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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Matrizen Eigenvektor
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Matrizen Eigenvektor: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:53 Mi 03.06.2009
Autor: Lyrone

Aufgabe 1
Gegeben sei die komplexe Matrix

[mm] A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & i \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/mm]

An welcher Eigenschaft der Matrix A können Sie ablesen, dass alle Eigenwerten reell sind?

Aufgabe 2
Zeigen Sie, dass [mm] \vec x_1 = \begin{pmatrix} i \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] ein Eigenvektor der Matrix A ist.

Guten Abend,

ich bin gerade dabei mich in Matritzen einzuarbeiten ... .

Die Lösung zur Aufgabe 1 konnte ich trotz gutem Lehrbuch nicht finden.


Aufgabe 2 habe ich einen Ansatz:

[mm](A - \lambda\cdot E) \cdot \vec x_1 \ = \ \vec 0[/mm]

eigensetzt habe ich es so:

[mm] \begin{pmatrix} 1- \lambda & 0 & i \\ 0 & 2- \lambda & 0 \\ -1 & 0 & 1- \lambda \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} i \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]

Dann habe ich das Produkt ausgerechnet:

[mm] \begin{pmatrix} 1- \lambda & 0 & i \\ 0 & 2- \lambda & 0 \\ -1 & 0 & 1- \lambda \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} i \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} i(1- \lambda) & 0 & i \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1- \lambda \end{pmatrix}[/mm]

Somit habe ich nun:

[mm]\begin{pmatrix} i(1- \lambda) & 0 & i \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1- \lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]

Das ist ja schon ein bissel unlogisch. Was habe ich hier falsch gemacht?


Wünsche noch einen schönen Abend,

Gruß
Lyrone.
        
Bezug
Matrizen Eigenvektor: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:14 Mi 03.06.2009
Autor: MathePower

Hallo Lyrone,

> Gegeben sei die komplexe Matrix
>  
> [mm]A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & i \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/mm]


Die Matrix muss doch bestimmt so lauten:

[mm]A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & i \\ 0 & 2 & 0 \\ \red{-i} & 0 & 1 \end{pmatrix}[/mm]


>  
> An welcher Eigenschaft der Matrix A können Sie ablesen,
> dass alle Eigenwerten reell sind?
>  Zeigen Sie, dass [mm]\vec x_1 = \begin{pmatrix} i \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
> ein Eigenvektor der Matrix A ist.
>  Guten Abend,
>  
> ich bin gerade dabei mich in Matritzen einzuarbeiten ... .
>  
> Die Lösung zur Aufgabe 1 konnte ich trotz gutem Lehrbuch
> nicht finden.
>  
>
> Aufgabe 2 habe ich einen Ansatz:
>  
> [mm](A - \lambda\cdot E) \cdot \vec x_1 \ = \ \vec 0[/mm]
>
> eigensetzt habe ich es so:
>  
> [mm]\begin{pmatrix} 1- \lambda & 0 & i \\ 0 & 2- \lambda & 0 \\ -1 & 0 & 1- \lambda \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} i \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>  
> Dann habe ich das Produkt ausgerechnet:
>  
> [mm]\begin{pmatrix} 1- \lambda & 0 & i \\ 0 & 2- \lambda & 0 \\ -1 & 0 & 1- \lambda \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} i \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} i(1- \lambda) & 0 & i \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1- \lambda \end{pmatrix}[/mm]
>  
> Somit habe ich nun:
>  
> [mm]\begin{pmatrix} i(1- \lambda) & 0 & i \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1- \lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>  
> Das ist ja schon ein bissel unlogisch. Was habe ich hier
> falsch gemacht?
>  
>
> Wünsche noch einen schönen Abend,
>  
> Gruß
>  Lyrone.


Gruß
MathePower
Bezug
                
Bezug
Matrizen Eigenvektor: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:26 Mi 03.06.2009
Autor: Lyrone

Hallo Mathepower,

danke für den Hinweis, du hast Recht. Ich habe meine eigene Schrift nicht erkannt. Nichts desto trotz ist es das gleiche Ergebnis. Aber zur zur besseren Übersicht schreibe ich nochmal alles hin:

[mm]A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & i \\ 0 & 2 & 0 \\ -i & 0 & 1 \end{pmatrix}[/mm]

[mm](A - \lambda\cdot E) \cdot \vec x_1 \ = \ \vec 0[/mm]

[mm]\begin{pmatrix} 1- \lambda & 0 & i \\ 0 & 2- \lambda & 0 \\ -i & 0 & 1- \lambda \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} i \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]

Das einzelne Produkt:

[mm]\begin{pmatrix} 1- \lambda & 0 & i \\ 0 & 2- \lambda & 0 \\ -i & 0 & 1- \lambda \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} i \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} i(1- \lambda) & 0 & i \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1- \lambda \end{pmatrix}[/mm]

Somit habe ich:

[mm]\begin{pmatrix} i(1- \lambda) & 0 & i \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1- \lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]

Wo habe ich mir hier grob vertan, bin ich überhaupt richtig vorgegangen?

Schönen Gruß,
Lyrone.
Bezug
                        
Bezug
Matrizen Eigenvektor: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:38 Mi 03.06.2009
Autor: MathePower

Hallo Lyrone,

> Hallo Mathepower,
>  
> danke für den Hinweis, du hast Recht. Ich habe meine eigene
> Schrift nicht erkannt. Nichts desto trotz ist es das
> gleiche Ergebnis. Aber zur zur besseren Übersicht schreibe
> ich nochmal alles hin:
>  
> [mm]A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & i \\ 0 & 2 & 0 \\ -i & 0 & 1 \end{pmatrix}[/mm]
>  
> [mm](A - \lambda\cdot E) \cdot \vec x_1 \ = \ \vec 0[/mm]
>
> [mm]\begin{pmatrix} 1- \lambda & 0 & i \\ 0 & 2- \lambda & 0 \\ -i & 0 & 1- \lambda \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} i \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>  
> Das einzelne Produkt:
>  
> [mm]\begin{pmatrix} 1- \lambda & 0 & i \\ 0 & 2- \lambda & 0 \\ -i & 0 & 1- \lambda \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} i \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} i(1- \lambda) & 0 & i \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1- \lambda \end{pmatrix}[/mm]
>  
> Somit habe ich:
>  
> [mm]\begin{pmatrix} i(1- \lambda) & 0 & i \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1- \lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>  
> Wo habe ich mir hier grob vertan, bin ich überhaupt richtig
> vorgegangen?


Nun, Matrix mal Vektor gibt einen Vektor.

Siehe hier: Matrizenkalkül


>  
> Schönen Gruß,
>  Lyrone.


Gruß
MathePower
Bezug
                                
Bezug
Matrizen Eigenvektor: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:02 Mi 03.06.2009
Autor: Lyrone

Hallo Mathepower,

> Siehe hier:
> Matrizenkalkül

okay, danke. Also neuer Versuch:

[mm]\begin{pmatrix} 1- \lambda & 0 & i \\ 0 & 2- \lambda & 0 \\ -i & 0 & 1- \lambda \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} i \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} i \left(2-\lambda \right) \\ 0 \\ 2-\lambda \end{pmatrix}[/mm]

Daraus nun:

[mm]\begin{pmatrix} i(2-\lambda) \\ 0 \\ 2-\lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]

Da es einen Eigenwert von [mm]\lambda = 2[/mm] gibt ist dies dann die Rätsels Lösung?

Schönen Abend noch ...

Gruß
Lyrone.
Bezug
                                        
Bezug
Matrizen Eigenvektor: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:07 Mi 03.06.2009
Autor: MathePower

Hallo Lyrone,

> Hallo Mathepower,
>  
> > Siehe hier:
> >
> Matrizenkalkül
>  
> okay, danke. Also neuer Versuch:
>  
> [mm]\begin{pmatrix} 1- \lambda & 0 & i \\ 0 & 2- \lambda & 0 \\ -i & 0 & 1- \lambda \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} i \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} i \left(2-\lambda \right) \\ 0 \\ 2-\lambda \end{pmatrix}[/mm]
>  
> Daraus nun:
>  
> [mm]\begin{pmatrix} i(2-\lambda) \\ 0 \\ 2-\lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>  
> Da es einen Eigenwert von [mm]\lambda = 2[/mm] gibt ist dies dann
> die Rätsels Lösung?


Ja. [ok]


>  
> Schönen Abend noch ...


Danke, gleichfalls.


>
> Gruß
>  Lyrone.


Gruß
MathePower
Bezug
                                                
Bezug
Matrizen Eigenvektor: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:48 Fr 05.06.2009
Autor: Lyrone

Hallo Mathepower,

danke für deine Hilfe!

Gruß,
Lyrone.
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Matrizen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


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