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| Aufgabe | Gegeben sei das überbestimmte lineare Gleichungssystem [mm] $A\vec{x} =\vec{b}$ [/mm] mit
A = [mm] \pmat{ -2 & 4 & 0 \\ 3 & 0 & 6 \\ 0 & 3 & 3 \\ 1 & 0 & 2},
[/mm]
[mm] \vec{b_1} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 3 \\ 2} [/mm] und
[mm] \vec{b_2} [/mm] = [mm] \vektor{-6 \\ 3 \\ -3 \\ 1}
[/mm]
a) Untersuchen Sie die Lösbarkeit von [mm] $A\vec{x} =\vec{b}$ [/mm] für [mm] \vec{b} [/mm] = [mm] \vec{b_1} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] = [mm] \vec{b_2}
[/mm]
b) Geben Sie im Fall der Lösbarkeit die allgemeine Lösung an. |
Hallo, ich bins wieder!
Zum Punkt a.
Um die Lösbarkeit zu bestimmen muss ich doch den Rang bestimmen.
Denn ist der Rang(A) = [mm] Rang(A|\vec{b}) [/mm] dann ist das Gleichungssystem lösbar.
An der Rangbestimmung scheiterts leider. Ich darf doch nur Zeilen- ODER Spaltenumforumg verwenden und nicht beides oder?
Gut zuerst zum Rang(A). Hier komm ich nach einigen Zeilenoperationen auf folgende Form:
A = [mm] \pmat{ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0} [/mm]
Wie gehts nun weiter? Welche Operationen muss ich anwenden, um die Matrix weiter umzuformen? Mit Spaltenoperationen würde ich auf ein Ergebnis (Rang = 2) kommen, da ich aber schon mit Zeilenumformungen begonnen habe, darf ich diese doch nicht verwenden oder?
Auch bei [mm] Rang(A|\vec{b}) [/mm] hakts. Hier komm ich wiederum nach einigen Zeilenumformungen auf folgende Form:
[mm] (A|\vec{b_1}) \pmat{ -2 & 4 & 0 & 2 \\ 3 & 0 & 6 & 3 \\ 0 & 3 & 3 & 3 \\ 1 & 0 & 2 & 2} [/mm] => [mm] \pmat{ -1 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
Wie komme ich hier weiter?
Lg
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Hallo dreamweaver,
> Gegeben sei das überbestimmte lineare Gleichungssystem
> [mm]A\vec{x} =\vec{b}[/mm] mit
> A = [mm]\pmat{ -2 & 4 & 0 \\ 3 & 0 & 6 \\ 0 & 3 & 3 \\ 1 & 0 & 2},[/mm]
>
> [mm]\vec{b_1}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 3 \\ 3 \\ 2}[/mm] und
> [mm]\vec{b_2}[/mm] = [mm]\vektor{-6 \\ 3 \\ -3 \\ 1}[/mm]
>
> a) Untersuchen Sie die Lösbarkeit von [mm]A\vec{x} =\vec{b}[/mm]
> für [mm]\vec{b}[/mm] = [mm]\vec{b_1}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm] = [mm]\vec{b_2}[/mm]
>
> b) Geben Sie im Fall der Lösbarkeit die allgemeine Lösung
> an.
> Hallo, ich bins wieder!
>
> Zum Punkt a.
> Um die Lösbarkeit zu bestimmen muss ich doch den Rang
> bestimmen.
> Denn ist der Rang(A) = [mm]Rang(A|\vec{b})[/mm] dann ist das
> Gleichungssystem lösbar.
So isses.
>
> An der Rangbestimmung scheiterts leider. Ich darf doch nur
> Zeilen- ODER Spaltenumforumg verwenden und nicht beides
> oder?
Nur Zeilenumformungen.
>
> Gut zuerst zum Rang(A). Hier komm ich nach einigen
> Zeilenoperationen auf folgende Form:
> A = [mm]\pmat{ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0}[/mm]
Somit ist Rang(A)=2.
> Wie gehts nun weiter? Welche Operationen muss ich anwenden,
> um die Matrix weiter umzuformen? Mit Spaltenoperationen
> würde ich auf ein Ergebnis (Rang = 2) kommen, da ich aber
> schon mit Zeilenumformungen begonnen habe, darf ich diese
> doch nicht verwenden oder?
Spaltenumformungen darfst Du hier nicht verwenden.
>
> Auch bei [mm]Rang(A|\vec{b})[/mm] hakts. Hier komm ich wiederum nach
> einigen Zeilenumformungen auf folgende Form:
>
> [mm](A|\vec{b_1}) \pmat{ -2 & 4 & 0 & 2 \\ 3 & 0 & 6 & 3 \\ 0 & 3 & 3 & 3 \\ 1 & 0 & 2 & 2}[/mm]
> => [mm]\pmat{ -1 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
Poste hier die Zwischenschritte, denn die Matrix
[mm]\pmat{ -1 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
stimmt nicht.
>
> Wie komme ich hier weiter?
>
> Lg
Gruss
MathePower
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Ja stimmt hab mich bei einem Schritt verrechnet.
Stimmts nun?
[mm] (A|\vec{b_1}) [/mm] = [mm] $\pmat{ -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0} [/mm] $
Also hab ich hier den Rang 3 ?
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Moin dreamweaver,
> Ja stimmt hab mich bei einem Schritt verrechnet.
>
> Stimmts nun?
> [mm](A|\vec{b_1})[/mm] = [mm]\pmat{ -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
Auch diese Matrix stimmt nicht.
Wenn du die Zwischenschritte posten würdest, wäre eine Fehlersuche leichter.
Gruß
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Ok hier nun mein Lösungsweg:
z1,...,z4 sind die Zeilen
s1,...,s4 sind die Spalten
$ [mm] (A|\vec{b_1}) [/mm] $ = $ [mm] \pmat{ -2 & 4 & 0 & 2 \\ 3 & 0 & 6 & 3 \\ 0 & 3 & 3 & 3 \\ 1 & 0 & 2 & 2} [/mm] $
[mm] \Rightarrow z1=\bruch{z1}{2}, z2=\bruch{z2}{3}, z3=\bruch{z3}{3} \Rightarrow [/mm]
[mm] \pmat{ -1 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & 2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] z4=z4+z1, z2=z2-z4 [mm] \Rightarrow [/mm]
[mm] \pmat{ -1 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 & 3}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] z2=z2+z1, [mm] z2=\bruch{z2}{2}, [/mm] z4=z4-2*z3 [mm] \Rightarrow [/mm]
[mm] \pmat{ -1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] z4=z4+z2, z1=z1+z2, z3=z3+z2 [mm] \Rightarrow [/mm]
[mm] \pmat{ -1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] z1=z1-2*z3 [mm] \Rightarrow [/mm]
[mm] \pmat{ -1 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] s2 und s4 tauschen [mm] \Rightarrow [/mm]
[mm] \pmat{ -1 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
[mm] \Rightarrow Rang(A|\vec{b_1}) [/mm] = 3
Hab noch einen Fehler gefunden, stimmts nun?
Lg
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Hallo, bis
[mm] \pmat{ -1 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & 2} [/mm] korrekt
jetzt bildest du eine neue 2. Zeile: Zeile 2 minus Zeile 4
neue 2. Zeile: 0 0 0 -1
Steffi
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Endergebnis bleibt aber dasselbe oder nicht?
Wie gehe ich nun vor um die allgemeine Lösung von [mm] A\vec{x} [/mm] = [mm] \vec{b_2} [/mm] anzugeben? Das ist der Punkt b) der Aufgabe.
Lg
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> Endergebnis bleibt aber dasselbe oder nicht?
Hallo,
nein.
>
> Wie gehe ich nun vor um die allgemeine Lösung von [mm]A\vec{x}[/mm]
> = [mm]\vec{b_2}[/mm] anzugeben? Das ist der Punkt b) der Aufgabe.
Um das zu erklären, müßten wir mal die ZSF sehen.
Gruß v. Angela
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Ok, dann hab ich wohl wieder einen Fehler gemacht, hier wieder meine Schritte:
$ [mm] \pmat{ -1 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & 2} [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow [/mm] $ z2=z2-z4$ [mm] \Rightarrow [/mm] $
$ [mm] \pmat{ -1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & 2} [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow [/mm] $ z1=z1+z2, $ z3=z3+z2, $ z4=z4+2*z2 $ [mm] \Rightarrow [/mm] $
$ [mm] \pmat{ -1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0} [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow [/mm] $ z1=z1+z4$ [mm] \Rightarrow [/mm] $
$ [mm] \pmat{ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0} [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow [/mm] $ z1=z1-2*z3 $ [mm] \Rightarrow [/mm] $
$ [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0} [/mm] $
Wo ist nun der Hund begraben? ^^
Ähm was heißt ZSF?
LG
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Hallo dreamweaver,
> Ok, dann hab ich wohl wieder einen Fehler gemacht, hier
> wieder meine Schritte:
>
> [mm]\pmat{ -1 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & 2}[/mm]
In der Matrix muss eine Nullzeile entstehen.
Die Elemente in der 4. Spalte, 1. ,3. und 4. Zeile stimmen nicht.
[mm]\pmat{ -1 & 2 & 0 & \red{1} \\ 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & \red{1} \\ \red{0} & 0 & \red{0} & \red{2}}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] z2=z2-z4[mm] \Rightarrow[/mm]
>
> [mm]\pmat{ -1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & 2}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] z1=z1+z2, [mm]z3=z3+z2,[/mm] z4=z4+2*z2 [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]\pmat{ -1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] z1=z1+z4[mm] \Rightarrow[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] z1=z1-2*z3 [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0}[/mm]
>
> Wo ist nun der Hund begraben? ^^
>
> Ähm was heißt ZSF?
Zeilenstufenform
>
> LG
>
Gruss
MathePower
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Das gibts ja nicht ^^
Gut, es gibt doch folgende Regeln:
Zeilen vertauschen
Zeilen addieren
Zeilen subtrahieren
Skalare mit Zeilen multiplizieren
Gibt es irgendeine bestimmte Vorgehensweise um die Matrix jetzt richtig umzuformen?
Ich habe ja bei meinem Lösungsweg keinen Rechenfehler gemacht oder doch?
Und eine Nullzeile bekomm ich ja auch, ganz unten.
Ich weiß jetzt auch nicht wie du auf die 2 in Spalte und Zeile 4 kommst. Ich krieg da ne 1. -.-
Danke für eure Mühen
Lg
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Hallo dreamweaver,
> Das gibts ja nicht ^^
>
> Gut, es gibt doch folgende Regeln:
> Zeilen vertauschen
> Zeilen addieren
> Zeilen subtrahieren
> Skalare mit Zeilen multiplizieren
>
> Gibt es irgendeine bestimmte Vorgehensweise um die Matrix
> jetzt richtig umzuformen?
>
> Ich habe ja bei meinem Lösungsweg keinen Rechenfehler
> gemacht oder doch?
> Und eine Nullzeile bekomm ich ja auch, ganz unten.
>
> Ich weiß jetzt auch nicht wie du auf die 2 in Spalte und
> Zeile 4 kommst. Ich krieg da ne 1. -.-
>
Dann poste die Rechenschritte, ab diesen Schritt:
[mm]\pmat{-2 & 4 & 0 & -6 \\ 3 & 0 & 6 & 3 \\ 0 & 3 & 3 & -3 \\ 1 & 0 & 2 & 1 }[/mm]
>
> Danke für eure Mühen
>
> Lg
Gruss
MathePower
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Ah, ok wir haben aneinander vorbei geschrieben, ich hab noch den Rang der ersten Matrix [mm] (A|\vec{b_1}) [/mm] gerechnet.
Hier nun mein Rechenweg der zweiten Matrix:
[mm] (A|\vec{b_2}) [/mm] = $ [mm] \pmat{-2 & 4 & 0 & -6 \\ 3 & 0 & 6 & 3 \\ 0 & 3 & 3 & -3 \\ 1 & 0 & 2 & 1 } [/mm] $
[mm] \Rightarrow [/mm] z1 = [mm] \bruch{z1}{2}, [/mm] z2 = [mm] \bruch{z2}{3}, [/mm] z3 = [mm] \bruch{z3}{3} \Rightarrow
[/mm]
$ [mm] \pmat{-1 & 2 & 0 & -3 \\ 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 2 & 1 } [/mm] $
[mm] \Rightarrow [/mm] z4 = z4-z2, z1 = z1-2*z3 [mm] \Rightarrow
[/mm]
$ [mm] \pmat{-1 & 0 & -2 & -1 \\ 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 } [/mm] $
[mm] \Rightarrow [/mm] z2 = z2+z1, z1 = z1*(-1) [mm] \Rightarrow
[/mm]
$ [mm] \pmat{1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 } [/mm] $
[mm] \Rightarrow [/mm] z2 mit z3 vertauschen [mm] \Rightarrow
[/mm]
$ [mm] \pmat{1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 } [/mm] $
Der Rang ist somit 2.
Stimmts nun?
Lg
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Hallo dreamweaver,
> Ah, ok wir haben aneinander vorbei geschrieben, ich hab
> noch den Rang der ersten Matrix [mm](A|\vec{b_1})[/mm] gerechnet.
>
> Hier nun mein Rechenweg der zweiten Matrix:
>
> [mm](A|\vec{b_2})[/mm] = [mm]\pmat{-2 & 4 & 0 & -6 \\ 3 & 0 & 6 & 3 \\ 0 & 3 & 3 & -3 \\ 1 & 0 & 2 & 1 }[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] z1 = [mm]\bruch{z1}{2},[/mm] z2 = [mm]\bruch{z2}{3},[/mm] z3 =
> [mm]\bruch{z3}{3} \Rightarrow[/mm]
>
> [mm]\pmat{-1 & 2 & 0 & -3 \\ 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 2 & 1 }[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] z4 = z4-z2, z1 = z1-2*z3 [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]\pmat{-1 & 0 & -2 & -1 \\ 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] z2 = z2+z1, z1 = z1*(-1) [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]\pmat{1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] z2 mit z3 vertauschen [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]\pmat{1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Der Rang ist somit 2.
>
> Stimmts nun?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Lg
Gruss
MathePower
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Alles klar danke,
nun würde ich gerne Punkt b in Angriff nehmen.
Wie finde ich die allgemeine Lösung?
Ich habe erstmal ein Gleichungssystem aufgestellt:
I: [mm] -2x_1 [/mm] + [mm] 4x_2 [/mm] = -6
II: [mm] 3x_1 [/mm] + [mm] 6x_3 [/mm] = 3
III: [mm] 3x_2 [/mm] + [mm] 3x_3 [/mm] = -3
IV: [mm] x_1 [/mm] + [mm] 2x_3 [/mm] = 1 [mm] \Rightarrow x_1 [/mm] = [mm] 1-2x_3
[/mm]
Wie gehts nun weiter?
Setze ich nun die [mm] x_1 [/mm] aus der IV. Gleichung in eine der oberen Gleichungen ein?
Lg
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Hallo dreamweaver,
> Alles klar danke,
> nun würde ich gerne Punkt b in Angriff nehmen.
> Wie finde ich die allgemeine Lösung?
>
> Ich habe erstmal ein Gleichungssystem aufgestellt:
>
> I: [mm]-2x_1[/mm] + [mm]4x_2[/mm] = -6
> II: [mm]3x_1[/mm] + [mm]6x_3[/mm] = 3
> III: [mm]3x_2[/mm] + [mm]3x_3[/mm] = -3
> IV: [mm]x_1[/mm] + [mm]2x_3[/mm] = 1 [mm]\Rightarrow x_1[/mm] = [mm]1-2x_3[/mm]
>
> Wie gehts nun weiter?
> Setze ich nun die [mm]x_1[/mm] aus der IV. Gleichung in eine der
> oberen Gleichungen ein?
Ja.
>
> Lg
Gruss
MathePower
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So ich habs mal gerechnet und komme auf folgendes Ergebnis:
[mm] A*\vektor{1-2x_3 \\ -1-x_3 \\ x_3} [/mm] = [mm] \vec{b_2}
[/mm]
stimmt das?
Lg
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Hallo dreamweaver,
> So ich habs mal gerechnet und komme auf folgendes
> Ergebnis:
>
> [mm]A*\vektor{1-2x_3 \\ -1-x_3 \\ x_3}[/mm] = [mm]\vec{b_2}[/mm]
>
> stimmt das?
Ja.
>
> Lg
Gruss
MathePower
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