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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:35 So 30.01.2011 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | | Wann sind Matrizen surjektiv, injektiv, bijektiv? |
Hi Leute!
Wie/wann kann man feststellen bzw. Aussagen drüber machen ob Matrizen (egal welcher Dimensionen und Körper durch die sie dargestellt werden) surjektiv, injektiv, bijektiv sind?
Ich frage mich schon die ganze Zeit wie man das machen kann. Könnt ihr mir helfen?
Was ich allerdings weiß, ist, dass die lineare Abbildung einer solchen Matrix dann bijektiv ist, wenn die Matrix eine reguläre Matrix ist. Das bedeutet ja, sie muss quadratisch und ihre Spalten lin. unabhängig sein. Wann ist dann eine Matrix aber surjekt, injektiv?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:51 So 30.01.2011 | | Autor: | pyw |
Hi,
ein Matrix M repräsentiert eine lineare Abbildungen f: [mm] V\to [/mm] W, [mm] v\mapsto M\cdot [/mm] v.
Du musst also die entsprechende lineare Abbildung untersuchen. Es gilt:
1. Bild f = W [mm] \gdw [/mm] f ist surjektiv
2. Kern f [mm] ={0_V} \gdw [/mm] f ist injektiv
Bijektivität ergibt sich dann z. B. aus der Prüfung der beiden oben genannten Eigenschaften - oder wie du schon sagst, indem du überprüfst, ob die Matrix regulär ist.
Übrigens bezeichnet man eine bijektive lineare Abbildung auch als Isomorphismus zwischen den beiden Vektorräumen.
Gruß, pyw
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 So 30.01.2011 | | Autor: | bandchef |
f: $ [mm] V\to [/mm] $ W, $ [mm] v\mapsto M\cdot [/mm] $ v
Was bedeuten hier die V bzw. W? Für welche Räume stehen diese?
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1. Bild f = W $ [mm] \gdw [/mm] $ f ist surjektiv
2. Kern f $ [mm] ={0_V} \gdw [/mm] $ f ist injektiv
Das hier verstehe ich leider auch nicht so wirklich.
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Unter einem Bild verstehe ich den Spaltenraum einer Matrix der Form: $ A [mm] \cdot \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{0} [/mm] $. Was ich dann angeben kann ist die Dimension des Spaltenraums welche dann die Anzahl der Basis-Var. des Gleichungssystems ist. Was ich auch noch in diesem Zusammenhang kenne ist die Basis des Spaltenraums, was bedeutet, die Spalten mit den Pivot-Elementen werden die Vektoren der Basis.
Wie aber finde ich nun raus ob das Bild bzw. Spaltenraum surjektiv ist damit, ich so auf die Eigenschaft der Matrix A schließen kann?
Unter einem Kern verstehe ich den Nullraum einer Matrix der Form: $ A [mm] \cdot \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{0} [/mm] $. Was ich dann angeben kann ist die Dimension des Kerns/Nullraums welche dann die Anzahl der freien Var. des Gleichungssystems ist. Was ich auch noch in diesem Zusammenhang kenne ist die Basis des Kerns/Nullraums, welche aus der Lösungsmenge des Gleichungssystems ablesbar ist.
Wie aber finde ich nun raus ob der Kern bzw. Nullraum injektiv ist damit ich so auf die Eigenschaft der Matrix A schließen kann?
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> f: [mm]V\to[/mm] W, [mm]v\mapsto M\cdot[/mm] v
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> Was bedeuten hier die V bzw. W? Für welche Räume stehen
> diese?
Hallo,
für zwei Vektorräume endlicher Dimension.
>
> ------------------------
>
> 1. Bild f = W [mm]\gdw[/mm] f ist surjektiv
> 2. Kern f [mm]={0_V} \gdw[/mm] f ist injektiv
>
> Das hier verstehe ich leider auch nicht so wirklich.
Weißt Du was "surjektiv" bedeutet?
Und was das Bild einer Abbildung ist? (Def.?)
Wenn ja, solltest Du Dir die erste Äquivalenz klarmachen können.
Die zweite Aussage ist eine Aussage, die in der Vorlesung dran war.
Man sollte sie übrigens beweisen können - es ist nicht schwer und wird manchmal in Klausuren gefragt.
>
> ------------------------
>
> Unter einem Bild verstehe ich den Spaltenraum einer Matrix
> der Form: [mm]A \cdot \vec{x} = \vec{0} [/mm].
Das Bild einer Matrix ist der von ihren Spalten erzeugte Raum.
Was Du mit "der Form: $A [mm] \cdot \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{0} [/mm] $" meinst, weiß ich nicht so recht.
> Was ich dann angeben
> kann ist die Dimension des Spaltenraums welche dann die
> Anzahl der Basis-Var. des Gleichungssystems ist.
Wann? Kannst Du genauer sagen, worüber Du gerade redest?
Die Dimension des Spaltenraumes ist die max. Anzahl linear unabhängiger Spalten.
Was sind "Basis-Var."?
> Was ich
> auch noch in diesem Zusammenhang kenne ist die Basis des
> Spaltenraums, was bedeutet, die Spalten mit den
> Pivot-Elementen werden die Vektoren der Basis.
Kann sein, daß Du das richtige meinst. Vielleicht aber auch nicht.
> Wie aber finde ich nun raus ob das Bild bzw. Spaltenraum
> surjektiv ist
Ein Bild ist nie surjektiv.
Surjektiv kann die Abbildung sein, die durch die Matrix dargestellt wird.
Es würde Dir schon gesagt, daß die Abbildung surjektiv ist, wenn Ihr Bild gerade der VR W ist.
Bild der Abbildung= Spaltenraum der Matrix.
Also ist die Abbildung surjektiv, wenn der Spaltenraum der Matrix= W ist.
Dies ist der fall, wenn die Dimension des Spaltenraumes und die Dimension von W gleich sind.
Die Dimension des Spaltenraumes ist der Rang der Matrix.
> damit, ich so auf die Eigenschaft der Matrix
> A schließen kann?
>
>
> Unter einem Kern verstehe ich den Nullraum einer Matrix der
> Form: [mm]A \cdot \vec{x} = \vec{0} [/mm]. >
Ja, der Lösungsraum dieser Gleichung.
>Was ich dann angeben kann
> ist die Dimension des Kerns/Nullraums welche dann die
> Anzahl der freien Var. des Gleichungssystems ist. Was ich
> auch noch in diesem Zusammenhang kenne ist die Basis des
> Kerns/Nullraums, welche aus der Lösungsmenge des
> Gleichungssystems ablesbar ist.
>
> Wie aber finde ich nun raus ob der Kern bzw. Nullraum
> injektiv ist damit ich so auf die Eigenschaft der Matrix A
> schließen kann?
Wenn der Kern nur aus dem Nullvektor besteht, ist die Abbildung injektiv.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 Mo 31.01.2011 | | Autor: | bandchef |
Ich hab da noch eine Frage:
Zitat: "Also ist die Abbildung surjektiv, wenn der Spaltenraum der Matrix= W ist."
Angenommen wir haben eine solche Matrix abgbildet, f: V [mm] \rightarrow [/mm] W:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}\vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Nun ist diese Matrix surjektiv, da der Spaltenraum gleich dem Vektorraum W ist.
Da der Kern hier nur aus dem Nullvektor besteht (es gibt keine freien Variablen) ist die Abbildung auch injektiv.
Nun da beide Eigenschaften erfüllt sind, ist diese Abbildung auch bijektiv.
Ist das soweit alles richtig?
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Hallo bandchef,
> Ich hab da noch eine Frage:
>
> Zitat: "Also ist die Abbildung surjektiv, wenn der
> Spaltenraum der Matrix= W ist."
>
> Angenommen wir haben eine solche Matrix abgbildet, f: V
> [mm]\rightarrow[/mm] W:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1}\vektor{0 \\
0 \\
0}[/mm]
Das ist schlecht aufgeschrieben, was soll der Nullvektor bedeuten?
Die Matrix [mm]\pmat{1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1}[/mm] beschreibt dir eine lineare Abbildung von einem dreidimensionalen Raum in einen dreidimensionalen Raum
Ein [mm]\vec{x}=\vektor{x_1\\
x_2\\
x_3}[/mm] aus dem Urbildraum (du hast ihn V genannt) wird abgebildet auf [mm]f(\vec{x})=f\left(\vektor{x_1\\
x_2\\
x_3}\right)=\pmat{1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1}\cdot{}\vektor{x_1\\
x_2\\
x_3}=\vektor{x_1\\
x_2\\
x_3}=\vec{x}[/mm]
Das ist also die identische Abbildung.
>
> Nun ist diese Matrix surjektiv, da der Spaltenraum gleich
> dem Vektorraum W ist.
Ja. Der Spaltenrang ist 3, W auch dreidim.
>
> Da der Kern hier nur aus dem Nullvektor besteht (es gibt
> keine freien Variablen)
Jo, auch nach dem Dimensionssatz, mit Dim(Bild)=3 muss Dim(Kern)=0 sein
> ist die Abbildung auch injektiv. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Nun da beide Eigenschaften erfüllt sind, ist diese
> Abbildung auch bijektiv.
>
> Ist das soweit alles richtig?
Ja!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 Mo 31.01.2011 | | Autor: | bandchef |
Gibt es noch andere Möglichkeiten diese Eigenschaften zu bestimmen?
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> Gibt es noch andere Möglichkeiten diese Eigenschaften zu
> bestimmen?
Hallo,
wonach suchst Du?
Ich glaube nicht, daß es einen Weg gibt, der noch einfacher ist als der über den Rang der Matrix.
Du könntest natürlich direkt mit der linearen Abbildung arbeiten und den Definitionen für inj., surj., bijektiv. Aber wofür?
Gruß v. Angela
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