, setze es ein und schaue, ob die Matrixgleichung lösbar ist ...


Gruß

schachuzipus


Bezug
                                
Bezug
Matrizengleichung AX + B = X: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:21 Di 15.01.2013
Autor: Marcel

Hallo Schachu,

> Hallo nochmal,
>  
>
> > Danke schonmal für eure Antworten!
>  >  
> > > Nun müsstest du die Gleichung von links mit [mm](A-E_3)^{-1}[/mm]
> > > multiplizieren, um nach [mm]X[/mm] aufzulösen.
>  >  
> > Wie genau macht man das?
> >
> > > Prüfe mal, für welche [mm]a[/mm] denn [mm]A-E_3[/mm] invertierbar ist.
>  >    
> > Also  [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 1 & a & 0 \\ 3a & 1 & 2 } $\vmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}[/mm]
> >  und dann z.B. a=2 und dann umformen bis die 0 an den

> > entsprechenden Stellen steht?
>  
> Nein, eine Matrix ist invertierbar genau dann, wenn ihre
> Determinante [mm]\neq[/mm] 0$ ist.
>  
> Berechne also in Abh. von [mm]a[/mm] die Determinante von
> [mm]A-E_3=\pmat{1&0&0\\ 1&a-1&0\\ 3a&1&1}[/mm].
>  
> Aber beachte Felix' Hinweis:
>  
> Das mit dem Inversen dient "nur" dazu, explizit nach X
> aufzulösen.
>  
> Es kann andere Lösungen geben ...
>  
> Wenn du die obige Determinante mal berechnest, so gibt es
> genau ein a, für das [mm]A-E_3[/mm] nicht invertierbar ist.

nicht schlecht, das zu wissen: Jetzt kann ich durch einfaches Hingucken
sogar schon sagen, welches das ist (man findet dann ja anscheinend nur
genau ein [mm] $a\,,$ [/mm] für das die zweite und dritte Spalte linear abhängig sind).

Nebenbei: Läßt sich die Determinante einer (oberen oder unteren)
Dreiecksmatrix nicht relativ schnell berechnen?

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                        
Bezug
Matrizengleichung AX + B = X: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:36 Di 15.01.2013
Autor: schachuzipus

Aye Marcel,



> > > > Prüfe mal, für welche [mm]a[/mm] denn [mm]A-E_3[/mm] invertierbar ist.
>  >  >    
> > > Also  [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 1 & a & 0 \\ 3a & 1 & 2 } $\vmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}[/mm]
> > >  und dann z.B. a=2 und dann umformen bis die 0 an den

> > > entsprechenden Stellen steht?
>  >  
> > Nein, eine Matrix ist invertierbar genau dann, wenn ihre
> > Determinante [mm]\neq[/mm] 0$ ist.
>  >  
> > Berechne also in Abh. von [mm]a[/mm] die Determinante von
> > [mm]A-E_3=\pmat{1&0&0\\ 1&a-1&0\\ 3a&1&1}[/mm].
>  >  
> > Aber beachte Felix' Hinweis:
>  >  
> > Das mit dem Inversen dient "nur" dazu, explizit nach X
> > aufzulösen.
>  >  
> > Es kann andere Lösungen geben ...
>  >  
> > Wenn du die obige Determinante mal berechnest, so gibt es
> > genau ein a, für das [mm]A-E_3[/mm] nicht invertierbar ist.
>  
> nicht schlecht, das zu wissen: Jetzt kann ich durch
> einfaches Hingucken

Mit dem Adlerblick quasi [lupe]

> sogar schon sagen, welches das ist (man findet dann ja
> anscheinend nur
>  genau ein [mm]a\,,[/mm] für das die zweite und dritte Spalte
> linear abhängig sind).
>  
> Nebenbei: Läßt sich die Determinante einer (oberen oder
> unteren)
> Dreiecksmatrix nicht relativ schnell berechnen?

Wenn man weiß wie, dann ja ;-)

>  
> Gruß,
>    Marcel

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schachuzipus


Bezug
                                                
Bezug
Matrizengleichung AX + B = X: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:44 Di 15.01.2013
Autor: Marcel

Hallo,

> Aye Marcel,
>  
>
>
> > > > > Prüfe mal, für welche [mm]a[/mm] denn [mm]A-E_3[/mm] invertierbar ist.
>  >  >  >    
> > > > Also  [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 1 & a & 0 \\ 3a & 1 & 2 } $\vmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}[/mm]
> > > >  und dann z.B. a=2 und dann umformen bis die 0 an den

> > > > entsprechenden Stellen steht?
>  >  >  
> > > Nein, eine Matrix ist invertierbar genau dann, wenn ihre
> > > Determinante [mm]\neq[/mm] 0$ ist.
>  >  >  
> > > Berechne also in Abh. von [mm]a[/mm] die Determinante von
> > > [mm]A-E_3=\pmat{1&0&0\\ 1&a-1&0\\ 3a&1&1}[/mm].
>  >  >  
> > > Aber beachte Felix' Hinweis:
>  >  >  
> > > Das mit dem Inversen dient "nur" dazu, explizit nach X
> > > aufzulösen.
>  >  >  
> > > Es kann andere Lösungen geben ...
>  >  >  
> > > Wenn du die obige Determinante mal berechnest, so gibt es
> > > genau ein a, für das [mm]A-E_3[/mm] nicht invertierbar ist.
>  >  
> > nicht schlecht, das zu wissen: Jetzt kann ich durch
> > einfaches Hingucken
>
> Mit dem Adlerblick quasi [lupe]

that's it! [grins]
  

> > sogar schon sagen, welches das ist (man findet dann ja
> > anscheinend nur
>  >  genau ein [mm]a\,,[/mm] für das die zweite und dritte Spalte
> > linear abhängig sind).
>  >  
> > Nebenbei: Läßt sich die Determinante einer (oberen oder
> > unteren)
> > Dreiecksmatrix nicht relativ schnell berechnen?
>  
> Wenn man weiß wie, dann ja ;-)

Man kann sich das bei [mm] $3\times [/mm] 3$-Matrizen auch innerhalb von Sekunden
überlegen (schlimmstenfalls nehme man den Telefonjoker, um []den
ehrenwerten Herrn Sarrus
anzurufen...).

;-)

Gruß,
  Marcel

Bezug
        
Bezug
Matrizengleichung AX + B = X: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:42 Di 15.01.2013
Autor: Marcel

Hallo,

> Gegeben ist die Matrizengleichung AX + B = X
>  
> mit A = [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 1 & a & 0 \\ 3a & 1 & 2 }[/mm] und B
> = [mm]\pmat{ 2 & 1 \\ -2 & 1 \\ 4 & -1 }[/mm]
>                        
>  
>
> Für welches a ist die Matrizengleichung lösbar?
>  Wie lautet die Lösung für a=0?
>  Bei der Addition von Matrizen ist ja definiert, das beide
> Matrizen die gleiche Anzahl an Zeilen und die gleiche
> Anzahl an Spalten aufweisen muss. Da dies nicht gegeben
> ist, suche ich nun nach dem Schema zur Lösung.

doch, das ist indirekt gegeben: Wegen $A [mm] \in \IR^{3 \times 3}$ [/mm] und $B [mm] \in \IR^{3 \times 2}$ [/mm] folgt dann direkt,
dass $X [mm] \in \IR^{3 \times 2}$ [/mm] sein muss (weil eine $3 [mm] \times [/mm] 3$-Matrix mit einer $3 [mm] \times [/mm] 2$-Matrix multipliziert
halt - wie gewünscht - eine $3 [mm] \times [/mm] 2$-Matrix ergibt), damit diese
Gleichung eine Lösung in der MATRIX [mm] $X\,$ [/mm] hat.

Nebenbei:
Das kann man sogar direkt auch daran erkennen, dass [mm] $B\,$ [/mm] als Summand
alleine auf der linken Seite und [mm] $X\,$ [/mm] alleine auf der rechten Seite auftauchen,
d.h. [mm] $X\,$ [/mm] und [mm] $B\,$ [/mm] müssen "die gleiche Dimensionen" haben.

Gruß,
  Marcel

Bezug
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