Matrizen regulär X^7 < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:50 Sa 24.02.2007 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | [mm] \pmat{ 1 & 1 &0 \\ 0 & x & 1 \\ x& 1& 0}
[/mm]
a) Für welche x ist die Matrix X regulär?
b) Zeigen Sie, dass wenn X regulär ist, auch
b1) [mm] X^T [/mm] X regulär ist
b2) -3X [mm] X^7 [/mm] regulär ist.
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moin,
also
a) eine Matrix ist regulär, wenn ihre determinante [mm] \ne [/mm] 0 ist.
det(X)=0+x+0-0-1-0
det(X)=x-1 => für alle x [mm] \ne [/mm] 1 ist die Matrix X regulär.
b)
b1)
[mm] X^T [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 &x \\ 1 & x & 1 \\ 0& 1& 0}
[/mm]
[mm] X^T [/mm] X = [mm] \pmat{ 1+x^2 & 1+x &0 \\ 1+x & 2+x^2 & x \\ 0& x& 1}
[/mm]
[mm] det(X^T [/mm] X) = ... = [mm] (x-1)^2 [/mm] => ebenfalls für alle x [mm] \ne [/mm] 1 regulär
b2)
-3X = [mm] \pmat{ -3 & -3 &0 \\ 0 & -3x & -3 \\ -3x& -3& 0}
[/mm]
aber wie bildet man [mm] X^7 [/mm] ???
doch nicht X*X, XX *X usw...? gibt doch bestimmt einen eleganteren Weg?
danke und gruß
wolfgang
aber wie bildet man nun
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:14 Sa 24.02.2007 | | Autor: | heyks |
Hallo Wolfgang,
du brauchst bloß den Multiplikationssatz für Determinanten anwenden.
Sind A, B n x n Matrizen, so gilt: det (A*B) = det (A)*det (B), insbesondere det [mm] (A^7) [/mm] = (det [mm] (A))^7.
[/mm]
LG
Heiko
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