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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:55 Mi 16.06.2010 | | Autor: | stk66 |
| Aufgabe | Sei K ein Körper. Wir definieren zwei Teilmengen B und T von [mm] M_{2}(K) [/mm] wie folgt:
B={ [mm] \pmat{ a & b \\ 0 & d } [/mm] | [mm] a,d\in K^{\times}, b\in [/mm] K } und T={ [mm] \pmat{ a & 0 \\ 0 & d} [/mm] | [mm] a,d\in K^{\times} [/mm] }.
Zeige, dass B und T Untergruppen von [mm] GL_{2}(K) [/mm] sind. |
Was genau muss ich hier zeigen?
Muss ich alle der folgenden 3 Bedingungen zeigen? Oder irgendwas anderes?
Für B:
1) [mm] B_{1},B_{2} \in [/mm] B [mm] \Rightarrow B_{1}\cdot B_{2}\in [/mm] B
2) neutrale Element e [mm] \in [/mm] B
3) [mm] B_{1} \in [/mm] B [mm] \Rightarrow B_{1}^{-1} \in [/mm] B
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Hallo stk66,
> Sei K ein Körper. Wir definieren zwei Teilmengen B und T
> von [mm]M_{2}(K)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
wie folgt:
> B={ [mm]\pmat{ a & b \\ 0 & d }[/mm] | [mm]a,d\in K^{\times}, b\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
K }
> und T={ [mm]\pmat{ a & 0 \\ 0 & d}[/mm] | [mm]a,d\in K^{\times}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}.
> Zeige, dass B und T Untergruppen von [mm]GL_{2}(K)[/mm] sind.
> Was genau muss ich hier zeigen?
> Muss ich alle der folgenden 3 Bedingungen zeigen? Oder
> irgendwas anderes?
> Für B:
> 1) [mm]B_{1},B_{2} \in[/mm] B [mm]\Rightarrow B_{1}\cdot B_{2}\in[/mm] B
> 2) neutrale Element e [mm]\in[/mm] B
> 3) [mm]B_{1} \in[/mm] B [mm]\Rightarrow B_{1}^{-1} \in[/mm] B
>
Ganz genau!
Und analog für $T$
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:01 Mi 16.06.2010 | | Autor: | stk66 |
Für B:
> 1) $ [mm] B_{1},B_{2} \in [/mm] $ B $ [mm] \Rightarrow B_{1}\cdot B_{2}\in [/mm] $ B
> 2) neutrale Element e $ [mm] \in [/mm] $ B
> 3) $ [mm] B_{1} \in [/mm] $ B $ [mm] \Rightarrow B_{1}^{-1} \in [/mm] $ B
zu 1:
Seien [mm] B_{1}=\pmat{ a_{1} & b_{1} \\ 0 & d_{1} } [/mm] und [mm] B_{2}=\pmat{ a_{2} & b_{2} \\ 0 & d_{2} } \in [/mm] B
[mm] \Rightarrow B_{1}\cdot B_{2}=\ldots=\pmat{a_{1}a_{2} & a_{1}b_{2}+b_{1}d_{2} \\ 0 & d_{1}d_{2} }
[/mm]
Da [mm] a_{1},a{2},d_{1},d_{2} \in K^{\times} [/mm] sind auch [mm] a_{1}a_{2} [/mm] und [mm] d_{1}d{2} \in K^{\times}. [/mm] Weiterhin ist [mm] a_{1}b_{2}+b_{1}d_{2} \in [/mm] K.
Somit ist auch [mm] B_{1}\cdot B_{2} \in [/mm] B
zu 2:
[mm] e=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } \in [/mm] B , da [mm] 1\in K^{\times} [/mm] und [mm] 0\in [/mm] K
zu 3:
Sei [mm] B_{1}=\pmat{ a_{1} & b_{1} \\ 0 & d_{1} } \in [/mm] B
[mm] \Rightarrow B_{1}^{-1}=\pmat{ \bruch{1}{a} & -\bruch{b}{da} \\ 0 & \bruch{1}{d} }
[/mm]
[mm] \bruch{1}{a} \in K^{\times}, [/mm] da a [mm] \in K^{\times} [/mm] ; [mm] \bruch{1}{d} \in K^{\times}, [/mm] da d [mm] \in K^{\times}
[/mm]
[mm] -\bruch{b}{da} \in [/mm] K, da a,d [mm] \in K^{\times} [/mm] und b [mm] \in [/mm] K
somit ist auch [mm] B_{1}^{-1} \in [/mm] B
Wenn das ok ist, krieg ich das für T auch hin.
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Hallo nochmal,
> Für B:
> > 1) [mm]B_{1},B_{2} \in[/mm] B [mm]\Rightarrow B_{1}\cdot B_{2}\in[/mm] B
> > 2) neutrale Element e [mm]\in[/mm] B
> > 3) [mm]B_{1} \in[/mm] B [mm]\Rightarrow B_{1}^{-1} \in[/mm] B
>
> zu 1:
>
> Seien [mm]B_{1}=\pmat{ a_{1} & b_{1} \\ 0 & d_{1} }[/mm] und
> [mm]B_{2}=\pmat{ a_{2} & b_{2} \\ 0 & d_{2} } \in[/mm] B
> [mm]\Rightarrow B_{1}\cdot B_{2}=\ldots=\pmat{a_{1}a_{2} & a_{1}b_{2}+b_{1}d_{2} \\ 0 & d_{1}d_{2} }[/mm]
>
> Da [mm]a_{1},a{2},d_{1},d_{2} \in K^{\times}[/mm] sind auch
> [mm]a_{1}a_{2}[/mm] und [mm]d_{1}d{2} \in K^{\times}.[/mm] Weiterhin ist
> [mm]a_{1}b_{2}+b_{1}d_{2} \in[/mm] K.
> Somit ist auch [mm]B_{1}\cdot B_{2} \in[/mm] B ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> zu 2:
>
> [mm]e=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } \in[/mm] B , da [mm]1\in K^{\times}[/mm] und
> [mm]0\in[/mm] K
>
> zu 3:
>
> Sei [mm]B_{1}=\pmat{ a_{1} & b_{1} \\ 0 & d_{1} } \in[/mm] B
> [mm]\Rightarrow B_{1}^{-1}=\pmat{ \bruch{1}{a} & -\bruch{b}{da} \\ 0 & \bruch{1}{d} }[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{a} \in K^{\times},[/mm] da a [mm]\in K^{\times}[/mm] ;
> [mm]\bruch{1}{d} \in K^{\times},[/mm] da d [mm]\in K^{\times}[/mm]
>
> [mm]-\bruch{b}{da} \in[/mm] K, da a,d [mm]\in K^{\times}[/mm] und b [mm]\in[/mm] K
>
> somit ist auch [mm]B_{1}^{-1} \in[/mm] B
Stimmt bis auf die fehlenden Indizes.
Bedenke auch: Zu [mm] $B=\pmat{a_1&b_1\\0&d_1}\in [/mm] B$ ist invers: [mm] $B^{-1}=\frac{1}{\operatorname{det}(B)}\cdot{}\pmat{d_1&-b_1\\0&a_1}=\frac{1}{a_1d_1}\cdot{}\pmat{d_1&-b_1\\0&a_1}$
[/mm]
Was natürlich genau deiner Matrix entspricht:
>
> Wenn das ok ist, krieg ich das für T auch hin.
Das denke ich auch ..
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:24 Mi 16.06.2010 | | Autor: | stk66 |
Danke für die Antwort. Determinanten sind leider noch nicht eingeführt in der Vorlesung.
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