Matrizen mit det1 Normalteiler < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:51 Di 26.01.2010 | | Autor: | f.l.o. |
| Aufgabe | Sei G die Menge aller regulären n×n-Matrizen A über [mm] \IR. [/mm] Man zeige, daß <G,*> eine Gruppe bildet.
Sei U die Menge aller n×n-Matrizen B über [mm] \IR [/mm] mit detB = ±1. Man zeige, daß U Normalteiler von G ist. |
Hallo,
ich habe etwas Probleme, die zweite Aufgabe zu zeigen. Die erste, dass G eine Gruppe bildet, habe ich bereits bewiesen, jedoch weiß ich jetzt leider nicht, wie ich die zweite mit dem Normalteiler angehen soll.
Kann mir da vielleicht jemand weiterhelfen ?
bitte danke !
lg
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:56 Di 26.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei G die Menge aller regulären n×n-Matrizen A über [mm]\IR.[/mm]
> Man zeige, daß <G,*> eine Gruppe bildet.
> Sei U die Menge aller n×n-Matrizen B über [mm]\IR[/mm] mit detB =
> ±1. Man zeige, daß U Normalteiler von G ist.
> Hallo,
> ich habe etwas Probleme, die zweite Aufgabe zu zeigen. Die
> erste, dass G eine Gruppe bildet, habe ich bereits
> bewiesen, jedoch weiß ich jetzt leider nicht, wie ich die
> zweite mit dem Normalteiler angehen soll.
> Kann mir da vielleicht jemand weiterhelfen ?
Schreib doch mal hin, was es bedeutet, dass U ein Normalteiler ist.
Dann siehst Du: es ist ganz einfach , das nachzurechnen
FRED
>
> bitte danke !
> lg
> (Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.)
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:01 Di 26.01.2010 | | Autor: | f.l.o. |
> Schreib doch mal hin, was es bedeutet, dass U ein
> Normalteiler ist.
>
> Dann siehst Du: es ist ganz einfach , das nachzurechnen
Soweit ich weiß ist eine Untergruppe U dann ein Normalteiler, wenn Rechtsnebenklassen=Linksnebenklassen.
Ich verstehe nur nicht ganz, wie die Determinante in das Ganze einfließt...
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:01 Di 26.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> > Schreib doch mal hin, was es bedeutet, dass U ein
> > Normalteiler ist.
> >
> > Dann siehst Du: es ist ganz einfach , das nachzurechnen
>
> Soweit ich weiß ist eine Untergruppe U dann ein
> Normalteiler, wenn Rechtsnebenklassen=Linksnebenklassen.
> Ich verstehe nur nicht ganz, wie die Determinante in das
> Ganze einfließt...
Zunächst zeigst Du , dass U eine Untergruppe von G ist. (Untergruppen Kriterium)
Dann zeigst Du: $U = [mm] AUA^{-1}$ [/mm] für jedes A [mm] \in [/mm] G
Mach einfach mal
FRED
>
> lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:33 Di 26.01.2010 | | Autor: | f.l.o. |
> Zunächst zeigst Du , dass U eine Untergruppe von G ist.
> (Untergruppen Kriterium)
Also a,b [mm] \in [/mm] G -> a+b [mm] \in [/mm] G sowie a [mm] \in [/mm] G und [mm] \lambda \in [/mm] Körper K -> [mm] \lambda*a \in [/mm] G, richtig ?
> Dann zeigst Du: [mm]U = AUA^{-1}[/mm] für jedes A [mm]\in[/mm] G
>
> Mach einfach mal
Tut mir leid das kapiere ich nicht so wirklich... :(
Mir ist klar, dass sich A und [mm] A^{-1} [/mm] mehr oder weniger aufheben, aber wie soll ich [mm]U = AUA^{-1}[/mm] für jedes A [mm]\in[/mm] G zeigen ?
Bzw. ich verstehe noch immer nicht was die Determinante damit zu tun hat :S
Sorry...
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:58 Di 26.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> > Zunächst zeigst Du , dass U eine Untergruppe von G ist.
> > (Untergruppen Kriterium)
>
> Also a,b [mm]\in[/mm] G -> a+b [mm]\in[/mm] G sowie a [mm]\in[/mm] G und [mm]\lambda \in[/mm]
> Körper K -> [mm]\lambda*a \in[/mm] G, richtig ?
Nein. Du verwechselst Untergruppe mit Untervektorraum.
Die Verknüpfung * in obigem G ist die Matrizenmultiplikation
Du schaust jetzt nochmal in DEinen Unterlagen nach, welche Eigenschaften U haben muß, damit U eine Untergruppe von G ist
>
> > Dann zeigst Du: [mm]U = AUA^{-1}[/mm] für jedes A [mm]\in[/mm] G
> >
> > Mach einfach mal
>
> Tut mir leid das kapiere ich nicht so wirklich... :(
> Mir ist klar, dass sich A und [mm]A^{-1}[/mm] mehr oder weniger
> aufheben, aber wie soll ich [mm]U = AUA^{-1}[/mm] für jedes A [mm]\in[/mm] G
> zeigen ?
Du mußt für jedes A [mm] \in [/mm] G zeigen: [mm]U \subseteq AUA^{-1}[/mm] und [mm]U \supseteq AUA^{-1}[/mm] .
Ich mach Dir mal [mm]U \supseteq AUA^{-1}[/mm] vor:
Sei B [mm] \in [/mm] U. Zu zeigen ist [mm] ABA^{-1} \in [/mm] U.
Klar ist: [mm] ABA^{-1} \in [/mm] G.
Weiter: [mm] $det(ABA^{-1}) [/mm] = [mm] det(A)*det(B)*det(A^{-1})= det(A)*det(B)*det(A)^{-1}= [/mm] det (B) = [mm] \pm1$, [/mm] da B [mm] \in [/mm] U.
Also ist [mm] ABA^{-1} \in [/mm] U.
FRED
> Bzw. ich verstehe noch immer nicht was die Determinante
> damit zu tun hat :S
> Sorry...
> lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:32 Mi 27.01.2010 | | Autor: | f.l.o. |
> Nein. Du verwechselst Untergruppe mit Untervektorraum.
>
> Die Verknüpfung * in obigem G ist die
> Matrizenmultiplikation
>
> Du schaust jetzt nochmal in DEinen Unterlagen nach, welche
> Eigenschaften U haben muß, damit U eine Untergruppe von G
> ist
Achso ja klar, sorry.
Ich muss ja untersuchen ob für a,b [mm] \in [/mm] U auch a [mm] \circ [/mm] b [mm] \in [/mm] U und [mm] a^{-1} \in [/mm] U.
>
>
> >
> > > Dann zeigst Du: [mm]U = AUA^{-1}[/mm] für jedes A [mm]\in[/mm] G
> > >
> > > Mach einfach mal
> >
> > Tut mir leid das kapiere ich nicht so wirklich... :(
> > Mir ist klar, dass sich A und [mm]A^{-1}[/mm] mehr oder weniger
> > aufheben, aber wie soll ich [mm]U = AUA^{-1}[/mm] für jedes A [mm]\in[/mm] G
> > zeigen ?
>
>
> Du mußt für jedes A [mm]\in[/mm] G zeigen: [mm]U \subseteq AUA^{-1}[/mm]
> und [mm]U \supseteq AUA^{-1}[/mm] .
>
> Ich mach Dir mal [mm]U \supseteq AUA^{-1}[/mm] vor:
>
> Sei B [mm]\in[/mm] U. Zu zeigen ist [mm]ABA^{-1} \in[/mm] U.
> Klar ist: [mm]ABA^{-1} \in[/mm] G.
>
> Weiter: [mm]det(ABA^{-1}) = det(A)*det(B)*det(A^{-1})= det(A)*det(B)*det(A)^{-1}= det (B) = \pm1[/mm],
> da B [mm]\in[/mm] U.
>
> Also ist [mm]ABA^{-1} \in[/mm] U.
>
> FRED
ok danke das kann ich nachvollziehen :)
Und jetzt muss ich noch zeigen, dass [mm]U \subseteq AUA^{-1}[/mm] ? Wo ist da der Unterschied zum Beweis, dass [mm]U \supseteq AUA^{-1}[/mm] ?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:38 Mi 27.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> > Nein. Du verwechselst Untergruppe mit Untervektorraum.
> >
> > Die Verknüpfung * in obigem G ist die
> > Matrizenmultiplikation
> >
> > Du schaust jetzt nochmal in DEinen Unterlagen nach, welche
> > Eigenschaften U haben muß, damit U eine Untergruppe von G
> > ist
> Achso ja klar, sorry.
> Ich muss ja untersuchen ob für a,b [mm]\in[/mm] U auch a [mm]\circ[/mm] b
> [mm]\in[/mm] U und [mm]a^{-1} \in[/mm] U.
> >
> >
> > >
> > > > Dann zeigst Du: [mm]U = AUA^{-1}[/mm] für jedes A [mm]\in[/mm] G
> > > >
> > > > Mach einfach mal
> > >
> > > Tut mir leid das kapiere ich nicht so wirklich... :(
> > > Mir ist klar, dass sich A und [mm]A^{-1}[/mm] mehr oder
> weniger
> > > aufheben, aber wie soll ich [mm]U = AUA^{-1}[/mm] für jedes A [mm]\in[/mm] G
> > > zeigen ?
> >
> >
> > Du mußt für jedes A [mm]\in[/mm] G zeigen: [mm]U \subseteq AUA^{-1}[/mm]
> > und [mm]U \supseteq AUA^{-1}[/mm] .
> >
> > Ich mach Dir mal [mm]U \supseteq AUA^{-1}[/mm] vor:
> >
> > Sei B [mm]\in[/mm] U. Zu zeigen ist [mm]ABA^{-1} \in[/mm] U.
> > Klar ist: [mm]ABA^{-1} \in[/mm] G.
> >
> > Weiter: [mm]det(ABA^{-1}) = det(A)*det(B)*det(A^{-1})= det(A)*det(B)*det(A)^{-1}= det (B) = \pm1[/mm],
> > da B [mm]\in[/mm] U.
> >
> > Also ist [mm]ABA^{-1} \in[/mm] U.
> >
> > FRED
>
> ok danke das kann ich nachvollziehen :)
> Und jetzt muss ich noch zeigen, dass [mm]U \subseteq AUA^{-1}[/mm]
> ? Wo ist da der Unterschied zum Beweis, dass [mm]U \supseteq AUA^{-1}[/mm]
Nimm ein B [mm] \in [/mm] U. Du mußt nun zeigen: es gibt ein C [mm] \in [/mm] U mit [mm]B = ACA^{-1}[/mm]
FRED
> ?
>
> lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:00 Mi 27.01.2010 | | Autor: | f.l.o. |
> Nimm ein B [mm]\in[/mm] U. Du mußt nun zeigen: es gibt ein C [mm]\in[/mm] U
> mit [mm]B = ACA^{-1}[/mm]
>
>
> FRED
also B [mm] \in[/mm] [/mm] U mit B = [mm] ACA^{-1}[/mm] [/mm] und dafür zeige ich jetzt wieder das selbe wie vorhin also:
[mm]det(B)[/mm]= [mm] det(ACA^{-1}) [/mm] = [mm] det(A)*det(C)*det(A^{-1}) [/mm] = [mm] det(A)*det(C)*det(A)^{-1} [/mm] = [mm] det(C)=\pm1
[/mm]
so in etwa?
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:27 Mi 27.01.2010 | | Autor: | fred97 |
Das habe ich geschrieben:
"Du mußt nun zeigen: es gibt ein C $ [mm] \in [/mm] $ U mit $ B = [mm] ACA^{-1} [/mm] $ "
Also : wie kommst Du zu obigem C ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:29 Mi 27.01.2010 | | Autor: | f.l.o. |
> Das habe ich geschrieben:
>
> "Du mußt nun zeigen: es gibt ein C [mm]\in[/mm] U mit [mm]B = ACA^{-1}[/mm]
> "
>
> Also : wie kommst Du zu obigem C ?
>
> FRED
Naja das hatte ich doch hingeschrieben. Indem ich zeige, dass [mm]B = ACA^{-1} = C[/mm] und da [mm] det(B)=\pm1 [/mm] folgt [mm] det(C)=\pm1, [/mm] oder nicht ?
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:37 Mi 27.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> > Das habe ich geschrieben:
> >
> > "Du mußt nun zeigen: es gibt ein C [mm]\in[/mm] U mit [mm]B = ACA^{-1}[/mm]
> > "
> >
> > Also : wie kommst Du zu obigem C ?
> >
> > FRED
>
> Naja das hatte ich doch hingeschrieben. Indem ich zeige,
> dass [mm]B = ACA^{-1} = C[/mm]
Wie kommst Du da drauf ????
FRED
> und da [mm]det(B)=\pm1[/mm] folgt
> [mm]det(C)=\pm1,[/mm] oder nicht ?
>
> lg
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 Mi 27.01.2010 | | Autor: | f.l.o. |
> > > Das habe ich geschrieben:
> > >
> > > "Du mußt nun zeigen: es gibt ein C [mm]\in[/mm] U mit [mm]B = ACA^{-1}[/mm]
> > > "
> > >
> > > Also : wie kommst Du zu obigem C ?
> > >
> > > FRED
> >
> > Naja das hatte ich doch hingeschrieben. Indem ich zeige,
> > dass [mm]B = ACA^{-1} = C[/mm]
>
>
> Wie kommst Du da drauf ????
>
Naja ich wenn [mm] det(B)=det(A*B*A^{-1}) [/mm] dann ist doch [mm] B=A*B*A^{-1}. [/mm] Wenn nun B = [mm] A*C*A^{-1} [/mm] dann folgt doch, dass B = C ?!
Ich kapiers irgendwie nicht... :(
>
> FRED
>
> > und da [mm]det(B)=\pm1[/mm] folgt
> > [mm]det(C)=\pm1,[/mm] oder nicht ?
> >
> > lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:43 Mi 27.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> > > > Das habe ich geschrieben:
> > > >
> > > > "Du mußt nun zeigen: es gibt ein C [mm]\in[/mm] U mit [mm]B = ACA^{-1}[/mm]
> > > > "
> > > >
> > > > Also : wie kommst Du zu obigem C ?
> > > >
> > > > FRED
> > >
> > > Naja das hatte ich doch hingeschrieben. Indem ich zeige,
> > > dass [mm]B = ACA^{-1} = C[/mm]
> >
> >
> > Wie kommst Du da drauf ????
> >
>
> Naja ich wenn [mm]det(B)=det(A*B*A^{-1})[/mm] dann ist doch
> [mm]B=A*B*A^{-1}.[/mm]
Wieso ? wer sagt das ?
> Wenn nun B = [mm]A*C*A^{-1}[/mm] dann folgt doch, dass
> B = C ?!
Nein I
FRED
> Ich kapiers irgendwie nicht... :(
>
> >
> > FRED
> >
> > > und da [mm]det(B)=\pm1[/mm] folgt
> > > [mm]det(C)=\pm1,[/mm] oder nicht ?
> > >
> > > lg
>
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| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 18:28 Mi 27.01.2010 | | Autor: | f.l.o. |
> > > > > Das habe ich geschrieben:
> > > > >
> > > > > "Du mußt nun zeigen: es gibt ein C [mm]\in[/mm] U mit [mm]B = ACA^{-1}[/mm]
> > > > > "
> > > > >
> > > > > Also : wie kommst Du zu obigem C ?
> > > > >
> > > > > FRED
> > > >
> > > > Naja das hatte ich doch hingeschrieben. Indem ich zeige,
> > > > dass [mm]B = ACA^{-1} = C[/mm]
> > >
> > >
> > > Wie kommst Du da drauf ????
> > >
> >
> > Naja ich wenn [mm]det(B)=det(A*B*A^{-1})[/mm] dann ist doch
> > [mm]B=A*B*A^{-1}.[/mm]
>
>
> Wieso ? wer sagt das ?
>
Naja das hatte ich halt mal angenommen...
Wie sollte es denn sein ?
>
>
> > Wenn nun B = [mm]A*C*A^{-1}[/mm] dann folgt doch, dass
> > B = C ?!
>
>
>
> Nein I
Wie I ? B = I (=Einheitsmatrix) ?
*confused*
>
> FRED
>
>
> > Ich kapiers irgendwie nicht... :(
> >
> > >
> > > FRED
> > >
> > > > und da [mm]det(B)=\pm1[/mm] folgt
> > > > [mm]det(C)=\pm1,[/mm] oder nicht ?
> > > >
> > > > lg
> >
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Fr 29.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Do 28.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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