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Matrixnorm: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:38 So 29.07.2012
Autor: Mathe-Lily

Aufgabe
Gegeben sei die Matrix T [mm] \in L(\IR^{3},\IR^{3}): [/mm]
[mm] T:=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & 5 \\ 0 & 7 & 1 } [/mm]
Berechnen Sie die Matrixnorm von T, wenn der [mm] \IR^{3} [/mm] jeweils mit der [mm] ||*||_{2}-Norm [/mm] ausgestattet ist.

Hallo!
ich habe ein paar Probleme beim Bestimmen der Matrixnorm:
es ist ja so definiert:
[mm] ||T||_{L(\IR^{3},\IR^{3})} [/mm] = ||T|| := [mm] sup_{x \in \IR^{3} ohne 0} \bruch{||Tx||_{\IR^{3}}}{||x||_{\IR^{3}}} [/mm]

Ist das dann mit der 2-Norm so:
||T|| := [mm] sup_{x \in \IR^{3} ohne 0} \bruch{||Tx||_{2}}{||x||_{2}} [/mm]    ?

Und mit der 2-Norm ausgerechnet sieht das dann ja so aus:
||T|| := [mm] sup_{x \in \IR^{3} ohne 0} \bruch{\wurzel{|x_{1}|^{2}+|-5x_{2}+5x_{3}|^{2}+|7x_{2}+x_{3}|^{2}}}{\wurzel{|x_{1}|^{2}+|x_{2}|^{2}+|x_{3}|^{2}}} [/mm]

oder?

Aber wie berechne ich dann das sup?

Oder bin ich total auf dem Holzweg?

Grüßle, Lily

        
Bezug
Matrixnorm: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:12 So 29.07.2012
Autor: wieschoo


> Gegeben sei die Matrix T [mm]\in L(\IR^{3},\IR^{3}):[/mm]
>  [mm]T:=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & 5 \\ 0 & 7 & 1 }[/mm]
>  
> Berechnen Sie die Matrixnorm von T, wenn der [mm]\IR^{3}[/mm]
> jeweils mit der [mm]||*||_{2}-Norm[/mm] ausgestattet ist.
>  Hallo!
>  ich habe ein paar Probleme beim Bestimmen der Matrixnorm:
>  es ist ja so definiert:
>  [mm]||T||_{L(\IR^{3},\IR^{3})}[/mm] = ||T|| := [mm]sup_{x \in \IR^{3} ohne 0} \bruch{||Tx||_{\IR^{3}}}{||x||_{\IR^{3}}}[/mm]
>  
> Ist das dann mit der 2-Norm so:
>  ||T|| := [mm]sup_{x \in \IR^{3} ohne 0} \bruch{||Tx||_{2}}{||x||_{2}}[/mm]

Das ist ein guter Anfang. Man kann zeigen, dass

[mm]\Vert A\Vert_2 =\sup_{x\in\IR^n\setminus\{0\}}\frac{\Vert Ax\Vert_2}{\Vert x\Vert_2}=\sqrt{\lambda_{\max}(A^TA)}[/mm]

für zu den euklidischen Normen zugehörigen Matrixnormen gilt. (Ja schlechter Satzbau).

Hierbei ist [mm] $\lambda_{\max}(A^TA)$ [/mm] der bertragsgrößte Eigenwert von von $A^TA$.

>    ?
>  
> Und mit der 2-Norm ausgerechnet sieht das dann ja so aus:
>  ||T|| := [mm]sup_{x \in \IR^{3} ohne 0} \bruch{\wurzel{|x_{1}|^{2}+|-5x_{2}+5x_{3}|^{2}+|7x_{2}+x_{3}|^{2}}}{\wurzel{|x_{1}|^{2}+|x_{2}|^{2}+|x_{3}|^{2}}}[/mm]
>  
> oder?
>  
> Aber wie berechne ich dann das sup?
>  
> Oder bin ich total auf dem Holzweg?

Du bist richtig gelaufen und dann falsch abgebogen.

>  
> Grüßle, Lily

Grüße zurück



Bezug
                
Bezug
Matrixnorm: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:13 Mo 30.07.2012
Autor: Mathe-Lily

Ah, danke! Hab das gerade auch von einer Kommilitonin erklärt bekommen :-)

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