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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:25 Fr 16.05.2008 | | Autor: | Tommylee |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Matrizen X = [mm] \vmat{ a & b \\ 0 & c }
[/mm]
[mm] \in \IR^{2,2} [/mm] , die [mm] X^{2} [/mm] = [mm] I_{2} [/mm] erfüllen |
Halo ,
wenn ich X quadriere erhalte ich
[mm] \vmat{ a^{2} & (ab+bc) \\ 0 & c^{2} }
[/mm]
wenn [mm] X^{2} [/mm] = [mm] I_{2} [/mm] erfüllt seinb muss
muss [mm] a^{2} [/mm] = 1 ; [mm] c^{2} [/mm] =1 ; ab+bc = 0 sein
also a = 1 und c = 1 und b = 0
also [mm] I_{2} [/mm] selber ( war ja auch irgendwie klar)
Nur für X = [mm] I_{2} [/mm] erfüllt [mm] X^{2} [/mm] = [mm] I_{2} [/mm]
kommt mir irgendwie spanische vor
komische aufgabe
könntet Ihr vielleicht etwas dazu sasgen????
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:14 Fr 16.05.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bestimmen Sie alle Matrizen X = [mm]\vmat{ a & b \\ 0 & c }[/mm]
>
> [mm]\in \IR^{2,2}[/mm] , die [mm]X^{2}[/mm] = [mm]I_{2}[/mm] erfüllen
> Halo ,
> wenn ich X quadriere erhalte ich
>
> [mm]\vmat{ a^{2} & (ab+bc) \\ 0 & c^{2} }[/mm]
>
> wenn [mm]X^{2}[/mm] = [mm]I_{2}[/mm] erfüllt seinb muss
>
> muss [mm]a^{2}[/mm] = 1 ; [mm]c^{2}[/mm] =1 ; ab+bc = 0
> sein
>
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> also a = 1 und c = 1 und b = 0
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> also [mm]I_{2}[/mm] selber ( war ja auch irgendwie klar)
>
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> Nur für X = [mm]I_{2}[/mm] erfüllt [mm]X^{2}[/mm] = [mm]I_{2}[/mm]
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> kommt mir irgendwie spanische vor
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> komische aufgabe
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> könntet Ihr vielleicht etwas dazu sasgen????
Du hast also die hinreichenden und notwendigen Bedingungen [mm] $a^2=1$, $c^2=1$ [/mm] und $ab+bc=0$. Impliziert das wirklich schon das von Dir behauptete?
Was ist denn z.B. mit dieser Matrix?
[mm] $\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & -1 }$
[/mm]
Es ist
[mm] $\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & -1 }*\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & -1 }=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }$
[/mm]
Also zunächst mal:
Deine Rechnung impliziert:
[mm] $X^2=I_2$ [/mm] gilt genau dann, wenn die folgenden drei Bedingungen gelten:
[mm] $a^2=1$, $c^2=1$ [/mm] und [mm] $(\star)$ [/mm] $ab+bc=0$.
Weiter gilt:
[mm] $a^2=1$ $\gdw$ $a=\pm1$, [/mm] ebenso [mm] $c^2=1$ $\gdw$ $c=\pm1$.
[/mm]
Damit erhälst Du vier Kombinationsmöglichkeiten für $a,c$, und mit [mm] $(\star)$ [/mm] folgt in jedem der Fälle dann auch noch, welches $b$ zugehörig ist.
1. Fall:
$a=1$ und $c=1$ und $b=0$
2. Fall:
$a=-1$ und $c=-1$ und $b=0$
3. Fall:
$a=1$ und $c=-1$. [mm] $(\star)$ [/mm] liefert hier, dass $b$ beliebig gewählt werden kann, also einfach $b [mm] \in \IR$.
[/mm]
(Kontrolle:
Berechne das Quadrat von [mm] $\pmat{ 1 & b \\ 0 & -1 }$.)
[/mm]
4. Fall:
$a=-1$ und $c=1$. [mm] $(\star)$ [/mm] liefert auch hier die Beliebigkeit von $b$.
Also:
Es gibt hier einen ganzen Haufen mehr Matrizen als nur die Einheitsmatrix. (Ich denke, Du kannst nun aus den einzelnen Fällen die "Matrizen" aufschreiben. Im 3. und 4. Fall sind es ja sogar (wegen der Beliebigkeit von $b [mm] \in \IR$) [/mm] überabzählbar viele.)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 05:24 Fr 16.05.2008 | | Autor: | Tommylee |
Hi
Danke danke
alles klar
Konzentration , Konzentration ( man die schläft manchmal)
Grüße
Thomas
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