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| Aufgabe | Es seien M eine endliche Menge und V,W endlichdimensionale Vektoräume mit Basen [mm] B_V, B_W. [/mm] Des weiteren sei f: V [mm] \to [/mm] W eine lineare Abbildung mit Abbildungsmatrix F:= A(f, [mm] B_V, B_W). [/mm]
i) Geben Sie geeignete Basen der Vektorräume Abb( M,V) und Abb( M,W)
ii)sowie die Abbildungsmatrix von
[mm] f_2 [/mm] : Abb( M, V) [mm] \to [/mm] Abb ( M, W), g [mm] \mapsto [/mm] f [mm] \circ [/mm] g
bezüglich dieser Basen. |
Zu i) : Abb( M, V) heißt hier: alle Abbildungen von der Menge M auf den Vektor V.
Ich könnte einfach sagen:
Ich nehme als Basis dafür Abb( M, [mm] B_V).
[/mm]
Geht das?
Bei ii) habe ich irgendwie keine Ahnung
[mm] f_2 [/mm] soll statt 2 ein Stern (*) stehen.
F Stern ist meiner Meinung eine Abbildung, die die Basis von Abb(M,V) auf die Basis von Abb(M,W) abbildet.
Also soll die Abbildungsmatrix meiner Meinung ungefähr so aussehen:
F:= [mm] (f_2, Abb(M,B_V),Abb(M,B_W))
[/mm]
Da [mm] Abb(M,B_V) [/mm] und [mm] Abb(M,B_W) [/mm] meiner Meinung geeignete Basen für Abb( M,V) und Abb( M,W) wären
Stimmt das so?
Danke
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Hallo,
zu (i): Also sei mal [mm] B_V=\{b_1,\ldots , b_n\} [/mm] und weiterhin [mm] M=\{1,\ldots , m\}.
[/mm]
Eine Abbildung [mm] f\colon M\to [/mm] V bildet also jedes [mm] j\in [/mm] M auf einen Vektor
f(j) [mm] =\sum_{i=1}^n\lambda_i^j\cdot b_i [/mm] ab.
Wenn [mm] Abb(M,B_V) [/mm] Basis sein soll, muss man also ein bel. solches f linear aus Abbildungen
der Form [mm] g_k(j)=b^k_{i_j} (j\in [/mm] M) linear kombinieren koennen, sagen wir mit Koeff. [mm] \mu_k, [/mm] also
[mm] \sum_{i=1}^n\lambda_i^j\cdot b_i [/mm] = [mm] \sum_k \mu_k\cdot b^k_{i_j}
[/mm]
oder ? Dies sieht nicht gut aus, oder ?
Waere Abb(M, [mm] B_V) [/mm] Basis, so waere die Dimension von Abb(M,V) gleich
(dim [mm] (V))^{|M|}, [/mm] aber sie sollte doch [mm] |M|\cdot \dim [/mm] V sein, oder ?
Ich wuerd als Basis die Menge der Abb. g von M nach V nehmen, fuer die fuer genau ein
[mm] j\in [/mm] M [mm] g(j)\in B_V [/mm] gilt und g(l)=0 fuer alle [mm] l\neq [/mm] j, [mm] l\in [/mm] M.
Hilft das schon mal weiter ?
Viele Gruesse,
Mathias
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Du meinst also ich soll als Basis die Menge ber Abbildungen g nehmen für die es gilt, dass es genau ein Element j [mm] \in [/mm] M gibt mit g(j) [mm] \in B_V.
[/mm]
Und für alle anderen Elemente x [mm] \in [/mm] M soll gelten g(x)=0.
Ist es den auch eine gültige Basis?
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Hallo und guten Morgen,
ja, das ist eine Basis. Sicher sind diese Funktionen linear unabh., und sie erzeugen den
ganzen Raum. Stell Dir zu einem bel. [mm] f\in [/mm] Abb(M,V) die Bilder [mm] f(i),i\in [/mm] M als Vektoren
untereinander geschrieben, sozusagen in einen Vektor zusammengefasst. Dann hat
dieser Vektor [mm] |M|\cdot\dim [/mm] (V) Komponenten, oder ?
Gruss,
Mathias
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Hallo nochmal,
zu (ii): Wenn Du Dir jetzt - siehe letzte Mitteilung im Strang- die Elemente von
Abb(M,V) und Abb(M,W) als Vektoren der Dimension [mm] |M|\cdot\dim [/mm] (V) beziehungsweise
[mm] |M|\cdot \dim [/mm] (W) vorstellst,
so siehst Du auch, dass die Abb.Matrix zu [mm] f_{\star} [/mm] eine Blockdiagonalmatrix ist,
in deren |M| Diagonalbloecken jeweils die Abbildungsmatrix von f bzgl. der Basen [mm] B_V [/mm] und [mm] B_W [/mm] stehen.
Gruss,
Mathias
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