Matrixform von linearen Abb. < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:18 So 22.03.2009 | | Autor: | martin7 |
| Aufgabe | Schreiben Sie die geometrisch gegebenen Abbildungen im [mm] \IR^2 [/mm] in Matrixform um.
Spiegelung an der gerade mit der Gleichung [mm] y=k\*x
[/mm]
Orthogonale Projektion auf die Gerade mit der Gleichung [mm] y=k\*x [/mm] |
Hallo!
Ich habe einen Übungszettel mit mehreren dieser Lineartransformationen in Matrixform und brauche unbedingt einen Tipp damit ich weitermachen kann.
Die Spiegelung um die Gerade [mm] y=k\*x, [/mm] wie kann ich mir da geometrisch den Normalabstand zur geraden anschreiben? Den Steigungswinkel
[mm] \alpha [/mm] = arctan(k) habe ich mir schon herausgelesen aber ich steh auf der Leitung wie ich den weiterverwende.
Sobald ich den Normalabstand in Vektorform habe, brauche ich ihn eigentlich nur zum ursprünglichen Vektor dazuzählen, oder?
Vielen Dank für die Hilfe schon im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:19 So 22.03.2009 | | Autor: | pelzig |
Solche Aufgaben löst man am Besten so:
1) Eine Basis wählen bzgl. der die gesuchte Lineare Abbildung [mm] $\Phi$ [/mm] sehr einfach ist
2) Aufstellen der Darstellungsmatrix bzgl. dieser Basis
3) ggf. Basistransformation durchführen, falls das notwendig ist.
Also z.B. die Spiegelung an der Geraden y=kx (ich nehme an [mm] $k\in\IR$ [/mm] ist fester Parameter)
1) Hier bietet sich ja z.B. folgende Basis an: [mm] $B=\{(1,k),(-k,1)\}$, [/mm] denn der erste Vektor liegt auf der Geraden y=kx und der zweite Vektor ist orthogonal dazu, d.h. es muss [mm] $\Phi(1,k)=(1,k)$ [/mm] und [mm] $\Phi(-k,1)=(k,-1)$
[/mm]
2) bzgl. dieser Basis ist [mm]\[\Phi\]:=\pmat{1&0\\0&-1}[/mm]
3) Will man nun die Matrix z.B. bzgl. der Standartbasis, so berechnet man die zugehörige Basistransformation T und betrachte die Matrix [mm] $T^{-1}[\Phi]T$
[/mm]
Gruß, Robert
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