www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Analysis-Sonstiges" - Matrixexponential berechnen
Matrixexponential berechnen < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Analysis-Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Matrixexponential berechnen: "Tipp"
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:40 Di 05.07.2016
Autor: Ardbeg

Aufgabe
Zeigen Sie, dass für Matrizen A und B mit AB=BA schon [mm] e^{A+B}=e^{A}*e^{B} [/mm] gilt.
Ist die Bedingung AB=BA notwendig (Gegenbeispiel oder Beweis für allgemeinen
Fall)?

Sei J eine Matrix in Jordanscher Normalform. Berechnen Sie
[mm] e^{J} [/mm] (Tipp: zunächst [mm] e^{J_{i}}). [/mm]

Sei A eine beliebige n×n-Matrix, äquivalent zur Matrix J aus obigen Aufgabenteil,
d.h. [mm] QAQ^{-1}=J [/mm] für geeignetes [mm] Q\in\IC^{nxn}. [/mm] Bestimmen Sie [mm] e^{A}. [/mm]

Hallo!

Ich habe zu dieser Aufgabe noch eine Frage, da ich mir bezüglich des Lösungsansatzes unsicher bin. Den ersten Aufgabenteil habe ich gelöst, dass war soweit kein Problem. Meine Schwierigkeit liegt im zweiten und somit auch im dritten.
Um [mm] e^{J} [/mm] zu berechnen wollte ich so vorgehen:

[mm] e^{t*J}=exp(t*\pmat{ J_{1} & \\ & \ddots \\ & & J_{n}})=exp(t*\pmat{\lambda_{1} & 1 & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_{n} & 1}). [/mm]

Leider weiß ich hier schon nicht weiter, denn eine explizite Lösung kann ich mir so ja nicht konstruieren. Oder übersehe ich da was? Ist mein Ansatz falsch?

Danke für die Hilfe.

Gruß
Ardbeg

        
Bezug
Matrixexponential berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:25 Di 05.07.2016
Autor: fred97

Schau mal da rein:

http://www.mathe.tu-freiberg.de/~wegert/Lehre/DynSys/Jordan.pdf

FRED

Bezug
                
Bezug
Matrixexponential berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:25 Mi 06.07.2016
Autor: Ardbeg

Danke für den Link, er hat mir geholfen, wenn ich auch nicht sicher bin, ob ich dem Ergebnis nähergekommen bin. Ich führe mal meine Gedanken aus.

[mm] e^{J}=exp(t*\pmat{ J_{1} & & \\ & \ddots & \\ & & J_{n} })=\pmat{e^{J_{1}} & & \\ & \ddots & \\ & & e^{J_{n}} } [/mm]

Es gilt: [mm] J_{i}=\lambda_{i}*E_{i}+N_{i} [/mm] ; wobei [mm] E_{i} [/mm] die Einheitsmatrizen sind, [mm] N_{i}, [/mm] die Nebendiagonale, die mit Einsen besetzt ist. Dabei ist [mm] N_{i} [/mm] eine nilpotente Matrix.

[mm] e^{J_{i}}=e^{\lambda_{i}*E_{i}+N_{i}}=e^{\lambda_{i}*E_{i}}*e^{N_{i}} [/mm]

da [mm] (\lambda_{i}*E_{i})*N_{i}=N_{i}*(\lambda_{i}*E_{i}) [/mm]

[mm] \Rightarrow e^{J}=e^{\lambda_{i}*E_{i}}*\pmat{1 & \bruch{t^{1}}{1!} & \bruch{t^{2}}{2!} & \cdots & \bruch{t^{n-1}}{(n-1)!} \\ 0 & \ddots & \ddots & \cdots & \bruch{t^{n-2}}{(n-2)!} \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \cdots & \ddots & \ddots & \bruch{t^{1}}{1!} \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & 1} [/mm]

Das dürfte doch soweit stimmen, oder?

Gruß
Ardbeg

Bezug
                        
Bezug
Matrixexponential berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:46 Mi 06.07.2016
Autor: fred97


> Danke für den Link, er hat mir geholfen, wenn ich auch
> nicht sicher bin, ob ich dem Ergebnis nähergekommen bin.
> Ich führe mal meine Gedanken aus.
>
> [mm]e^{J}=exp(t*\pmat{ J_{1} & & \\ & \ddots & \\ & & J_{n} })=\pmat{e^{J_{1}} & & \\ & \ddots & \\ & & e^{J_{n}} }[/mm]
>  
> Es gilt: [mm]J_{i}=\lambda_{i}*E_{i}+N_{i}[/mm] ; wobei [mm]E_{i}[/mm] die
> Einheitsmatrizen sind, [mm]N_{i},[/mm] die Nebendiagonale, die mit
> Einsen besetzt ist. Dabei ist [mm]N_{i}[/mm] eine nilpotente Matrix.
>
> [mm]e^{J_{i}}=e^{\lambda_{i}*E_{i}+N_{i}}=e^{\lambda_{i}*E_{i}}*e^{N_{i}}[/mm]
>  
> da [mm](\lambda_{i}*E_{i})*N_{i}=N_{i}*(\lambda_{i}*E_{i})[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow e^{J}=e^{\lambda_{i}*E_{i}}*\pmat{1 & \bruch{t^{1}}{1!} & \bruch{t^{2}}{2!} & \cdots & \bruch{t^{n-1}}{(n-1)!} \\ 0 & \ddots & \ddots & \cdots & \bruch{t^{n-2}}{(n-2)!} \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \cdots & \ddots & \ddots & \bruch{t^{1}}{1!} \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & 1}[/mm]
>  
> Das dürfte doch soweit stimmen, oder?

Ja, stimmt.

FRED

>  
> Gruß
>  Ardbeg


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Analysis-Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]