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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:28 Fr 26.11.2004 | | Autor: | destiny |
hallo, leute!
Ich hab hier eine Aufgabe zu lösen, wo ich nicht weiß, wie ich sie anpacken soll. Bitte helft mir! Danke.
Aufgabe:
Sei K ein Körper, und sei n [mm] \in \IN. [/mm] Sei A =( [mm] a_{ij} [/mm] ) [mm] \in K^{n,n} [/mm] mit 1 [mm] \le [/mm] i,j [mm] \le [/mm] n definiert durch
[mm] a_{ij} [/mm] = 1, falls j = i + 1 ODER
[mm] a_{ij} [/mm] = 0, sonst.
Ich soll nun zeigen, dass es ein k [mm] \in \IN [/mm] gibt, so dass [mm] A^{k} [/mm] die Nullmatrix von [mm] K^{n,n} [/mm] ist.
Wie beweise ich diese Aussage?
Destiny
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Hallo Destiny,
> Aufgabe:
> Sei K ein Körper, und sei n [mm]\in \IN.[/mm] Sei A =( [mm]a_{ij}[/mm] ) [mm]\in K^{n,n}[/mm]
> mit 1 [mm]\le[/mm] i,j [mm]\le[/mm] n definiert durch
>
> [mm]a_{ij}[/mm] = 1, falls j = i + 1 ODER
> [mm]a_{ij}[/mm] = 0, sonst.
>
> Ich soll nun zeigen, dass es ein k [mm]\in \IN[/mm] gibt, so dass
> [mm]A^{k}[/mm] die Nullmatrix von [mm]K^{n,n}[/mm] ist.
Also hier kommt ein kleiner Tip:
Also als ich mir gerade die Aufgabe angeschaut habe, habe ich mir einige Beispiel Matrizen Aufgeschrieben.
Angefangen mit 3x3 und dann 4x4 diese habe ich dann solange mit sich selbst malgenommen bis Null raus kamm.
bei der 3x3 war das Ergebnis [mm] A^2
[/mm]
bei der 4x4 war das Ergebnis [mm] A^3
[/mm]
wenn ich diese Aufgabe jetzt weiterberechnen müsste, würde ich mir noch einige Beispielmatrizen aufschreiben, schauen ob ich ein System endecken würde und dann tip ich mal, dass es mit Induktion weiter gehen müste.
Als Stichwort, schau noch mal nach, was ihr in euerm Skript zu Nilpotent aufgeschrieben habt.
Viele Grüße
Christin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 Di 30.11.2004 | | Autor: | semmel |
...mir gesagt hat, kann irgendwie nicht stimmen oder?
Ich hab (E-A)(E+A+...+...) usw. ausmultipliziert und da kommt E rauas. Was soll das ergebnis bedeuten? Die Aufgabenstellung war doch, man soll für alle zeigen dass genau ein x [mm] \in [/mm] K mit (E-A)x=b zeigen!
Ich versteh deine Lösungsidee nicht, bitte erklärs mir nochmal, aber bitte ausführlicher, danke.
semmel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:08 Di 30.11.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo semmel!
Der Tipp war völlig in Ordnung.
Dir sind leider die Zusammenhänge in der linearen Algebra überhaupt nicht klar. Ich versuche es dir aber jetzt zu erklären.
> ...mir gesagt hat, kann irgendwie nicht stimmen oder?
> Ich hab (E-A)(E+A+...+...) usw. ausmultipliziert und da
> kommt E rauas.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Was soll das ergebnis bedeuten?
Es bedeutet, dass $E-A$ invertierbar ist (denn wir haben ja eine Matrix [mm] $(E-A)^{-1}$ [/mm] gefunden mit [mm] $(E-A)(E-A)^{-1}=E$,
[/mm]
nämlich:
[mm] $(E-A)^{-1} [/mm] = E + A + [mm] A^2 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] A^{k-1}$.
[/mm]
Somit ist die induzierte lineare Abbildung
[mm] $\begin{array}{ccc} \IK^{n,1} & \to & \IK^{n,1} \\[5pt] x & \mapsto & (E-A)x \end{array}$
[/mm]
bijektiv. Dies aber bedeutet gerade, dass es für alle $b [mm] \in \IK^{n,1}$ [/mm] genau ein $x [mm] \in \IK^{n,1}$ [/mm] gibt mir
$(E-A)x = b$.
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:32 Mo 29.11.2004 | | Autor: | semmel |
Hallo Leute,
diese Aufgabe ist für mich unlösbar. Es hat mir hier zwar schon einmal eine Christin geholfen, aber mit ihren Tipps kann ich nix anfangen, weil mir der Nilponent nix sagt, zumindest haben wir ihn in der Vorl. noch nicht besprochen. Es muss als auch andres gehen. Ich bitte um dringende Hilfe bis morgen! Danke! Bitte schickt mir eine gute erklärung und eine Lösung!
Also:
Sei K ein Körper, und sei [mm] A\in K^{n,n} [/mm] für ein n [mm] \ge [/mm] 1. Es gebe ein k [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] A^{k}=0. [/mm] Man soll zeigen, dass für alle b [mm] \in K^{n,1} [/mm] genau ein x [mm] \in K^{n,1} [/mm] mit (E-A)x=b.
Ich weiß nicht, wie man da vorgehen kann. Kann man das mit Induktion beweisen?
Danke.
semmel
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:32 Mo 29.11.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo semmel!
Als allererstes liest du dir mal in Ruhe unsere Forenregeln durch. Du verstößt hier gleich gegen zwei:
> Hallo Leute,
> diese Aufgabe ist für mich unlösbar. Es hat mir hier zwar
> schon einmal eine Christin geholfen, aber mit ihren Tipps
> kann ich nix anfangen, weil mir der Nilponent nix sagt,
> zumindest haben wir ihn in der Vorl. noch nicht besprochen.
Dann poste bitte deine Nachfrage dort im Diskussionsstrang. Ich finde diesen jetzt nicht auf Anhieb, daher kann ich deine Frage nicht dorthin verschieben. Es handelt sich hier um ein klassisches foreninternes Cross-Posting, das unnötigen Aufwand verursacht. Denn vielleicht würde ja einem anderen Hilfsbereiten der Tipp von Christin helfen.
> Es muss als auch andres gehen. Ich bitte um dringende Hilfe
> bis morgen! Danke! Bitte schickt mir eine gute erklärung
> und eine Lösung!
Diese Erwartungshaltung ist völlig unangebracht. Wir sind keine Lösungsmaschine für deine Hausaufgaben. Ausrufe wie "Hilfe!!!", "Es ist dringend!!" sind überflüssig. Bis wann du eine Antwort wünschst, wird durch die Fälligkeit signalisiert. Alles weitere liegt im Ermessen, der Zeit und Lust der hilfsbereiten Mitglieder. Je mehr du selber mitarbeitest und eigene Ideen lieferst, desto eher wird man dir helfen.
Jetzt zu deiner Aufgabe:
Rechne mal
$(E-A) [mm] \cdot [/mm] (E + A + [mm] A^2 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] A^{k-1})$ [/mm]
aus. Was fällt dir auf?
Viele Grüße
Julius
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