Matrizen u. lin. Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:46 Fr 01.12.2006 | | Autor: | Manabago |
| Aufgabe | Es sei
A = [mm] \pmat{ 3 & -2 & 1 & 0 \\ 1 & 6 & 2 & 1 \\ -3 & 0 & 7 & 1 }
[/mm]
die Matrix der lin. Abb. f: [mm] R^4 \to R^4 [/mm] bzgl. der Basen
[mm] \{(0,1,1,1), (2,1,-1,1), (1,4,-1,2), (6,9,4,2)\} [/mm] des [mm] R^4 [/mm] und
[mm] \{(0,8,8), (-7,8,1), (-6,9,1)\} [/mm] des [mm] R^3. [/mm]
Man gebe ein eine Formel für [mm] f(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) [/mm] an. |
Grüß euch!
Habe einige Fragen zu dieser Aufgabe. Also ich sag euch mal meinen Ansatz:
Die Spalten der Matrix A sind ja die Koordinaten der Bilder ( von der Basis des [mm] R^4 [/mm] ) ausgedrückt in der Basis des [mm] R^3. [/mm] Also lautet meine 1. Gleichung:
f(0,1,1,1) = 3*(0,8,8) + 1*(-7,8,1) - 3*(-6,9,1)
f(2,1,-1,1)= ...
f(1,4,-1,2)= ...
f(6,9,4,2) = ... etc.
Ausgerechnet komm ich dann auf folgendes:
f(0,1,1,1) = (11,5,22)
f(2,1,-1,1)= (-42,32,-10)
f(1,4,-1,2)= (-56,87,17)
f(6,9,4,2) = (-13,17,2).
Also ergeben sich 3 Gleichungssysteme mit jeweils 4 Bedingungen. Das erste lautet:
b+c+d = 11
2a+b-c+d=-42
a+4b-c+2d=-56
6a+9b+4c+2d=-13
Die anderen zwei ergeben sich analog.
Meine 2 Fragen:
a) Ist dieser Lösungsweg korrekt?
b) Wenn ja, gibt es eine effizientere Möglichkeit, dieses Bsp. zu lösen?
Bitte um eure Hilfe
Lg, Manuel
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Hallo,
ich nehme an, es muss $f: [mm] R^4 \to R^3 [/mm] $ heißen.
> a) Ist dieser Lösungsweg korrekt?
Ja, wenn du noch weißt, was deine Unbekannten sind.
> b) Wenn ja, gibt es eine effizientere Möglichkeit, dieses Bsp. zu lösen?
Hmmm, ja. Und den Grundstein dazu bildet dein Satz "Die Spalten der Matrix ... sind ja die Koordinaten der Bilder ( von der Basis des ...) ausgedrückt in der Basis des ..."
Sei $B$ die Matrix, die aus deinen Basisvektoren des [mm] $\IR^3$ [/mm] gebildet wird. Die einzelnen Spaltenvektoren nennen wir mal [mm] $b_i, [/mm] i=1,2,3$.
Sei $C$ die Matrix, die aus deinen Basisvektoren des [mm] $\IR^4$ [/mm] gebildet wird. Die einzelnen Spaltenvektoren nennen wir mal [mm] $c_i, [/mm] i=1,2,3,4$.
Mit [mm] $e_i^k$ [/mm] bezeichnen wir mal den i-ten Einheitsvektor des [mm] $\R^k$.
[/mm]
Mit deinem oben zitierten Satz kommen wir auf folgende Beziehung:
[mm]\left\{e_1^4,e_2^4,e_3^4,e_4^4\right\}\begin{matrix}
\overset{C^{-1}}{\rightarrow} \\
\underset{C}{\leftarrow}
\end{matrix}}
\left\{c_1,c_2,c_3,c_4\right\} \overset{A}{\longrightarrow}\left\{b_1,b_2,b_3\right\}
\begin{matrix}
\overset{B}{\rightarrow} \\
\underset{B^{-1}}{\leftarrow}
\end{matrix}}
\left\{e_1^3,e_2^3,e_3^3\right\}
[/mm]
Damit ist gemeint, dass die Matrix C zwischen den beiden Basen des [mm] $\R^4$ [/mm] und die Matrix B zwischen den beiden Basen des [mm] $\R^3$ [/mm] vermitteln.
Der Pfeil mit dem A hat eine andere Bedeutung, denn er bildet nicht direkt die einen Basisvektoren auf die anderen ab.
Auf jeden Fall siehst du, wie sich die Abbildungsmatrix der Abbildung f bezüglich der kanonischen Basen zusammensetzt. Also musst du sie nur ausmultiplizieren (in der richtigen Reihenfolge!) und kannst daraus dann deine Koeffizienten für f ablesen.
Gruß
Martin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 Fr 01.12.2006 | | Autor: | Manabago |
Ja, sorry, war ein Tippfehler. Meine Unbekannten sind die Koeffizienten der [mm] x_{i} [/mm] (mit i=1,2,3,4). Ok?
Zu deinem Vorschlag:
Welche Matrix muss ich mit welcher multiplizieren und warum? Das ist mir noch nicht ganz klar. Lg
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Hallo,
die Matrix A induziert die Abbildung f bezüglich der beiden Basen [mm] $\left{c_i\right}$ [/mm] und [mm] $\left{b_i\right}$. [/mm] Wir suchen aber die Abbildungsmatrix [mm] A_E [/mm] bezüglich der kanonischen Basen, damit wir die Funktionsgleichung aufstellen können.
Also müssen wir zuerst die Darstellung von der kanonischen Basis des [mm] $\R^4$ [/mm] auf unsere c-Basis abbilden. Nun können wir die Abbildung anwenden. Das erhaltene Bild ist aber bezüglich unserer b-Basis. Also müssen wir noch in die kanonische Basis des [mm] $\IR^3$ [/mm] abbilden.
Das sind drei hintereinander ausgeführte Abbildungen. Die entsprechenden Matrizen sind aus der obigen Beziehung zu entnehmen. Oder sind diese Matrizen unklar?
Gruß
Martin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 Fr 01.12.2006 | | Autor: | Manabago |
Ja, jetzt hab ichs vermutlich verstanden. Da ja das Hintereinanderausführen von Abbildungen der Matrixmultiplikation entspricht, multipliziere ich:
C^(-1) * A * B^(-1), wobei ich C und B durch das Lösen der jeweiligen Gleichungssysteme bekomme (also für C muss ich die [mm] e_{i}, [/mm] i=1,2,3,4 durch die [mm] c_{j} [/mm] ausdrücken, analog für B). Hast du das so gemeint? Lg
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Hallo,
> wobei ich C und B durch das Lösen der jeweiligen Gleichungssysteme bekomme
Nein. Wie B und C aussehen, steht in meinem obigen Beitrag. Deswegen ist diese Lösung ja auch so einfach. Die von dir benötigten Matrizen musst du nur zusammensetzen und brauchst keine Gleichungen mehr aufzustellen.
> Da ja das Hintereinanderausführen von Abbildungen der Matrixmultiplikation entspricht, multipliziere ich:
> C^(-1) * A * B^(-1)
Wie man's dreht und wendet, die Reihenfolge (und die Matrizen) kommt nicht hin.
Wenn man zuerst die C-Abbildung anwendet, dann muss die C-Matrix doch ganz rechts stehen. Außerdem musst du $B$ und nicht [mm] $B^{-1}$ [/mm] nehmen, da du den oberen Weg (in der oben genannten Beziehung) gehst.
Also:
[mm] $A_E [/mm] = [mm] B\cdot{}A\cdot{}C^{-1}$
[/mm]
Da du in deinem Ansatz ja schon mehrere Vektoren abgebildet hast, kannst du das ja mal ausprobieren, indem du [mm] $A_E$ [/mm] direkt mit den Basisvektoren [mm] $c_i$ [/mm] multiplizierst.
Gruß
Martin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 Fr 01.12.2006 | | Autor: | Manabago |
Danke erstmals für deine Geduld (das ist alles ziemlich neu für mich). Ich fasse also zusammen:
Die Matrix B ist also die Übergangsmatrix von der Basis b zur kanonischen Basis, daher muss ich die Spalten nur mehr ablesen, also
[mm] B_{ b \to e} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & -7 & -6 \\ 8 & 8 & 9 \\ 8 & 1 & 1 }
[/mm]
Für die Bildung von C analog:
[mm] C_{ c \to e} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 2 & 1 & 6 \\ 1 & 1 & 4 & 9 \\ 1 & -1 & -1 & 4 \\ 1 & 1 & 2 & 2 }
[/mm]
Dein vorgeschlagener Weg:
Also müssen wir zuerst die Darstellung von der kanonischen Basis des auf unsere c-Basis abbilden. Nun können wir die Abbildung anwenden. Das erhaltene Bild ist aber bezüglich unserer b-Basis. Also müssen wir noch in die kanonische Basis des abbilden.
Das ist mir ja klar, aber warum muss C^(-1) ganz rechts stehen, wenn das meine erste Abbildung ist. Gibt es da ein Gesetz?
Lg
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> Das ist mir ja klar, aber warum muss C^(-1) ganz rechts stehen, wenn das meine erste Abbildung ist. Gibt es da ein Gesetz?
Nun ja, was heißt Gesetz? Es ist eben so, das merkst du an diesem Beispiel:
Seien die drei Abbildungen [mm] $f_1, f_2, f_3$ [/mm] induziert durch die drei Matrizen [mm] $A_1, A_2, A_3$. [/mm] Wir gehen mal davon aus, dass die Dimensionen zusammenpassen.
Nun wollen wir [mm] $f_1$ [/mm] auf einen Vektor $v$ anwenden, auf das Ergebnis die Abblidung [mm] $f_2$ [/mm] und auf dieses Ergebnis die [mm] Abbildung$f_3$:
[/mm]
[mm] $v'=f_1(v), v''=f_2(v'), v'''=f_3(v'')$
[/mm]
Kurz:
$v''' = [mm] f_3(f_2(f_1(v)))$
[/mm]
Die zuerst angewandte Abbildung steht dem v am nächsten! Mit den Matrizen würde das so aussehen:
$v'=A_1v, v''=A_2v', v'''=A_3v''$
Also ergibt sich das Produkt:
$v''' = A_3A_2A_1v$
Die Reihefolge dreht sich um, weil man die nachfolgende Matrix von links dranmultipliziert, so einfach ist das.
Gruß
Martin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Fr 01.12.2006 | | Autor: | Manabago |
Vielen Dank, deine Erklärungen machen echt Sinn ;)! Also ich hab jetzt meine Matrix [mm] A_{E} [/mm] ausgerechnet u. die Ergebnisse stimmen mit dem anderen Lösungsweg überein. Trotzdem noch meine letzte Frage, um ganz sicher zu gehen: Die Spalten von [mm] A_{E} [/mm] bilden ja wieder die Koordinaten der Bilder der Standardbasisvektoren des [mm] R^4 [/mm] ausgedrückt in den Standardbasisvektoren des [mm] R^3. A_{E} [/mm] ist ja eine 3 [mm] \times [/mm] 4 Matrix. Angenommen meine Einträge sind a,b,c...,l. Dann sieht also meine Funktion so aus:
f( [mm] x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} [/mm] ) = [mm] (ax_{1} [/mm] + [mm] bx_{2} [/mm] + [mm] cx_{3} [/mm] + [mm] dx_{4}, ex_{1} [/mm] + [mm] fx_{2} [/mm] + [mm] gx_{3} [/mm] + [mm] hx_{4}, ix_{1} [/mm] + [mm] jx_{2} [/mm] + [mm] kx_{3} [/mm] + [mm] lx_{4}). [/mm]
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Ja, vorausgesetzt, du zählst a bis l zeilenweise, aber das machst du ja, sonst wäre das Ergebnis ein anderes.
Gruß
Martin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:24 Fr 01.12.2006 | | Autor: | Manabago |
Ja, das hab ich gemacht. Also noch mal vielen Dank, hast mir sehr geholfen. Lg Manuel
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