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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:26 Mi 13.05.2009 | | Autor: | DaX |
| Aufgabe | Gegeben ist die Matrix A := [mm] \pmat{ 2 & -1 \\ -4 & 2 } \in \IR^{2,2}
[/mm]
(i) Ist A symmetrisch?
(ii) Sind die Zeilen von A linear unabhängig?
(iii) Liegt der Vektor [mm] \vektor{4 \\ -8} [/mm] in Bild (A)?
(iv) Ist dim(Kern(A)) = 0? |
"Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt."
Hallo,
sitz gerade an meinen Hausaufgaben zur LinA und komme irgendwie nicht weiter...
Aufgabe (i) & (ii) sind ja kein Problem. Die hab ich ohne weiteres lösen können.
doch bei den beiden letzt Aufgaben hapert es:
zu (iii): ich denke schon, dass der Vektor im Bild liegt - aber wie lässt sich das mathematisch korrekt beweisen?
zu (iv) : ich weiß, dass die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren in Kern(A) die Dimension ist.
Doch mir ist nicht ganz klar, was sind die Vektoren in Kern(A) überhaupt sind. (naheliegend wäre jeweils die Zeilen von A...)
vielleicht kann mir der eine oder andere ein kleinen denkanstoß geben.
ich würde mich freuen!
Grüße
Nils
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Hallo Nils und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Gegeben ist die Matrix A := [mm]\pmat{ 2 & -1 \\ -4 & 2 } \in \IR^{2,2}[/mm]
>
> (i) Ist A symmetrisch?
> (ii) Sind die Zeilen von A linear unabhängig?
> (iii) Liegt der Vektor [mm]\vektor{4 \\ -8}[/mm] in Bild (A)?
> (iv) Ist dim(Kern(A)) = 0?
> "Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt."
>
>
> Hallo,
>
> sitz gerade an meinen Hausaufgaben zur LinA und komme
> irgendwie nicht weiter...
>
> Aufgabe (i) & (ii) sind ja kein Problem. Die hab ich ohne
> weiteres lösen können.
>
> doch bei den beiden letzt Aufgaben hapert es:
> zu (iii): ich denke schon, dass der Vektor im Bild liegt -
> aber wie lässt sich das mathematisch korrekt beweisen?
Die Spalten(vektoren) von A spannen das Bild(A) auf.
Wenn der gegebene Vektor sich also als LK der beiden Spaltenvektoren darstellen lässt, liegt er im Bild, anderenfalls nicht ...
Das kannst du wie üblich nachrechnen ...
> zu (iv) : ich weiß, dass die Anzahl der linear
> unabhängigen Vektoren in Kern(A) die Dimension ist.
> Doch mir ist nicht ganz klar, was sind die Vektoren in
> Kern(A) überhaupt sind. (naheliegend wäre jeweils die
> Zeilen von A...)
Der Kern(A) besteht aus der Menge alle Vektoren [mm] $\vec x=\vektor{x\\y}$, [/mm] für die gilt [mm] $A\cdot{}\vec x=\vec [/mm] 0$ (wobei [mm] \vec [/mm] 0 den Nullvektor [mm] \vektor{0\\0} [/mm] meint)
Löse dieses LGS, bringe dazu die Matrix in Zeilenstufenform.
Wenn du "nur" an der Dimension und nicht auch an einer Basis für den Kern(A) interessiert bist, schaue mal im Skript nach der Dimensionsformel und dem Zusammenhang von Bild(A), Kern(A), Rang(A), ...
Bedenke, dass dir deine Matrix [mm] $A\in\IR^{2\times 2}$ [/mm] eine lineare Abbildung von [mm] $\IR^2\to\IR^2$ [/mm] beschreibt (allg. stellt eine [mm] $m\times [/mm] n$-Matrix eine lineare Abbildung [mm] $\varphi:\IR^n\to\IR^m$ [/mm] dar) ...
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>
> vielleicht kann mir der eine oder andere ein kleinen
> denkanstoß geben.
> ich würde mich freuen!
>
> Grüße
> Nils
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Mi 13.05.2009 | | Autor: | DaX |
wow... da ist man kurz einkaufen, kommt wieder und schon ist es verständlich erklärt!
super ich danke dir vielmals :D
grüße
Nils
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Hi,
zur Aufgabe (ii):
Ist mit "Sind die Zeilen von A linear unabhängig" gemeint, ob die Spaltenvektoren also [mm] \vektor{2 \\ -4} [/mm] und [mm] \vektor{-1 \\ 2} [/mm] linear unabhängig sind oder muss ich wirklich die Zeilen als Vektoren schreiben also [mm] \vektor{2 \\ -1} [/mm] und [mm] \vektor{-4 \\ 2}.. [/mm] das scheint mir nicht Sinnvoll.
zur Aufgabe (iii):
Kann ich für span [mm] \{\vektor{2 \\ -4} \vektor{-1 \\ 2} \} [/mm] auch was kürzeres schreiben?
Und kann ich dann als Ergebnis sagen, dass der gesuchte Vektor im span liegt und ein Beispiel für die Koeffizienten nennen oder müsste ich das genauer machen.. mathematischer..?
lg
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Hiho,
> Ist mit "Sind die Zeilen von A linear unabhängig"
> gemeint, ob die Spaltenvektoren also [mm]\vektor{2 \\ -4}[/mm] und
> [mm]\vektor{-1 \\ 2}[/mm] linear unabhängig sind oder muss ich
> wirklich die Zeilen als Vektoren schreiben also [mm]\vektor{2 \\ -1}[/mm]
> und [mm]\vektor{-4 \\ 2}..[/mm] das scheint mir nicht Sinnvoll.
also gemeint sind wirklich die Zeilen und nicht die Spalten.
Du musst die dann aber nicht extra Transformieren, sondern kannst gleich mit Spaltenvektoren der Form (-4,2) rechnen. Ist ja nur eine Frage der Schreibweise.
> Kann ich für span [mm]\{\vektor{2 \\ -4} \vektor{-1 \\ 2} \}[/mm]
> auch was kürzeres schreiben?
Hm, im(A)? Bild(A)? [mm] <\vektor{1\\-2}> [/mm] ?
Alles das Gleiche......
> Und kann ich dann als Ergebnis sagen, dass der gesuchte
> Vektor im span liegt und ein Beispiel für die Koeffizienten
> nennen oder müsste ich das genauer machen..
> mathematischer..?
Nö, wenn du Koeffizienten angibst und vorrechnest, dass da der Vektor rauskommt, bist du fertig.
MfG,
Gono.
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